Номер 269, страница 125 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

269. 1)

$\begin{cases} x^2 - 4 \ge 0, \\ \log_{\frac{1}{7}}(x+2) \le -1; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} x^2 - 9 \ge 0, \\ \log_{2}(x-3) \le 2; \end{cases}$

3)

$\begin{cases} \log_{81}(x+2) > \frac{1}{2}, \\ 36 - x^2 > 0; \end{cases}$

4)

$\begin{cases} \log_{3}(x-5) \le 1, \\ x^2 - 16 > 0. \end{cases}$

1) Решение:
Дана система неравенств: $ \begin{cases} x^2 - 4 \ge 0 \\ \log_{\frac{1}{7}}(x+2) \le -1 \end{cases} $
1. Решим первое неравенство $x^2 - 4 \ge 0$.
Разложим левую часть на множители: $(x-2)(x+2) \ge 0$.
Корнями уравнения $x^2 - 4 = 0$ являются $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется на промежутках, где график функции не ниже оси абсцисс.
Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, -2] \cup [2, +\infty)$.
2. Решим второе неравенство $\log_{\frac{1}{7}}(x+2) \le -1$.
Область допустимых значений (ОДЗ) логарифма: $x+2 > 0$, откуда $x > -2$.
Представим $-1$ как логарифм по основанию $\frac{1}{7}$: $-1 = \log_{\frac{1}{7}}((\frac{1}{7})^{-1}) = \log_{\frac{1}{7}}(7)$.
Неравенство принимает вид: $\log_{\frac{1}{7}}(x+2) \le \log_{\frac{1}{7}}(7)$.
Поскольку основание логарифма $0 < \frac{1}{7} < 1$, логарифмическая функция является убывающей. Следовательно, при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:
$x+2 \ge 7$
$x \ge 5$.
С учётом ОДЗ ($x > -2$), решение второго неравенства есть $x \in [5, +\infty)$.
3. Найдём пересечение решений обоих неравенств.
Решением системы является пересечение множеств $(-\infty, -2] \cup [2, +\infty)$ и $[5, +\infty)$.
Итоговое решение: $x \in [5, +\infty)$.
Ответ: $[5, +\infty)$.

2) Решение:
Дана система неравенств: $ \begin{cases} x^2 - 9 \ge 0 \\ \log_2(x-3) \le 2 \end{cases} $
1. Решим первое неравенство $x^2 - 9 \ge 0$.
Разложим на множители: $(x-3)(x+3) \ge 0$.
Корнями уравнения $x^2 - 9 = 0$ являются $x_1 = -3$ и $x_2 = 3$.
Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, -3] \cup [3, +\infty)$.
2. Решим второе неравенство $\log_2(x-3) \le 2$.
ОДЗ: $x-3 > 0$, откуда $x > 3$.
Представим $2$ как логарифм по основанию $2$: $2 = \log_2(2^2) = \log_2(4)$.
Неравенство принимает вид: $\log_2(x-3) \le \log_2(4)$.
Поскольку основание логарифма $2 > 1$, функция возрастающая, поэтому знак неравенства сохраняется:
$x-3 \le 4$
$x \le 7$.
С учётом ОДЗ ($x > 3$), решение второго неравенства есть $x \in (3, 7]$.
3. Найдём пересечение решений обоих неравенств.
Решением системы является пересечение множеств $(-\infty, -3] \cup [3, +\infty)$ и $(3, 7]$.
Итоговое решение: $x \in (3, 7]$.
Ответ: $(3, 7]$.

3) Решение:
Дана система неравенств: $ \begin{cases} \log_{81}(x+2) > \frac{1}{2} \\ 36 - x^2 > 0 \end{cases} $
1. Решим первое неравенство $\log_{81}(x+2) > \frac{1}{2}$.
ОДЗ: $x+2 > 0$, откуда $x > -2$.
Представим $\frac{1}{2}$ как логарифм по основанию 81: $\frac{1}{2} = \log_{81}(81^{\frac{1}{2}}) = \log_{81}(9)$.
Неравенство принимает вид: $\log_{81}(x+2) > \log_{81}(9)$.
Поскольку основание $81 > 1$, функция возрастающая, знак неравенства сохраняется:
$x+2 > 9$
$x > 7$.
С учётом ОДЗ ($x > -2$), решение первого неравенства есть $x \in (7, +\infty)$.
2. Решим второе неравенство $36 - x^2 > 0$.
$x^2 < 36$.
Это неравенство равносильно $|x| < 6$, что означает $-6 < x < 6$.
Решение второго неравенства: $x \in (-6, 6)$.
3. Найдём пересечение решений обоих неравенств.
Решением системы является пересечение множеств $(7, +\infty)$ и $(-6, 6)$.
Данные интервалы не пересекаются.
Ответ: $\emptyset$ (решений нет).

4) Решение:
Дана система неравенств: $ \begin{cases} \log_3(x-5) \le 1 \\ x^2 - 16 > 0 \end{cases} $
1. Решим первое неравенство $\log_3(x-5) \le 1$.
ОДЗ: $x-5 > 0$, откуда $x > 5$.
Представим $1$ как логарифм по основанию $3$: $1 = \log_3(3^1) = \log_3(3)$.
Неравенство принимает вид: $\log_3(x-5) \le \log_3(3)$.
Поскольку основание $3 > 1$, функция возрастающая, знак неравенства сохраняется:
$x-5 \le 3$
$x \le 8$.
С учётом ОДЗ ($x > 5$), решение первого неравенства есть $x \in (5, 8]$.
2. Решим второе неравенство $x^2 - 16 > 0$.
Разложим на множители: $(x-4)(x+4) > 0$.
Корнями уравнения $x^2 - 16 = 0$ являются $x_1 = -4$ и $x_2 = 4$.
Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, -4) \cup (4, +\infty)$.
3. Найдём пересечение решений обоих неравенств.
Решением системы является пересечение множеств $(5, 8]$ и $(-\infty, -4) \cup (4, +\infty)$.
Итоговое решение: $x \in (5, 8]$.
Ответ: $(5, 8]$.