Номер 267, страница 125 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

267.1) $(\frac{1}{2})^{\log_{\frac{1}{2}}(x^2-1)} > 1;$

2) $2^{\log_2(x^2+x)} < 2;$

3) $(\frac{1}{6})^{\log_{\frac{1}{6}}(x-1)} \ge 7^{\log_7(2-x)};$

4) $0,9^{\log_{0,9}(x^2-1)} \le 6^{\log_6(x+3)}.$

1)

Решение:

Исходное неравенство: $(\frac{1}{2})^{\log_{\frac{1}{2}}(x^2-1)} > 1$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что выражение под знаком логарифма должно быть положительным: $x^2 - 1 > 0$.

На ОДЗ левая часть неравенства преобразуется с использованием основного логарифмического тождества $a^{\log_a b} = b$. Таким образом, неравенство принимает вид:

$x^2 - 1 > 1$.

Теперь необходимо решить систему неравенств, состоящую из ОДЗ и полученного неравенства:

$\begin{cases} x^2 - 1 > 0 \\ x^2 - 1 > 1 \end{cases}$

Второе неравенство, $x^2 > 2$, является более строгим, чем первое, $x^2 > 1$. Если $x^2 > 2$, то $x^2$ автоматически больше 1. Поэтому достаточно решить только второе неравенство.

$x^2 > 2$

$|x| > \sqrt{2}$

Это означает, что $x < -\sqrt{2}$ или $x > \sqrt{2}$.

Ответ: $x \in (-\infty, -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, \infty)$.

2)

Решение:

Исходное неравенство: $2^{\log_2(x^2+x)} < 2$.

ОДЗ определяется условием $x^2+x > 0$. Разложим на множители: $x(x+1) > 0$. Решением этого неравенства является объединение интервалов $x \in (-\infty, -1) \cup (0, \infty)$.

На ОДЗ, используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$, упростим левую часть неравенства:

$x^2+x < 2$.

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное неравенство:

$x^2+x-2 < 0$.

Найдем корни квадратного уравнения $x^2+x-2=0$. По теореме Виета, корни равны $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$.

Графиком функции $y=x^2+x-2$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $x^2+x-2 < 0$ выполняется на интервале между корнями: $x \in (-2, 1)$.

Теперь найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:

Решение неравенства: $x \in (-2, 1)$.

ОДЗ: $x \in (-\infty, -1) \cup (0, \infty)$.

Пересечением этих двух множеств является $x \in (-2, -1) \cup (0, 1)$.

Ответ: $x \in (-2, -1) \cup (0, 1)$.

3)

Решение:

Исходное неравенство: $(\frac{1}{6})^{\log_{\frac{1}{6}}(x-1)} \geq 7^{\log_7(2-x)}$.

Найдем ОДЗ. Выражения под знаками логарифмов должны быть строго положительными:

$\begin{cases} x-1 > 0 \\ 2-x > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 1 \\ x < 2 \end{cases}$

Таким образом, ОДЗ: $x \in (1, 2)$.

На ОДЗ применяем основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$ к обеим частям неравенства:

$x-1 \geq 2-x$.

Решим полученное линейное неравенство:

$x+x \geq 2+1$

$2x \geq 3$

$x \geq 1.5$

Теперь найдем пересечение этого решения с ОДЗ:

Решение неравенства: $x \in [1.5, \infty)$.

ОДЗ: $x \in (1, 2)$.

Пересечение этих множеств дает итоговый ответ: $x \in [1.5, 2)$.

Ответ: $x \in [1.5, 2)$.

4)

Решение:

Исходное неравенство: $0.9^{\log_{0.9}(x^2-1)} \leq 6^{\log_6(x+3)}$.

Найдем ОДЗ из условий положительности выражений под логарифмами:

$\begin{cases} x^2-1 > 0 \\ x+3 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} (x-1)(x+1) > 0 \\ x > -3 \end{cases}$

Первое неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$. Второе неравенство при $x > -3$. Пересечение этих условий дает ОДЗ: $x \in (-3, -1) \cup (1, \infty)$.

На ОДЗ, используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$, упрощаем неравенство:

$x^2-1 \leq x+3$.

Переносим все члены в левую часть:

$x^2 - x - 4 \leq 0$.

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - x - 4 = 0$ с помощью формулы для корней квадратного уравнения:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(1)(-4) = 1 + 16 = 17$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{2}$.

Графиком функции $y=x^2-x-4$ является парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство $x^2-x-4 \leq 0$ выполняется на отрезке между корнями: $x \in [\frac{1 - \sqrt{17}}{2}, \frac{1 + \sqrt{17}}{2}]$.

Теперь найдем пересечение этого решения с ОДЗ: $x \in (-3, -1) \cup (1, \infty)$.

Оценим значения корней: $4 < \sqrt{17} < 5$, поэтому $\frac{1 - \sqrt{17}}{2} \approx -1.56$ и $\frac{1 + \sqrt{17}}{2} \approx 2.56$.

Решение: $x \in [\frac{1 - \sqrt{17}}{2}, \frac{1 + \sqrt{17}}{2}]$.

ОДЗ: $x \in (-3, -1) \cup (1, \infty)$.

Пересечение с интервалом $(-3, -1)$: $[\frac{1 - \sqrt{17}}{2}, -1)$.

Пересечение с интервалом $(1, \infty)$: $(1, \frac{1 + \sqrt{17}}{2}]$.

Объединяя эти два интервала, получаем окончательное решение.

Ответ: $x \in [\frac{1 - \sqrt{17}}{2}, -1) \cup (1, \frac{1 + \sqrt{17}}{2}]$.