Номер 261, страница 124 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

261. 1) $log_{1/3} (x + 4) > log_{1/3} (x^2 + 2x - 2);$

2) $1 + log_2 (x - 2) > log_2 (x^2 - 3x + 2);$

3) $lg (x - 2) + lg (27 - x) < 2;$

4) $lg (2x - 3) > lg (x + 1).$

1) $ \log_{\frac{1}{3}}(x+4) > \log_{\frac{1}{3}}(x^2+2x-2) $

Решение этого логарифмического неравенства состоит из двух частей: нахождения области допустимых значений (ОДЗ) и решения самого неравенства с учетом свойств логарифмической функции.

1. Найдем ОДЗ. Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
$ \begin{cases} x+4 > 0 \\ x^2+2x-2 > 0 \end{cases} $
Из первого неравенства получаем $ x > -4 $.
Для второго неравенства $ x^2+2x-2 > 0 $ найдем корни соответствующего квадратного уравнения $ x^2+2x-2 = 0 $.
Дискриминант $ D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 4 + 8 = 12 $.
Корни: $ x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -1 \pm \sqrt{3} $.
Так как ветви параболы $ y = x^2+2x-2 $ направлены вверх, неравенство $ x^2+2x-2 > 0 $ выполняется при $ x < -1 - \sqrt{3} $ или $ x > -1 + \sqrt{3} $.
Объединим все условия для ОДЗ:
$ \begin{cases} x > -4 \\ x \in (-\infty; -1 - \sqrt{3}) \cup (-1 + \sqrt{3}; +\infty) \end{cases} $
Таким образом, ОДЗ: $ x \in (-4; -1 - \sqrt{3}) \cup (-1 + \sqrt{3}; +\infty) $.

2. Решим неравенство.
Так как основание логарифма $ a = \frac{1}{3} $ находится в интервале $ (0; 1) $, логарифмическая функция является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства меняется на противоположный:
$ x+4 < x^2+2x-2 $
$ x^2 + 2x - x - 2 - 4 > 0 $
$ x^2 + x - 6 > 0 $
Разложим на множители: $ (x+3)(x-2) > 0 $.
Корни: $ x_1 = -3 $, $ x_2 = 2 $.
Решение этого неравенства: $ x \in (-\infty; -3) \cup (2; +\infty) $.

3. Найдем пересечение решения неравенства с ОДЗ.
Нам нужно найти пересечение множеств $ ((-4; -1 - \sqrt{3}) \cup (-1 + \sqrt{3}; +\infty)) \cap ((-\infty; -3) \cup (2; +\infty)) $.
Сравним значения: $ -1 - \sqrt{3} \approx -2.73 $, $ -1 + \sqrt{3} \approx 0.73 $.
Пересечение для левой части: $ (-4; -1 - \sqrt{3}) \cap (-\infty; -3) = (-4; -3) $.
Пересечение для правой части: $ (-1 + \sqrt{3}; +\infty) \cap (2; +\infty) = (2; +\infty) $.
Итоговое решение: $ x \in (-4; -3) \cup (2; +\infty) $.

Ответ: $ x \in (-4; -3) \cup (2; +\infty) $.

2) $ 1 + \log_2(x-2) > \log_2(x^2-3x+2) $

1. Найдем ОДЗ:
$ \begin{cases} x-2 > 0 \\ x^2-3x+2 > 0 \end{cases} $
Из первого неравенства: $ x > 2 $.
Второе неравенство $ x^2-3x+2 > 0 $ раскладывается на множители $ (x-1)(x-2) > 0 $. Решением является $ x \in (-\infty; 1) \cup (2; +\infty) $.
Пересечение условий $ x > 2 $ и $ x \in (-\infty; 1) \cup (2; +\infty) $ дает ОДЗ: $ x > 2 $, или $ x \in (2; +\infty) $.

2. Преобразуем и решим неравенство.
Представим 1 как логарифм по основанию 2: $ 1 = \log_2(2) $.
$ \log_2(2) + \log_2(x-2) > \log_2(x^2-3x+2) $
Используем свойство суммы логарифмов:
$ \log_2(2(x-2)) > \log_2(x^2-3x+2) $
$ \log_2(2x-4) > \log_2(x^2-3x+2) $
Так как основание логарифма $ a = 2 > 1 $, логарифмическая функция возрастающая, знак неравенства сохраняется:
$ 2x-4 > x^2-3x+2 $
$ 0 > x^2-5x+6 $
$ x^2-5x+6 < 0 $
Разложим на множители: $ (x-2)(x-3) < 0 $.
Решением этого неравенства является интервал $ (2; 3) $.

3. Найдем пересечение решения с ОДЗ.
ОДЗ: $ x \in (2; +\infty) $.
Решение неравенства: $ x \in (2; 3) $.
Пересечение этих множеств: $ (2; 3) $.

Ответ: $ x \in (2; 3) $.

3) $ \lg(x-2) + \lg(27-x) < 2 $

1. Найдем ОДЗ:
$ \begin{cases} x-2 > 0 \\ 27-x > 0 \end{cases} $
$ \begin{cases} x > 2 \\ x < 27 \end{cases} $
ОДЗ: $ x \in (2; 27) $.

2. Преобразуем и решим неравенство.
Используем свойство суммы логарифмов: $ \lg((x-2)(27-x)) < 2 $.
Представим 2 как десятичный логарифм: $ 2 = \lg(10^2) = \lg(100) $.
$ \lg((x-2)(27-x)) < \lg(100) $
Так как основание логарифма $ a = 10 > 1 $, знак неравенства сохраняется:
$ (x-2)(27-x) < 100 $
$ 27x - x^2 - 54 + 2x < 100 $
$ -x^2 + 29x - 54 - 100 < 0 $
$ -x^2 + 29x - 154 < 0 $
Умножим на -1, изменив знак неравенства:
$ x^2 - 29x + 154 > 0 $
Найдем корни уравнения $ x^2 - 29x + 154 = 0 $.
Дискриминант $ D = (-29)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 154 = 841 - 616 = 225 = 15^2 $.
Корни: $ x_{1,2} = \frac{29 \pm 15}{2} $.
$ x_1 = \frac{29-15}{2} = \frac{14}{2} = 7 $.
$ x_2 = \frac{29+15}{2} = \frac{44}{2} = 22 $.
Решение неравенства $ x^2 - 29x + 154 > 0 $: $ x \in (-\infty; 7) \cup (22; +\infty) $.

3. Найдем пересечение решения с ОДЗ.
ОДЗ: $ x \in (2; 27) $.
Решение неравенства: $ x \in (-\infty; 7) \cup (22; +\infty) $.
Пересечение: $ (2; 27) \cap ((-\infty; 7) \cup (22; +\infty)) = (2; 7) \cup (22; 27) $.

Ответ: $ x \in (2; 7) \cup (22; 27) $.

4) $ \lg(2x-3) > \lg(x+1) $

1. Найдем ОДЗ:
$ \begin{cases} 2x-3 > 0 \\ x+1 > 0 \end{cases} $
$ \begin{cases} x > \frac{3}{2} \\ x > -1 \end{cases} $
ОДЗ: $ x > 1.5 $, или $ x \in (1.5; +\infty) $.

2. Решим неравенство.
Так как основание логарифма $ a = 10 > 1 $, знак неравенства сохраняется:
$ 2x-3 > x+1 $
$ 2x - x > 1 + 3 $
$ x > 4 $

3. Найдем пересечение решения с ОДЗ.
ОДЗ: $ x \in (1.5; +\infty) $.
Решение неравенства: $ x \in (4; +\infty) $.
Пересечение этих множеств: $ (4; +\infty) $.

Ответ: $ x \in (4; +\infty) $.