Номер 257, страница 124 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

Решите неравенства (257–261):

257.1) $\log_4 x > 2;$

2) $\log_{\frac{1}{2}} x < -3;$

3) $\lg x < -2;$

4) $\ln x \le 1.$

1) $\log_4 x > 2$

Решение.
Это логарифмическое неравенство. Для его решения необходимо выполнить следующие шаги:
1. Найти область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным, следовательно, $x > 0$.
2. Привести обе части неравенства к логарифму с одинаковым основанием. Представим число 2 как логарифм с основанием 4: $2 = \log_4(4^2) = \log_4 16$.
3. Теперь неравенство принимает вид: $\log_4 x > \log_4 16$.
4. Основание логарифма $a=4$. Так как $a > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента. Поэтому мы можем перейти от логарифмов к их аргументам, сохранив знак неравенства: $x > 16$.
5. Совместить полученное решение с ОДЗ. Решением системы неравенств $\begin{cases} x > 16 \\ x > 0 \end{cases}$ является $x > 16$.
Ответ: $(16; +\infty)$.

2) $\log_{\frac{1}{2}} x < -3$

Решение.
1. Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$.
2. Представим правую часть неравенства в виде логарифма с основанием $\frac{1}{2}$: $-3 = \log_{\frac{1}{2}} ((\frac{1}{2})^{-3}) = \log_{\frac{1}{2}} (2^3) = \log_{\frac{1}{2}} 8$.
3. Неравенство принимает вид: $\log_{\frac{1}{2}} x < \log_{\frac{1}{2}} 8$.
4. Основание логарифма $a=\frac{1}{2}$. Так как $0 < a < 1$, логарифмическая функция является убывающей. Это означает, что большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Поэтому при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства меняется на противоположный: $x > 8$.
5. Совместим полученное решение с ОДЗ. Решением системы неравенств $\begin{cases} x > 8 \\ x > 0 \end{cases}$ является $x > 8$.
Ответ: $(8; +\infty)$.

3) $\lg x < -2$

Решение.
Данное неравенство содержит десятичный логарифм $\lg x$, который является логарифмом по основанию 10.
1. ОДЗ: $x > 0$.
2. Представим правую часть неравенства в виде десятичного логарифма: $-2 = \lg(10^{-2}) = \lg(0.01)$.
3. Неравенство принимает вид: $\lg x < \lg 0.01$.
4. Основание логарифма $a=10$. Так как $a > 1$, функция является возрастающей, поэтому знак неравенства сохраняется: $x < 0.01$.
5. Совместим полученное решение с ОДЗ. Решением системы неравенств $\begin{cases} x < 0.01 \\ x > 0 \end{cases}$ является интервал $0 < x < 0.01$.
Ответ: $(0; 0.01)$.

4) $\ln x \le 1$

Решение.
Данное неравенство содержит натуральный логарифм $\ln x$, который является логарифмом по основанию $e$.
1. ОДЗ: $x > 0$.
2. Представим правую часть неравенства в виде натурального логарифма: $1 = \ln(e^1) = \ln e$.
3. Неравенство принимает вид: $\ln x \le \ln e$.
4. Основание логарифма $a=e \approx 2.718$. Так как $a > 1$, функция является возрастающей, поэтому знак неравенства сохраняется: $x \le e$.
5. Совместим полученное решение с ОДЗ. Решением системы неравенств $\begin{cases} x \le e \\ x > 0 \end{cases}$ является полуинтервал $0 < x \le e$.
Ответ: $(0; e]$.