Номер 262, страница 124 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

Решите системы неравенств (262–263):

262. 1)

$ \begin{cases} x - 18 < 0, \\ \log_5 x > 1; \end{cases} $

2)

$ \begin{cases} \log_{\frac{1}{3}} x < -2, \\ x+1 > 3; \end{cases} $

3)

$ \begin{cases} \ln x \ge 0, \\ 5 - x < 0; \end{cases} $

4)

$ \begin{cases} \ln x \le 1, \\ x+7 > 0. \end{cases} $

1)

Дано:

$\begin{cases} x - 18 < 0, \\ \log_5 x > 1;\end{cases}$

Найти:

Множество решений системы неравенств.

Решение:

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

Первое неравенство: $x - 18 < 0$. Перенесем 18 в правую часть: $x < 18$.

Второе неравенство: $\log_5 x > 1$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для логарифма: $x > 0$.

Представим 1 в виде логарифма с основанием 5: $1 = \log_5 5$.

Неравенство принимает вид: $\log_5 x > \log_5 5$.

Так как основание логарифма $5 > 1$, функция $y = \log_5 x$ является возрастающей. Поэтому при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства сохраняется: $x > 5$.

Теперь найдем пересечение полученных решений:

$\begin{cases} x < 18, \\ x > 5, \\ x > 0.\end{cases}$

Объединяя условия, получаем $5 < x < 18$.

Ответ: $x \in (5, 18)$.

2)

Дано:

$\begin{cases} \log_{\frac{1}{3}} x < -2, \\ x + 1 > 3;\end{cases}$

Найти:

Множество решений системы неравенств.

Решение:

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

Первое неравенство: $\log_{\frac{1}{3}} x < -2$.

ОДЗ логарифма: $x > 0$.

Представим -2 в виде логарифма с основанием $\frac{1}{3}$: $-2 = -2 \cdot \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{3} = \log_{\frac{1}{3}} \left(\frac{1}{3}\right)^{-2} = \log_{\frac{1}{3}} 9$.

Неравенство принимает вид: $\log_{\frac{1}{3}} x < \log_{\frac{1}{3}} 9$.

Так как основание логарифма $0 < \frac{1}{3} < 1$, функция $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ является убывающей. Поэтому при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства меняется на противоположный: $x > 9$.

Второе неравенство: $x + 1 > 3$.

Перенесем 1 в правую часть: $x > 3 - 1$, что дает $x > 2$.

Теперь найдем пересечение полученных решений:

$\begin{cases} x > 9, \\ x > 2, \\ x > 0.\end{cases}$

Объединяя условия, получаем $x > 9$.

Ответ: $x \in (9, \infty)$.

3)

Дано:

$\begin{cases} \ln x \ge 0, \\ 5 - x < 0;\end{cases}$

Найти:

Множество решений системы неравенств.

Решение:

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

Первое неравенство: $\ln x \ge 0$.

Натуральный логарифм $\ln x$ имеет основание $e$, где $e \approx 2.718 > 1$.

ОДЗ логарифма: $x > 0$.

Представим 0 в виде натурального логарифма: $0 = \ln 1$.

Неравенство принимает вид: $\ln x \ge \ln 1$.

Так как основание $e > 1$, функция $y = \ln x$ является возрастающей. Поэтому знак неравенства сохраняется: $x \ge 1$.

Второе неравенство: $5 - x < 0$.

Перенесем $x$ в правую часть: $5 < x$, или $x > 5$.

Теперь найдем пересечение полученных решений:

$\begin{cases} x \ge 1, \\ x > 5, \\ x > 0.\end{cases}$

Объединяя условия, получаем $x > 5$.

Ответ: $x \in (5, \infty)$.

4)

Дано:

$\begin{cases} \ln x \le 1, \\ x + 7 > 0.\end{cases}$

Найти:

Множество решений системы неравенств.

Решение:

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

Первое неравенство: $\ln x \le 1$.

ОДЗ логарифма: $x > 0$.

Представим 1 в виде натурального логарифма: $1 = \ln e$.

Неравенство принимает вид: $\ln x \le \ln e$.

Так как основание $e > 1$, функция $y = \ln x$ является возрастающей. Поэтому знак неравенства сохраняется: $x \le e$.

Второе неравенство: $x + 7 > 0$.

Перенесем 7 в правую часть: $x > -7$.

Теперь найдем пересечение полученных решений:

$\begin{cases} x \le e, \\ x > -7, \\ x > 0.\end{cases}$

Объединяя условия, получаем $0 < x \le e$.

Ответ: $x \in (0, e]$.