Номер 265, страница 125 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

265.1) $\log_3(11 + 4^x) > 3;$

2) $\log_{\frac{1}{5}}(22 + 3^x) > -2;$

3) $\lg(x^2 - 1) \le 0;$

4) $\lg(1 - x^2) \ge 0.$

1)

Решение:

Дано логарифмическое неравенство: $log_3(11 + 4^x) > 3$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$11 + 4^x > 0$

Поскольку показательная функция $4^x$ всегда принимает положительные значения для любого действительного $x$, то и сумма $11 + 4^x$ всегда будет больше нуля. Следовательно, ОДЗ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

Теперь решим неравенство. Представим число 3 в виде логарифма по основанию 3:

$3 = \log_3(3^3) = \log_3(27)$

Подставим это в исходное неравенство:

$\log_3(11 + 4^x) > \log_3(27)$

Так как основание логарифма $a = 3$, и $3 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента. Поэтому мы можем убрать логарифмы, сохранив знак неравенства:

$11 + 4^x > 27$

Решим полученное показательное неравенство:

$4^x > 27 - 11$

$4^x > 16$

Представим 16 как степень с основанием 4:

$4^x > 4^2$

Так как основание степени $4 > 1$, показательная функция является возрастающей, поэтому при переходе к показателям степени знак неравенства сохраняется:

$x > 2$

Полученное решение полностью входит в ОДЗ.

Ответ: $x \in (2; +\infty)$.

2)

Решение:

Дано логарифмическое неравенство: $\log_{\frac{1}{5}}(22 + 3^x) > -2$.

Найдем ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть положительным:

$22 + 3^x > 0$

Так как $3^x > 0$ для любого действительного $x$, то $22 + 3^x$ всегда будет положительным. ОДЗ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

Решим неравенство. Представим -2 в виде логарифма по основанию $\frac{1}{5}$:

$-2 = \log_{\frac{1}{5}}((\frac{1}{5})^{-2}) = \log_{\frac{1}{5}}(5^2) = \log_{\frac{1}{5}}(25)$

Неравенство принимает вид:

$\log_{\frac{1}{5}}(22 + 3^x) > \log_{\frac{1}{5}}(25)$

Так как основание логарифма $a = \frac{1}{5}$, и $0 < \frac{1}{5} < 1$, логарифмическая функция является убывающей. Это означает, что большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Поэтому при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$22 + 3^x < 25$

Решим полученное показательное неравенство:

$3^x < 25 - 22$

$3^x < 3$

$3^x < 3^1$

Так как основание степени $3 > 1$, функция является возрастающей, и знак неравенства сохраняется:

$x < 1$

Решение удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x \in (-\infty; 1)$.

3)

Решение:

Дано неравенство: $\lg(x^2 - 1) \le 0$. (lg - это десятичный логарифм, т.е. $\log_{10}$)

1. Найдем ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:

$x^2 - 1 > 0$

$(x-1)(x+1) > 0$

Используя метод интервалов, находим, что это неравенство выполняется при $x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$.

2. Решим исходное неравенство. Представим 0 в виде десятичного логарифма:

$0 = \lg(10^0) = \lg(1)$

Неравенство принимает вид:

$\lg(x^2 - 1) \le \lg(1)$

Основание логарифма $10 > 1$, поэтому функция возрастающая. При переходе к аргументам знак неравенства сохраняется:

$x^2 - 1 \le 1$

$x^2 - 2 \le 0$

$(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2}) \le 0$

Решением этого квадратного неравенства является отрезок $x \in [-\sqrt{2}; \sqrt{2}]$.

3. Теперь найдем пересечение полученного решения с ОДЗ. Мы должны удовлетворить системе условий:

$\begin{cases} x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty) \\ x \in [-\sqrt{2}; \sqrt{2}] \end{cases}$

Пересечение этих множеств дает: $x \in [-\sqrt{2}; -1) \cup (1; \sqrt{2}]$.

Ответ: $x \in [-\sqrt{2}; -1) \cup (1; \sqrt{2}]$.

4)

Решение:

Дано неравенство: $\lg(1 - x^2) \ge 0$.

1. Найдем ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$1 - x^2 > 0$

$x^2 < 1$

Это неравенство выполняется, когда $|x| < 1$, то есть $x \in (-1; 1)$.

2. Решим исходное неравенство. Представим 0 как $\lg(1)$:

$\lg(1 - x^2) \ge \lg(1)$

Основание логарифма $10 > 1$, поэтому функция возрастающая, и знак неравенства при переходе к аргументам сохраняется:

$1 - x^2 \ge 1$

Вычтем 1 из обеих частей:

$-x^2 \ge 0$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$x^2 \le 0$

Квадрат действительного числа не может быть отрицательным. Единственное значение, при котором это неравенство выполняется, это когда $x^2 = 0$, что означает $x = 0$.

3. Проверим, входит ли найденное решение в ОДЗ. Значение $x = 0$ принадлежит интервалу $(-1; 1)$.

Следовательно, единственным решением неравенства является $x = 0$.

Ответ: $x = 0$.