Номер 270, страница 130 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

270. На карточках написаны натуральные числа от 3 до 17. Из этих карточек произвольно берутся 2 карточки. Найдите вероятность того, что сумма чисел взятых карточек равна 15.

Набор карточек с натуральными числами от 3 до 17.
Произвольно выбираются 2 карточки.

Вероятность того, что сумма чисел на двух взятых карточках равна 15.

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности, согласно которому вероятность события равна отношению числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных исходов. Формула вероятности: $P(A) = \frac{m}{n}$, где $m$ — число благоприятных исходов, а $n$ — общее число исходов.

Сначала определим общее количество карточек в наборе. На карточках написаны натуральные числа от 3 до 17 включительно. Их количество равно: $17 - 3 + 1 = 15$ карточек.

Далее найдем общее число исходов $n$. Это число способов выбрать 2 карточки из 15. Так как порядок выбора карточек не имеет значения, используем формулу для числа сочетаний: $n = C_{15}^2 = \frac{15!}{2!(15-2)!} = \frac{15!}{2! \cdot 13!} = \frac{13! \cdot 14 \cdot 15}{2 \cdot 1 \cdot 13!} = \frac{14 \cdot 15}{2} = 7 \cdot 15 = 105$. Следовательно, общее число способов выбрать 2 карточки из 15 равно 105.

Теперь найдем число благоприятных исходов $m$. Благоприятный исход — это выбор двух разных карточек, сумма чисел на которых равна 15. Перечислим все такие пары чисел из диапазона [3, 17]:
3 и 12 (сумма 15)
4 и 11 (сумма 15)
5 и 10 (сумма 15)
6 и 9 (сумма 15)
7 и 8 (сумма 15)
Всего получается 5 таких пар. Следовательно, число благоприятных исходов $m = 5$.

Наконец, вычислим искомую вероятность, разделив число благоприятных исходов на общее число исходов: $P = \frac{m}{n} = \frac{5}{105} = \frac{1}{21}$.

Ответ: $\frac{1}{21}$.