Номер 271, страница 130 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

271. В ящике лежат 15 деталей, 5 из них окрашены. Наугад вынимаются 6 деталей. Найдите вероятность того, что среди взятых 6 деталей 2 окрашены.

Дано:

Общее количество деталей в ящике: $N = 15$

Количество окрашенных деталей: $K = 5$

Количество неокрашенных деталей: $N - K = 15 - 5 = 10$

Количество вынимаемых деталей: $n = 6$

Условие для искомого события: среди 6 вынутых деталей должно быть ровно 2 окрашенных и, следовательно, $6-2=4$ неокрашенных.

Найти:

Вероятность $P(A)$ события $A$, где $A$ - "среди 6 взятых деталей ровно 2 окрашены".

Решение:

Для решения задачи используется классическое определение вероятности: $P(A) = \frac{m}{N_{общ}}$, где $N_{общ}$ — общее число равновозможных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию $A$.

1. Найдем общее число исходов $N_{общ}$. Это число способов выбрать 6 деталей из 15 имеющихся. Оно равно числу сочетаний из 15 по 6, которое вычисляется по формуле $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$:

$N_{общ} = C_{15}^{6} = \frac{15!}{6!(15-6)!} = \frac{15!}{6!9!} = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Выполним вычисления, последовательно сокращая дробь:

$N_{общ} = \frac{15}{5 \cdot 3} \cdot \frac{14}{2} \cdot 13 \cdot \frac{12}{6} \cdot 11 \cdot \frac{10}{4} = 1 \cdot 7 \cdot 13 \cdot 2 \cdot 11 \cdot \frac{10}{4} = 7 \cdot 13 \cdot 2 \cdot 11 \cdot \frac{5}{2} = 7 \cdot 13 \cdot 11 \cdot 5 = 5005$

Таким образом, общее число способов вынуть 6 деталей из 15 равно 5005.

2. Найдем число благоприятных исходов $m$. Событие $A$ наступает, если из 6 вынутых деталей 2 будут окрашенными, а остальные 4 будут неокрашенными.

Число способов выбрать 2 окрашенные детали из 5 имеющихся окрашенных равно числу сочетаний из 5 по 2:

$C_{5}^{2} = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$

Число способов выбрать 4 неокрашенные детали из 10 имеющихся неокрашенных равно числу сочетаний из 10 по 4:

$C_{10}^{4} = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4!6!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 \cdot 3 \cdot 7 = 210$

По правилу произведения в комбинаторике, общее число благоприятных исходов $m$ равно произведению этих двух величин:

$m = C_{5}^{2} \cdot C_{10}^{4} = 10 \cdot 210 = 2100$

3. Теперь можем вычислить искомую вероятность:

$P(A) = \frac{m}{N_{общ}} = \frac{2100}{5005}$

Сократим полученную дробь. Оба числа делятся на 5:

$\frac{2100 \div 5}{5005 \div 5} = \frac{420}{1001}$

Заметим, что $1001 = 7 \cdot 143$ и $420 = 7 \cdot 60$. Сократим дробь на 7:

$\frac{420 \div 7}{1001 \div 7} = \frac{60}{143}$

Так как $143 = 11 \cdot 13$, а число 60 не делится ни на 11, ни на 13, полученная дробь является несократимой.

Ответ: $P(A) = \frac{60}{143}$