Номер 273, страница 130 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

273. Абонент забыл 3 последние цифры номера телефона, на который должен был позвонить, но помнил, что они разные (кроме нуля). Найдите вероятность того, что ему удастся с первой попытки набрать необходимый номер.

Дано:

Абонент забыл 3 последние цифры номера телефона.

Известно, что:

1. Все 3 цифры разные.

2. Среди цифр нет нуля.

Найти:

Вероятность $P$ того, что абонент с первой попытки наберет правильный номер.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности: $P = \frac{m}{n}$, где $n$ – общее число равновозможных исходов, а $m$ – число благоприятных исходов.

Сначала найдем общее число возможных комбинаций для трех последних цифр номера, то есть $n$.

По условию, цифры не могут быть нулем. Значит, для выбора доступны цифры из множества {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Всего 9 различных цифр.

Нужно выбрать 3 разные цифры из 9, причем их порядок важен (например, 123 и 321 – это разные окончания номера). Следовательно, мы имеем дело с размещениями без повторений.

Число размещений из $k$ элементов по $n$ элементам вычисляется по формуле:

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

В нашем случае $n=9$ (количество доступных цифр) и $k=3$ (количество позиций для цифр).

Подставим значения в формулу:

$n = A_9^3 = \frac{9!}{(9-3)!} = \frac{9!}{6!} = \frac{6! \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9}{6!} = 7 \cdot 8 \cdot 9 = 504$

Таким образом, общее число возможных трехзначных комбинаций, удовлетворяющих условию, равно 504.

Теперь найдем число благоприятных исходов, то есть $m$. Благоприятный исход – это набор правильного номера. Поскольку правильный номер только один, число благоприятных исходов $m = 1$.

Теперь можем вычислить вероятность:

$P = \frac{m}{n} = \frac{1}{504}$

Ответ: $ \frac{1}{504} $