Номер 263, страница 124 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

263. 1) $\begin{cases} x + 3 \geq 0, \\ \log_{\frac{1}{2}} x > -1; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 8 - x > 0, \\ \log_{5} x < 2; \end{cases}$

3) $\begin{cases} \log_{0,7} x < 1, \\ x - 0,3 \geq 0; \end{cases}$

4) $\begin{cases} 9 - x \leq 0, \\ \log_{\frac{1}{6}} x > -1. \end{cases}$

1)

Решим систему неравенств:$\begin{cases}x+3 \ge 0, \\\log_{\frac{1}{2}} x > -1.\end{cases}$

Из первого неравенства $x+3 \ge 0$ следует, что $x \ge -3$.

Решим второе неравенство $\log_{\frac{1}{2}} x > -1$. Область допустимых значений (ОДЗ) для этого неравенства: $x > 0$.Поскольку основание логарифма $\frac{1}{2}$ меньше 1 ($0 < \frac{1}{2} < 1$), при потенцировании знак неравенства меняется на противоположный:$x < (\frac{1}{2})^{-1}$, что равносильно $x < 2$.Объединяя с ОДЗ, получаем решение для второго неравенства: $0 < x < 2$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств системы:$\begin{cases}x \ge -3, \\0 < x < 2.\end{cases}$Решением системы является интервал $x \in (0, 2)$.

Ответ: $x \in (0, 2)$.

2)

Решим систему неравенств:$\begin{cases}8-x > 0, \\\log_5 x < 2.\end{cases}$

Из первого неравенства $8-x > 0$ следует, что $x < 8$.

Решим второе неравенство $\log_5 x < 2$. ОДЗ: $x > 0$.Поскольку основание логарифма $5$ больше 1, при потенцировании знак неравенства сохраняется:$x < 5^2$, что равносильно $x < 25$.Объединяя с ОДЗ, получаем решение для второго неравенства: $0 < x < 25$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств системы:$\begin{cases}x < 8, \\0 < x < 25.\end{cases}$Решением системы является интервал $x \in (0, 8)$.

Ответ: $x \in (0, 8)$.

3)

Решим систему неравенств:$\begin{cases}\log_{0,7} x < 1, \\x - 0,3 \ge 0.\end{cases}$

Решим первое неравенство $\log_{0,7} x < 1$. ОДЗ: $x > 0$.Поскольку основание логарифма $0,7$ меньше 1 ($0 < 0,7 < 1$), при потенцировании знак неравенства меняется на противоположный:$x > 0,7^1$, что равносильно $x > 0,7$.Решение первого неравенства с учетом ОДЗ: $x > 0,7$.

Из второго неравенства $x - 0,3 \ge 0$ следует, что $x \ge 0,3$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств системы:$\begin{cases}x > 0,7, \\x \ge 0,3.\end{cases}$Решением системы является интервал $x \in (0,7; +\infty)$.

Ответ: $x \in (0,7; +\infty)$.

4)

Решим систему неравенств:$\begin{cases}9-x \le 0, \\\log_{\frac{1}{6}} x > -1.\end{cases}$

Из первого неравенства $9-x \le 0$ следует, что $x \ge 9$.

Решим второе неравенство $\log_{\frac{1}{6}} x > -1$. ОДЗ: $x > 0$.Поскольку основание логарифма $\frac{1}{6}$ меньше 1 ($0 < \frac{1}{6} < 1$), при потенцировании знак неравенства меняется на противоположный:$x < (\frac{1}{6})^{-1}$, что равносильно $x < 6$.Объединяя с ОДЗ, получаем решение для второго неравенства: $0 < x < 6$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств системы:$\begin{cases}x \ge 9, \\0 < x < 6.\end{cases}$Интервалы $[9, +\infty)$ и $(0, 6)$ не имеют общих точек. Следовательно, система не имеет решений.

Ответ: $x \in \emptyset$.