Номер 255, страница 119 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

Решите системы уравнений (255–256):

255.1)

$\begin{cases} \lg x + \lg 2 = \lg y, \\ 3x - 2y = -2; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} \log_2(x + y) + \log_2(x^2 - xy + y) = 1, \\ x - y = 0; \end{cases}$

3)

$\begin{cases} \left(\frac{2}{3}\right)^{2x-y} - \frac{4}{9} = 0, \\ \lg (3x - y) - 4\lg 2 = 0; \end{cases}$

4)

$\begin{cases} \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{2}{15}, \\ \log_3 x + \log_3 y = 1 + \log_3 5. \end{cases}$

1)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} \lg x + \lg 2 = \lg y, \\ 3x - 2y = -2; \end{cases} $

Решение

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть положительными: $x > 0$ и $y > 0$.

Преобразуем первое уравнение, используя свойство логарифмов $\lg a + \lg b = \lg(ab)$:
$\lg(2x) = \lg y$

Так как основания логарифмов равны (десятичный логарифм), приравниваем их аргументы:
$2x = y$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:
$ \begin{cases} y = 2x, \\ 3x - 2y = -2; \end{cases} $

Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:
$3x - 2(2x) = -2$
$3x - 4x = -2$
$-x = -2$
$x = 2$

Теперь найдем $y$:
$y = 2x = 2 \cdot 2 = 4$

Проверим, удовлетворяет ли решение $(2, 4)$ ОДЗ:
$x=2 > 0$ (верно)
$y=4 > 0$ (верно)

Решение подходит.

Ответ: $(2, 4)$

2)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} \log_2(x + y) + \log_2(x^2 - xy + y) = 1, \\ x - y = 0; \end{cases} $

Решение

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
$x + y > 0$
$x^2 - xy + y > 0$

Из второго уравнения системы следует, что $x = y$.

Подставим $x = y$ в условия ОДЗ:
$y + y > 0 \implies 2y > 0 \implies y > 0$. Так как $x=y$, то и $x > 0$.
$y^2 - y \cdot y + y > 0 \implies y > 0$.
Таким образом, ОДЗ: $x > 0, y > 0$.

Преобразуем первое уравнение, используя свойство логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$:
$\log_2((x + y)(x^2 - xy + y)) = 1$

По определению логарифма:
$(x + y)(x^2 - xy + y) = 2^1 = 2$

Подставим $x = y$ в полученное уравнение:
$(y + y)(y^2 - y^2 + y) = 2$
$(2y)(y) = 2$
$2y^2 = 2$
$y^2 = 1$
$y = 1$ или $y = -1$.

Согласно ОДЗ ($y>0$), подходит только $y = 1$.

Так как $x = y$, то $x = 1$.

Решение $(1, 1)$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $(1, 1)$

3)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} \left(\frac{2}{3}\right)^{2x-y} - \frac{4}{9} = 0, \\ \lg(3x - y) - 4\lg2 = 0; \end{cases} $

Решение

Рассмотрим первое уравнение:
$\left(\frac{2}{3}\right)^{2x-y} = \frac{4}{9}$

Представим правую часть в виде степени с основанием $\frac{2}{3}$:
$\frac{4}{9} = \left(\frac{2}{3}\right)^2$

Получаем показательное уравнение:
$\left(\frac{2}{3}\right)^{2x-y} = \left(\frac{2}{3}\right)^2$

Так как основания степеней равны, приравниваем показатели:
$2x - y = 2$

Рассмотрим второе уравнение. ОДЗ для него: $3x - y > 0$.
$\lg(3x - y) - 4\lg2 = 0$

Используя свойство $n\lg a = \lg(a^n)$, преобразуем уравнение:
$\lg(3x - y) - \lg(2^4) = 0$
$\lg(3x - y) = \lg(16)$

Приравниваем аргументы логарифмов:
$3x - y = 16$

Теперь решаем систему линейных уравнений:
$ \begin{cases} 2x - y = 2, \\ 3x - y = 16; \end{cases} $

Вычтем первое уравнение из второго:
$(3x - y) - (2x - y) = 16 - 2$
$x = 14$

Подставим значение $x$ в первое уравнение, чтобы найти $y$:
$2(14) - y = 2$
$28 - y = 2$
$y = 28 - 2 = 26$

Проверим ОДЗ: $3x - y = 3(14) - 26 = 42 - 26 = 16 > 0$. Условие выполнено.

Ответ: $(14, 26)$

4)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{2}{15}, \\ \log_3 x + \log_3 y = 1 + \log_3 5; \end{cases} $

Решение

Найдем ОДЗ. Из первого уравнения следует, что $x \neq 0, y \neq 0$. Из второго уравнения следует, что $x > 0, y > 0$. Объединяя, получаем ОДЗ: $x > 0, y > 0$.

Преобразуем второе уравнение. Представим $1$ как $\log_3 3$:
$\log_3 x + \log_3 y = \log_3 3 + \log_3 5$

Используем свойство $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$:
$\log_3(xy) = \log_3(3 \cdot 5)$
$\log_3(xy) = \log_3(15)$

Приравниваем аргументы логарифмов:
$xy = 15$

Теперь решаем систему:
$ \begin{cases} \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{2}{15}, \\ xy = 15; \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $y = \frac{15}{x}$. Подставим это в первое уравнение:
$\frac{1}{x} - \frac{1}{15/x} = \frac{2}{15}$
$\frac{1}{x} - \frac{x}{15} = \frac{2}{15}$

Приведем левую часть к общему знаменателю $15x$:
$\frac{15 - x^2}{15x} = \frac{2}{15}$

Умножим обе части на $15x$ (так как $x > 0$, то $15x \neq 0$):
$15 - x^2 = 2x$
$x^2 + 2x - 15 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $x_1, x_2$ удовлетворяют условиям $x_1 + x_2 = -2$ и $x_1 \cdot x_2 = -15$. Корни: $x_1 = 3, x_2 = -5$.

Согласно ОДЗ ($x>0$), корень $x_2 = -5$ не подходит. Следовательно, $x = 3$.

Найдем $y$:
$y = \frac{15}{x} = \frac{15}{3} = 5$

Решение $(3, 5)$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $(3, 5)$