Страница 119 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

252. 1) $3 \lg^2 (x - 1) - 10 \lg (x - 1) + 3 = 0;$

2) $\frac{1}{5 - \lg x} + \frac{2}{1 + \lg x} = 1;$

3) $\lg^2(100x) + \lg^2(10x) = 14 + \lg\frac{1}{x};$

4) $\lg^2 x - 2 \lg x = \lg^2 100 - 1.$

1) $3 \lg^2(x-1) - 10 \lg(x-1) + 3 = 0$

Решение:

Это логарифмическое уравнение, которое сводится к квадратному.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:

$x - 1 > 0 \implies x > 1$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \lg(x-1)$. Тогда исходное уравнение примет вид:

$3t^2 - 10t + 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $t$. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$

Найдем корни уравнения:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $t$.

1. Если $t = 3$, то $\lg(x-1) = 3$.

По определению десятичного логарифма:

$x - 1 = 10^3$

$x - 1 = 1000$

$x_1 = 1001$

2. Если $t = \frac{1}{3}$, то $\lg(x-1) = \frac{1}{3}$.

По определению десятичного логарифма:

$x - 1 = 10^{1/3}$

$x_2 = 1 + \sqrt[3]{10}$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x > 1$), так как $1001 > 1$ и $1 + \sqrt[3]{10} > 1$.

Ответ: $x_1 = 1001, x_2 = 1 + \sqrt[3]{10}$.

2) $\frac{1}{5 - \lg x} + \frac{2}{1 + \lg x} = 1$

Решение:

Определим ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть положительным, а знаменатели дробей не должны равняться нулю.

1. $x > 0$

2. $5 - \lg x \neq 0 \implies \lg x \neq 5 \implies x \neq 10^5$

3. $1 + \lg x \neq 0 \implies \lg x \neq -1 \implies x \neq 10^{-1} = 0.1$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \lg x$. Уравнение примет вид:

$\frac{1}{5 - t} + \frac{2}{1 + t} = 1$

Приведем дроби к общему знаменателю $(5-t)(1+t)$:

$\frac{1 \cdot (1+t) + 2 \cdot (5-t)}{(5-t)(1+t)} = 1$

$\frac{1+t+10-2t}{5+5t-t-t^2} = 1$

$\frac{11-t}{5+4t-t^2} = 1$

Так как мы учли в ОДЗ, что знаменатель не равен нулю, можем умножить обе части на него:

$11 - t = 5 + 4t - t^2$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные:

$t^2 - 4t - t + 11 - 5 = 0$

$t^2 - 5t + 6 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $t_1 = 2$ и $t_2 = 3$. Оба корня не совпадают с ограничениями $t \neq 5$ и $t \neq -1$.

Выполним обратную замену:

1. Если $t = 2$, то $\lg x = 2 \implies x_1 = 10^2 = 100$.

2. Если $t = 3$, то $\lg x = 3 \implies x_2 = 10^3 = 1000$.

Оба корня ($100$ и $1000$) удовлетворяют ОДЗ ($x>0, x \neq 10^5, x \neq 0.1$).

Ответ: $x_1 = 100, x_2 = 1000$.

3) $\lg^2(100x) + \lg^2(10x) = 14 + \lg \frac{1}{x}$

Решение:

ОДЗ: $x > 0$, так как аргументы всех логарифмов должны быть положительны.

Используем свойства логарифмов для упрощения уравнения:

$\lg(100x) = \lg 100 + \lg x = 2 + \lg x$

$\lg(10x) = \lg 10 + \lg x = 1 + \lg x$

$\lg \frac{1}{x} = \lg(x^{-1}) = - \lg x$

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$(2 + \lg x)^2 + (1 + \lg x)^2 = 14 - \lg x$

Сделаем замену $t = \lg x$:

$(2+t)^2 + (1+t)^2 = 14 - t$

Раскроем скобки:

$(4 + 4t + t^2) + (1 + 2t + t^2) = 14 - t$

Приведем подобные члены:

$2t^2 + 6t + 5 = 14 - t$

$2t^2 + 7t - 9 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант:

$D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 49 + 72 = 121 = 11^2$

Корни:

$t_1 = \frac{-7 + 11}{4} = \frac{4}{4} = 1$

$t_2 = \frac{-7 - 11}{4} = \frac{-18}{4} = -\frac{9}{2} = -4.5$

Выполним обратную замену:

1. Если $t=1$, то $\lg x = 1 \implies x_1 = 10^1 = 10$.

2. Если $t=-4.5$, то $\lg x = -4.5 \implies x_2 = 10^{-4.5} = 10^{-9/2} = \frac{1}{\sqrt{10^9}} = \frac{1}{10000\sqrt{10}}$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $x_1 = 10, x_2 = 10^{-4.5}$.

4) $\lg^2 x - 2 \lg x = \lg^2 100 - 1$

Решение:

ОДЗ: $x > 0$.

Упростим правую часть уравнения. Так как $\lg 100 = \lg 10^2 = 2$, то $\lg^2 100 = 2^2 = 4$.

$\lg^2 x - 2 \lg x = 4 - 1$

$\lg^2 x - 2 \lg x = 3$

Перенесем 3 в левую часть:

$\lg^2 x - 2 \lg x - 3 = 0$

Сделаем замену $t = \lg x$:

$t^2 - 2t - 3 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $t_1=3$ и $t_2=-1$.

Выполним обратную замену:

1. Если $t=3$, то $\lg x = 3 \implies x_1 = 10^3 = 1000$.

2. Если $t=-1$, то $\lg x = -1 \implies x_2 = 10^{-1} = 0.1$.

Оба корня ($1000$ и $0.1$) удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $x_1 = 1000, x_2 = 0.1$.

253.1) $(\log_{\frac{1}{2}}(4x))^2 + \log_2\left(\frac{x^2}{8}\right) = 8$;

2) $(\log_2 x^5)^2 - 5 \log_2 x^3 = 10$;

3) $\lg (10x) \cdot \lg (0.1 \cdot x) = \lg x^3 - 3$;

4) $\frac{1 - (\lg(x^2))^2}{\lg x - 2 (\lg x)^2} = 4 \lg x + 5$.

1) $\log_{\frac{1}{2}}^2(4x) + \log_2 \frac{x^2}{8} = 8$

Решение:

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть положительными:

$4x > 0 \implies x > 0$

$\frac{x^2}{8} > 0 \implies x^2 > 0 \implies x \neq 0$

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x > 0$.

Преобразуем уравнение, используя свойства логарифмов:

$\log_{\frac{1}{2}}(4x) = \log_{2^{-1}}(4x) = -\log_2(4x) = -(\log_2 4 + \log_2 x) = -(2 + \log_2 x)$.

Тогда первый член уравнения: $\log_{\frac{1}{2}}^2(4x) = (-(2 + \log_2 x))^2 = (2 + \log_2 x)^2 = 4 + 4\log_2 x + \log_2^2 x$.

Преобразуем второй член: $\log_2 \frac{x^2}{8} = \log_2(x^2) - \log_2 8 = 2\log_2 x - 3$.

Подставим преобразованные выражения в исходное уравнение:

$(4 + 4\log_2 x + \log_2^2 x) + (2\log_2 x - 3) = 8$

$\log_2^2 x + 6\log_2 x + 1 = 8$

$\log_2^2 x + 6\log_2 x - 7 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_2 x$.

$t^2 + 6t - 7 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $t_1 = 1$ и $t_2 = -7$.

Вернемся к исходной переменной:

1) $\log_2 x = 1 \implies x_1 = 2^1 = 2$.

2) $\log_2 x = -7 \implies x_2 = 2^{-7} = \frac{1}{128}$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $2; \frac{1}{128}$.

2) $\log_2^2 x^5 - 5 \log_2 x^3 = 10$

Решение:

ОДЗ: $x > 0$, так как $x^5 > 0$ и $x^3 > 0$ при $x > 0$.

Упростим уравнение, используя свойство логарифма степени $\log_a b^c = c \log_a b$.

$\log_2^2 x^5 = (\log_2 x^5)^2 = (5\log_2 x)^2 = 25\log_2^2 x$.

$5\log_2 x^3 = 5 \cdot (3\log_2 x) = 15\log_2 x$.

Подставим в уравнение:

$25\log_2^2 x - 15\log_2 x = 10$

$25\log_2^2 x - 15\log_2 x - 10 = 0$

Разделим обе части на 5:

$5\log_2^2 x - 3\log_2 x - 2 = 0$

Сделаем замену $t = \log_2 x$.

$5t^2 - 3t - 2 = 0$

Найдем дискриминант: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 9 + 40 = 49 = 7^2$.

$t_1 = \frac{3 - 7}{2 \cdot 5} = \frac{-4}{10} = -\frac{2}{5}$.

$t_2 = \frac{3 + 7}{2 \cdot 5} = \frac{10}{10} = 1$.

Выполним обратную замену:

1) $\log_2 x = 1 \implies x_1 = 2^1 = 2$.

2) $\log_2 x = -\frac{2}{5} \implies x_2 = 2^{-2/5} = \frac{1}{\sqrt[5]{4}}$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $2; 2^{-2/5}$.

3) $\lg(10x) \cdot \lg(0.1x) = \lg x^3 - 3$

Решение:

ОДЗ: $x > 0$.

Используем свойства логарифмов произведения и степени ($\lg a = \log_{10} a$):

$\lg(10x) = \lg 10 + \lg x = 1 + \lg x$.

$\lg(0.1x) = \lg(10^{-1}x) = \lg 10^{-1} + \lg x = -1 + \lg x$.

$\lg x^3 = 3\lg x$.

Подставим в уравнение:

$(1 + \lg x)(-1 + \lg x) = 3\lg x - 3$

Применим формулу разности квадратов: $(\lg x)^2 - 1^2 = 3\lg x - 3$.

$\lg^2 x - 1 = 3\lg x - 3$

$\lg^2 x - 3\lg x + 2 = 0$

Сделаем замену $t = \lg x$.

$t^2 - 3t + 2 = 0$

По теореме Виета, корни $t_1 = 1$ и $t_2 = 2$.

Вернемся к исходной переменной:

1) $\lg x = 1 \implies x_1 = 10^1 = 10$.

2) $\lg x = 2 \implies x_2 = 10^2 = 100$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $10; 100$.

4) $\frac{1-\lg^2(x^2)}{\lg x - 2\lg^2 x} = 4\lg x + 5$

Решение:

Найдем ОДЗ:

1. Аргументы логарифмов положительны: $x^2 > 0 \implies x \neq 0$ и $x > 0$. Объединяя, получаем $x > 0$.

2. Знаменатель не равен нулю: $\lg x - 2\lg^2 x \neq 0$.

$\lg x(1 - 2\lg x) \neq 0$.

Отсюда $\lg x \neq 0 \implies x \neq 1$ и $1 - 2\lg x \neq 0 \implies 2\lg x \neq 1 \implies \lg x \neq \frac{1}{2} \implies x \neq 10^{1/2} = \sqrt{10}$.

ОДЗ: $x \in (0; +\infty)$, $x \neq 1$, $x \neq \sqrt{10}$.

Преобразуем левую часть уравнения:

Числитель: $1 - \lg^2(x^2) = 1 - (2\lg x)^2 = (1 - 2\lg x)(1 + 2\lg x)$.

Знаменатель: $\lg x - 2\lg^2 x = \lg x(1 - 2\lg x)$.

Дробь принимает вид: $\frac{(1 - 2\lg x)(1 + 2\lg x)}{\lg x(1 - 2\lg x)}$.

Сократим на $(1 - 2\lg x)$, так как по ОДЗ $x \neq \sqrt{10}$:

$\frac{1 + 2\lg x}{\lg x} = 4\lg x + 5$.

Сделаем замену $t = \lg x$. Учитывая ОДЗ, $t \neq 0$ и $t \neq \frac{1}{2}$.

$\frac{1 + 2t}{t} = 4t + 5$

Умножим обе части на $t$ (так как $t \neq 0$):

$1 + 2t = t(4t + 5)$

$1 + 2t = 4t^2 + 5t$

$4t^2 + 3t - 1 = 0$

Найдем дискриминант: $D = 3^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 9 + 16 = 25 = 5^2$.

$t_1 = \frac{-3 - 5}{2 \cdot 4} = \frac{-8}{8} = -1$.

$t_2 = \frac{-3 + 5}{2 \cdot 4} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.

Оба значения $t$ допустимы, так как $t \neq 0$ и $t \neq \frac{1}{2}$.

Выполним обратную замену:

1) $\lg x = -1 \implies x_1 = 10^{-1} = 0.1$.

2) $\lg x = \frac{1}{4} \implies x_2 = 10^{1/4} = \sqrt[4]{10}$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $0.1; \sqrt[4]{10}$.

254. 1) $\log_2 \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{\log_2 x} = \frac{4}{3}$;

2) $\log_2^2 (2x) = 4 \log_2 x$

3) $\log_3 (3^{x+1} + 3^x) = \log_3 324$;

4) $\lg(x^2) + \lg(-x) = 9.$

1) $ \log_{2}\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{\log_{2}x} = \frac{4}{3} $

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $x > 0$.

Используем свойство логарифма $ \log_a(b^c) = c \log_a b $:

$ \log_{2}(x^{1/3}) + \sqrt[3]{\log_{2}x} = \frac{4}{3} $

$ \frac{1}{3}\log_{2}x + \sqrt[3]{\log_{2}x} = \frac{4}{3} $

Сделаем замену переменной. Пусть $ t = \sqrt[3]{\log_{2}x} $. Тогда $ t^3 = \log_{2}x $. Подставим в уравнение:

$ \frac{1}{3}t^3 + t = \frac{4}{3} $

Умножим обе части уравнения на 3, чтобы избавиться от дробей:

$ t^3 + 3t = 4 $

$ t^3 + 3t - 4 = 0 $

Подбором находим один из корней. Проверим $ t=1 $: $ 1^3 + 3 \cdot 1 - 4 = 1 + 3 - 4 = 0 $. Следовательно, $ t=1 $ является корнем уравнения.

Разделим многочлен $ t^3 + 3t - 4 $ на $ (t-1) $:

$ (t-1)(t^2+t+4) = 0 $

Рассмотрим квадратное уравнение $ t^2+t+4=0 $. Найдем его дискриминант: $ D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 1 - 16 = -15 $.

Так как $D < 0$, у квадратного уравнения нет действительных корней.

Единственным действительным решением является $ t=1 $.

Вернемся к исходной переменной:

$ \sqrt[3]{\log_{2}x} = 1 $

$ \log_{2}x = 1^3 $

$ \log_{2}x = 1 $

$ x = 2^1 = 2 $

Корень $ x=2 $ удовлетворяет ОДЗ ($ x>0 $).

Ответ: 2.

2) $ \log_2^2(2x) = 4\log_2x $

ОДЗ: $ 2x > 0 $ и $ x > 0 $, что равносильно $ x > 0 $.

Используем свойство логарифма произведения $ \log_a(bc) = \log_a b + \log_a c $:

$ \log_2(2x) = \log_2 2 + \log_2 x = 1 + \log_2 x $

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$ (1 + \log_2 x)^2 = 4\log_2 x $

Сделаем замену $ t = \log_2 x $:

$ (1 + t)^2 = 4t $

$ 1 + 2t + t^2 = 4t $

$ t^2 - 2t + 1 = 0 $

Это полный квадрат: $ (t - 1)^2 = 0 $.

Отсюда $ t - 1 = 0 $, то есть $ t = 1 $.

Вернемся к замене:

$ \log_2 x = 1 $

$ x = 2^1 = 2 $

Корень $ x=2 $ удовлетворяет ОДЗ ($ x>0 $).

Ответ: 2.

3) $ \log_3(3^{x+1} + 3^x) = \log_3 324 $

ОДЗ: $ 3^{x+1} + 3^x > 0 $. Так как $ 3^x > 0 $ для любого $ x $, то и сумма $ 3 \cdot 3^x + 3^x = 4 \cdot 3^x $ всегда положительна. Следовательно, $ x $ может быть любым действительным числом.

Так как основания логарифмов равны, мы можем приравнять их аргументы:

$ 3^{x+1} + 3^x = 324 $

Вынесем $ 3^x $ за скобки:

$ 3^x(3^1 + 1) = 324 $

$ 3^x \cdot 4 = 324 $

$ 3^x = \frac{324}{4} $

$ 3^x = 81 $

Представим 81 как степень тройки: $ 81 = 3^4 $.

$ 3^x = 3^4 $

Отсюда $ x = 4 $.

Ответ: 4.

4) $ \lg(x^2) + \lg(-x) = 9 $

ОДЗ: аргументы логарифмов должны быть положительны.

1) $ x^2 > 0 \Rightarrow x \neq 0 $

2) $ -x > 0 \Rightarrow x < 0 $

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $ x < 0 $.

Используем свойство логарифма суммы $ \log_a b + \log_a c = \log_a(bc) $:

$ \lg(x^2 \cdot (-x)) = 9 $

$ \lg(-x^3) = 9 $

По определению десятичного логарифма:

$ -x^3 = 10^9 $

$ x^3 = -10^9 $

Извлечем кубический корень из обеих частей:

$ x = \sqrt[3]{-10^9} = \sqrt[3]{(-10^3)^3} = -10^3 = -1000 $

Корень $ x=-1000 $ удовлетворяет ОДЗ ($ x<0 $).

Ответ: -1000.

Решите системы уравнений (255–256):

255.1)

$\begin{cases} \lg x + \lg 2 = \lg y, \\ 3x - 2y = -2; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} \log_2(x + y) + \log_2(x^2 - xy + y) = 1, \\ x - y = 0; \end{cases}$

3)

$\begin{cases} \left(\frac{2}{3}\right)^{2x-y} - \frac{4}{9} = 0, \\ \lg (3x - y) - 4\lg 2 = 0; \end{cases}$

4)

$\begin{cases} \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{2}{15}, \\ \log_3 x + \log_3 y = 1 + \log_3 5. \end{cases}$

1)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} \lg x + \lg 2 = \lg y, \\ 3x - 2y = -2; \end{cases} $

Решение

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть положительными: $x > 0$ и $y > 0$.

Преобразуем первое уравнение, используя свойство логарифмов $\lg a + \lg b = \lg(ab)$:
$\lg(2x) = \lg y$

Так как основания логарифмов равны (десятичный логарифм), приравниваем их аргументы:
$2x = y$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:
$ \begin{cases} y = 2x, \\ 3x - 2y = -2; \end{cases} $

Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:
$3x - 2(2x) = -2$
$3x - 4x = -2$
$-x = -2$
$x = 2$

Теперь найдем $y$:
$y = 2x = 2 \cdot 2 = 4$

Проверим, удовлетворяет ли решение $(2, 4)$ ОДЗ:
$x=2 > 0$ (верно)
$y=4 > 0$ (верно)

Решение подходит.

Ответ: $(2, 4)$

2)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} \log_2(x + y) + \log_2(x^2 - xy + y) = 1, \\ x - y = 0; \end{cases} $

Решение

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
$x + y > 0$
$x^2 - xy + y > 0$

Из второго уравнения системы следует, что $x = y$.

Подставим $x = y$ в условия ОДЗ:
$y + y > 0 \implies 2y > 0 \implies y > 0$. Так как $x=y$, то и $x > 0$.
$y^2 - y \cdot y + y > 0 \implies y > 0$.
Таким образом, ОДЗ: $x > 0, y > 0$.

Преобразуем первое уравнение, используя свойство логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$:
$\log_2((x + y)(x^2 - xy + y)) = 1$

По определению логарифма:
$(x + y)(x^2 - xy + y) = 2^1 = 2$

Подставим $x = y$ в полученное уравнение:
$(y + y)(y^2 - y^2 + y) = 2$
$(2y)(y) = 2$
$2y^2 = 2$
$y^2 = 1$
$y = 1$ или $y = -1$.

Согласно ОДЗ ($y>0$), подходит только $y = 1$.

Так как $x = y$, то $x = 1$.

Решение $(1, 1)$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $(1, 1)$

3)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} \left(\frac{2}{3}\right)^{2x-y} - \frac{4}{9} = 0, \\ \lg(3x - y) - 4\lg2 = 0; \end{cases} $

Решение

Рассмотрим первое уравнение:
$\left(\frac{2}{3}\right)^{2x-y} = \frac{4}{9}$

Представим правую часть в виде степени с основанием $\frac{2}{3}$:
$\frac{4}{9} = \left(\frac{2}{3}\right)^2$

Получаем показательное уравнение:
$\left(\frac{2}{3}\right)^{2x-y} = \left(\frac{2}{3}\right)^2$

Так как основания степеней равны, приравниваем показатели:
$2x - y = 2$

Рассмотрим второе уравнение. ОДЗ для него: $3x - y > 0$.
$\lg(3x - y) - 4\lg2 = 0$

Используя свойство $n\lg a = \lg(a^n)$, преобразуем уравнение:
$\lg(3x - y) - \lg(2^4) = 0$
$\lg(3x - y) = \lg(16)$

Приравниваем аргументы логарифмов:
$3x - y = 16$

Теперь решаем систему линейных уравнений:
$ \begin{cases} 2x - y = 2, \\ 3x - y = 16; \end{cases} $

Вычтем первое уравнение из второго:
$(3x - y) - (2x - y) = 16 - 2$
$x = 14$

Подставим значение $x$ в первое уравнение, чтобы найти $y$:
$2(14) - y = 2$
$28 - y = 2$
$y = 28 - 2 = 26$

Проверим ОДЗ: $3x - y = 3(14) - 26 = 42 - 26 = 16 > 0$. Условие выполнено.

Ответ: $(14, 26)$

4)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{2}{15}, \\ \log_3 x + \log_3 y = 1 + \log_3 5; \end{cases} $

Решение

Найдем ОДЗ. Из первого уравнения следует, что $x \neq 0, y \neq 0$. Из второго уравнения следует, что $x > 0, y > 0$. Объединяя, получаем ОДЗ: $x > 0, y > 0$.

Преобразуем второе уравнение. Представим $1$ как $\log_3 3$:
$\log_3 x + \log_3 y = \log_3 3 + \log_3 5$

Используем свойство $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$:
$\log_3(xy) = \log_3(3 \cdot 5)$
$\log_3(xy) = \log_3(15)$

Приравниваем аргументы логарифмов:
$xy = 15$

Теперь решаем систему:
$ \begin{cases} \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{2}{15}, \\ xy = 15; \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $y = \frac{15}{x}$. Подставим это в первое уравнение:
$\frac{1}{x} - \frac{1}{15/x} = \frac{2}{15}$
$\frac{1}{x} - \frac{x}{15} = \frac{2}{15}$

Приведем левую часть к общему знаменателю $15x$:
$\frac{15 - x^2}{15x} = \frac{2}{15}$

Умножим обе части на $15x$ (так как $x > 0$, то $15x \neq 0$):
$15 - x^2 = 2x$
$x^2 + 2x - 15 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $x_1, x_2$ удовлетворяют условиям $x_1 + x_2 = -2$ и $x_1 \cdot x_2 = -15$. Корни: $x_1 = 3, x_2 = -5$.

Согласно ОДЗ ($x>0$), корень $x_2 = -5$ не подходит. Следовательно, $x = 3$.

Найдем $y$:
$y = \frac{15}{x} = \frac{15}{3} = 5$

Решение $(3, 5)$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $(3, 5)$

256.1)

$\begin{cases} \lg(x - y) = 2, \\ \lg x = \lg 3 + \lg y; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} x = 2y, \\ \log_3(x - y) + \log_3(x + y) = 1; \end{cases}$

3)

$\begin{cases} \log_4 x - \log_4 y = 0, \\ x^2 - 5y^2 + 4 = 0; \end{cases}$

4)

$\begin{cases} 1 + \log_2 y = \log_2 (x + y), \\ \log_2(x + y) + \log_2(x^2 - xy + y^2) = 1. \end{cases}$

1)

Дано:

$$ \begin{cases} \lg(x-y) = 2 \\ \lg x = \lg 3 + \lg y \end{cases} $$

Найти: $x, y$

Решение:

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть положительными: $$ \begin{cases} x-y > 0 \\ x > 0 \\ y > 0 \end{cases} $$ Из этих условий следует, что $x > y > 0$.

Преобразуем второе уравнение системы, используя свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$: $$ \lg x = \lg(3y) $$ Поскольку логарифмическая функция монотонна, равенство логарифмов означает равенство их аргументов: $$ x = 3y $$

Преобразуем первое уравнение, используя определение десятичного логарифма ($ \lg a = b \iff a = 10^b $): $$ x - y = 10^2 $$ $$ x - y = 100 $$

Теперь решим систему линейных уравнений: $$ \begin{cases} x = 3y \\ x - y = 100 \end{cases} $$ Подставим выражение для $x$ из первого уравнения во второе: $$ 3y - y = 100 $$ $$ 2y = 100 $$ $$ y = 50 $$ Теперь найдем $x$: $$ x = 3y = 3 \cdot 50 = 150 $$

Проверим, удовлетворяет ли решение $(150, 50)$ условиям ОДЗ: $150 > 50$ и $50 > 0$. Все условия выполнены.

Ответ: $(150, 50)$

2)

Дано:

$$ \begin{cases} x = 2y \\ \log_3(x-y) + \log_3(x+y) = 1 \end{cases} $$

Найти: $x, y$

Решение:

Найдем ОДЗ. Аргументы логарифмов должны быть положительными: $$ \begin{cases} x-y > 0 \\ x+y > 0 \end{cases} $$

Преобразуем второе уравнение, используя свойство суммы логарифмов: $$ \log_3((x-y)(x+y)) = 1 $$ $$ \log_3(x^2 - y^2) = 1 $$ По определению логарифма: $$ x^2 - y^2 = 3^1 = 3 $$

Получили систему уравнений: $$ \begin{cases} x = 2y \\ x^2 - y^2 = 3 \end{cases} $$ Подставим $x = 2y$ во второе уравнение: $$ (2y)^2 - y^2 = 3 $$ $$ 4y^2 - y^2 = 3 $$ $$ 3y^2 = 3 $$ $$ y^2 = 1 $$ Отсюда $y_1 = 1$ и $y_2 = -1$.

Найдем соответствующие значения $x$:
Если $y_1 = 1$, то $x_1 = 2 \cdot 1 = 2$.
Если $y_2 = -1$, то $x_2 = 2 \cdot (-1) = -2$.

Проверим найденные пары чисел на соответствие ОДЗ.
Для пары $(2, 1)$: $x - y = 2 - 1 = 1 > 0$ и $x + y = 2 + 1 = 3 > 0$. Оба условия выполнены, следовательно, $(2, 1)$ является решением.
Для пары $(-2, -1)$: $x - y = -2 - (-1) = -1 < 0$. Условие $x-y > 0$ не выполнено, следовательно, $(-2, -1)$ не является решением.

Ответ: $(2, 1)$

3)

Дано:

$$ \begin{cases} \log_4 x - \log_4 y = 0 \\ x^2 - 5y^2 + 4 = 0 \end{cases} $$

Найти: $x, y$

Решение:

ОДЗ: $x > 0$ и $y > 0$.

Преобразуем первое уравнение: $$ \log_4 x = \log_4 y $$ Отсюда следует, что $x = y$.

Подставим $x = y$ во второе уравнение системы: $$ y^2 - 5y^2 + 4 = 0 $$ $$ -4y^2 = -4 $$ $$ y^2 = 1 $$ Так как по ОДЗ $y > 0$, то единственное возможное значение $y = 1$.

Поскольку $x = y$, то $x = 1$. Проверим решение $(1, 1)$ по ОДЗ: $x = 1 > 0$ и $y = 1 > 0$. Условия выполнены.

Ответ: $(1, 1)$

4)

Дано:

$$ \begin{cases} 1 + \log_2 y = \log_2(x+y) \\ \log_2(x+y) + \log_2(x^2 - xy + y^2) = 1 \end{cases} $$

Найти: $x, y$

Решение:

Найдем ОДЗ: $$ \begin{cases} y > 0 \\ x+y > 0 \\ x^2 - xy + y^2 > 0 \end{cases} $$ Выражение $x^2 - xy + y^2$ можно представить как неполный квадрат суммы: $(x - \frac{y}{2})^2 + \frac{3}{4}y^2$. Так как $y > 0$, то $\frac{3}{4}y^2 > 0$, а $(x - \frac{y}{2})^2 \ge 0$. Сумма этих слагаемых всегда положительна. Таким образом, ОДЗ сводится к двум условиям: $y > 0$ и $x+y > 0$.

Преобразуем первое уравнение. Представим $1$ как $\log_2 2$: $$ \log_2 2 + \log_2 y = \log_2(x+y) $$ $$ \log_2(2y) = \log_2(x+y) $$ Отсюда $2y = x+y$, что дает $x = y$.

Преобразуем второе уравнение, используя свойство суммы логарифмов и формулу суммы кубов $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$: $$ \log_2((x+y)(x^2 - xy + y^2)) = 1 $$ $$ \log_2(x^3 + y^3) = 1 $$ По определению логарифма: $$ x^3 + y^3 = 2^1 = 2 $$

Получили систему: $$ \begin{cases} x = y \\ x^3 + y^3 = 2 \end{cases} $$ Подставим $x = y$ во второе уравнение: $$ x^3 + x^3 = 2 $$ $$ 2x^3 = 2 $$ $$ x^3 = 1 $$ $$ x = 1 $$

Так как $x = y$, то $y = 1$. Проверим решение $(1, 1)$ по ОДЗ: $y = 1 > 0$ и $x+y = 1+1 = 2 > 0$. Оба условия выполнены.

Ответ: $(1, 1)$