Страница 113 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

238.1) $2^{x^2+2x-3} - 8 \cdot 2^x > 0;$

2) $\left(\frac{1}{5}\right)^{x^2} > 5^{-x};$

3) $2^{x^2+12} \le 64 \cdot 2^{5x};$

4) $8 \cdot 2^{x^2-3x} < (0,5)^{-1}.$

1)

Решение:

Предполагается, что в условии имеется опечатка и неравенство должно выглядеть как $2^{x^2+2x-3} - 8 \cdot 2^x > 0$. Решение приведено для этого варианта.

Перенесем второе слагаемое в правую часть неравенства:

$2^{x^2+2x-3} > 8 \cdot 2^x$

Представим число 8 как степень 2, то есть $8 = 2^3$:

$2^{x^2+2x-3} > 2^3 \cdot 2^x$

Используем свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ для правой части:

$2^{x^2+2x-3} > 2^{x+3}$

Так как основание степени $2 > 1$, знак неравенства для показателей степеней сохраняется:

$x^2+2x-3 > x+3$

Переносим все члены в левую часть и упрощаем:

$x^2 + 2x - x - 3 - 3 > 0$

$x^2 + x - 6 > 0$

Чтобы решить это квадратное неравенство, найдем корни уравнения $x^2 + x - 6 = 0$. По теореме Виета, корни равны $x_1 = -3$ и $x_2 = 2$.

Графиком функции $y = x^2 + x - 6$ является парабола с ветвями вверх. Значения функции положительны вне интервала между корнями.

Следовательно, решение неравенства: $x < -3$ или $x > 2$.

Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (2; +\infty)$.

2)

Решение:

Преобразуем обе части неравенства к одному основанию 5.

$(\frac{1}{5})^{x^2} > 5^{-x}$

Так как $\frac{1}{5} = 5^{-1}$, левая часть примет вид:

$(5^{-1})^{x^2} > 5^{-x}$

$5^{-x^2} > 5^{-x}$

Поскольку основание $5 > 1$, знак неравенства для показателей степеней сохраняется:

$-x^2 > -x$

Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства на противоположный:

$x^2 < x$

Перенесем $x$ в левую часть:

$x^2 - x < 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x-1) < 0$

Корни уравнения $x(x-1)=0$ равны $x_1=0$ и $x_2=1$. Графиком функции $y=x^2-x$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $y < 0$ выполняется между корнями.

Ответ: $x \in (0; 1)$.

3)

Решение:

Приведем обе части неравенства к основанию 2.

$2^{x^2+12} \le 64 \cdot 2^{5x}$

Представим 64 как степень 2: $64 = 2^6$.

$2^{x^2+12} \le 2^6 \cdot 2^{5x}$

Используем свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ для правой части:

$2^{x^2+12} \le 2^{6+5x}$

Так как основание $2 > 1$, знак неравенства для показателей степеней сохраняется:

$x^2+12 \le 6+5x$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 - 5x + 12 - 6 \le 0$

$x^2 - 5x + 6 \le 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.

Графиком функции $y=x^2 - 5x + 6$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $y \le 0$ выполняется на отрезке между корнями, включая сами корни.

Ответ: $x \in [2; 3]$.

4)

Решение:

Приведем обе части неравенства к основанию 2.

$8 \cdot 2^{x^2-3x} < (0,5)^{-1}$

Представим 8 и 0,5 как степени 2: $8 = 2^3$ и $0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$.

$2^3 \cdot 2^{x^2-3x} < (2^{-1})^{-1}$

Упростим обе части, используя свойства степеней:

$2^{3 + x^2 - 3x} < 2^{(-1) \cdot (-1)}$

$2^{x^2 - 3x + 3} < 2^1$

Так как основание $2 > 1$, знак неравенства для показателей степеней сохраняется:

$x^2 - 3x + 3 < 1$

Перенесем 1 в левую часть:

$x^2 - 3x + 2 < 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 3x + 2 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.

Графиком функции $y=x^2 - 3x + 2$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $y < 0$ выполняется на интервале между корнями.

Ответ: $x \in (1; 2)$.

239.

1) $6 \cdot 5^{x+1} - 5^{x+2} + 6 \cdot 5^x \ge 55;$

2) $3 \cdot 2^{x+1} + 5 \cdot 2^x - 2^{x+2} \le 14;$

3) $x^3 \cdot 3^x - 3^x > 0;$

4) $x^2 \cdot 4^x - 4^x < 0.$

1)

Дано:

Неравенство $6 \cdot 5^{x+1} - 5^{x+2} + 6 \cdot 5^x \ge 55$.

Найти:

Множество решений $x$.

Решение:

Для решения данного показательного неравенства преобразуем его, используя свойства степеней:

$5^{x+1} = 5^x \cdot 5^1 = 5 \cdot 5^x$

$5^{x+2} = 5^x \cdot 5^2 = 25 \cdot 5^x$

Подставим эти выражения в исходное неравенство:

$6 \cdot (5 \cdot 5^x) - 25 \cdot 5^x + 6 \cdot 5^x \ge 55$

$30 \cdot 5^x - 25 \cdot 5^x + 6 \cdot 5^x \ge 55$

Вынесем общий множитель $5^x$ за скобки:

$5^x \cdot (30 - 25 + 6) \ge 55$

$5^x \cdot 11 \ge 55$

Разделим обе части неравенства на 11 (так как 11 > 0, знак неравенства не меняется):

$5^x \ge \frac{55}{11}$

$5^x \ge 5$

Представим 5 как $5^1$:

$5^x \ge 5^1$

Так как основание степени $5 > 1$, то при переходе от степеней к их показателям знак неравенства сохраняется:

$x \ge 1$

Ответ: $x \in [1; +\infty)$.

2)

Дано:

Неравенство $3 \cdot 2^{x+1} + 5 \cdot 2^x - 2^{x+2} \le 14$.

Найти:

Множество решений $x$.

Решение:

Используем свойства степеней для преобразования неравенства:

$2^{x+1} = 2^x \cdot 2^1 = 2 \cdot 2^x$

$2^{x+2} = 2^x \cdot 2^2 = 4 \cdot 2^x$

Подставим эти выражения в исходное неравенство:

$3 \cdot (2 \cdot 2^x) + 5 \cdot 2^x - 4 \cdot 2^x \le 14$

$6 \cdot 2^x + 5 \cdot 2^x - 4 \cdot 2^x \le 14$

Вынесем общий множитель $2^x$ за скобки:

$2^x \cdot (6 + 5 - 4) \le 14$

$2^x \cdot 7 \le 14$

Разделим обе части неравенства на 7:

$2^x \le \frac{14}{7}$

$2^x \le 2$

Представим 2 как $2^1$:

$2^x \le 2^1$

Так как основание степени $2 > 1$, знак неравенства сохраняется при переходе к показателям:

$x \le 1$

Ответ: $x \in (-\infty; 1]$.

3)

Дано:

Неравенство $x^3 \cdot 3^x - 3^{x+3} > 0$.

Найти:

Множество решений $x$.

Решение:

Преобразуем неравенство, используя свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:

$x^3 \cdot 3^x - 3^x \cdot 3^3 > 0$

$x^3 \cdot 3^x - 27 \cdot 3^x > 0$

Вынесем общий множитель $3^x$ за скобки:

$3^x(x^3 - 27) > 0$

Показательная функция $y=3^x$ принимает только положительные значения при любом действительном $x$, то есть $3^x > 0$. Следовательно, мы можем разделить обе части неравенства на $3^x$ без изменения знака неравенства:

$x^3 - 27 > 0$

Перенесем 27 в правую часть:

$x^3 > 27$

Извлечем кубический корень из обеих частей:

$x > \sqrt[3]{27}$

$x > 3$

Ответ: $x \in (3; +\infty)$.

4)

Дано:

Неравенство $x^2 \cdot 4^x - 4^{x+1} < 0$.

Найти:

Множество решений $x$.

Решение:

Преобразуем неравенство, используя свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:

$x^2 \cdot 4^x - 4^x \cdot 4^1 < 0$

$x^2 \cdot 4^x - 4 \cdot 4^x < 0$

Вынесем общий множитель $4^x$ за скобки:

$4^x(x^2 - 4) < 0$

Поскольку показательная функция $y=4^x$ всегда положительна ($4^x > 0$), знак левой части неравенства определяется знаком выражения в скобках. Таким образом, неравенство равносильно следующему:

$x^2 - 4 < 0$

Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов:

$(x-2)(x+2) < 0$

Решим это квадратичное неравенство методом интервалов. Корни уравнения $(x-2)(x+2) = 0$ равны $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$. Эти точки разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty; -2)$, $(-2; 2)$ и $(2; +\infty)$.

Определим знак выражения $(x-2)(x+2)$ на каждом интервале. На интервале $(-2; 2)$ выражение отрицательно. На интервалах $(-\infty; -2)$ и $(2; +\infty)$ оно положительно. Поскольку нам нужно, чтобы выражение было меньше нуля, решением является интервал:

$-2 < x < 2$

Ответ: $x \in (-2; 2)$.

240. 1) $5^{2x} - 2 \cdot 5^x - 15 \geq 0;$

2) $13^{2x} - 14 \cdot 13^x + 13 \leq 0;$

3) $3^{x+2} + 9^{x+1} - 810 > 0;$

4) $2 \cdot 4^{\cos x} - 3 \cdot 2^{\cos x} + 1 < 0.$

1) $5^{2x} - 2 \cdot 5^x - 15 \ge 0$

Решение
Данное неравенство является квадратным относительно $5^x$. Сделаем замену переменной.
Пусть $t = 5^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.
После замены исходное неравенство принимает вид:
$t^2 - 2t - 15 \ge 0$
Найдем корни квадратного трехчлена $t^2 - 2t - 15 = 0$.
Используя теорему Виета, находим корни: $t_1 = 5$ и $t_2 = -3$.
Парабола $y = t^2 - 2t - 15$ ветвями направлена вверх, поэтому неравенство $t^2 - 2t - 15 \ge 0$ выполняется при $t \in (-\infty; -3] \cup [5; +\infty)$.
Учитывая условие $t > 0$, получаем, что решением является $t \ge 5$.
Вернемся к исходной переменной $x$:
$5^x \ge 5$
$5^x \ge 5^1$
Так как основание степени $5 > 1$, то при переходе к показателям знак неравенства сохраняется:
$x \ge 1$
Ответ: $x \in [1; +\infty)$.

2) $13^{2x} - 14 \cdot 13^x + 13 \le 0$

Решение
Сделаем замену переменной. Пусть $t = 13^x$. Учитывая, что $13^x > 0$, получаем $t > 0$.
Неравенство примет вид:
$t^2 - 14t + 13 \le 0$
Найдем корни уравнения $t^2 - 14t + 13 = 0$.
По теореме Виета: $t_1 = 1$, $t_2 = 13$.
Парабола $y = t^2 - 14t + 13$ ветвями направлена вверх, поэтому неравенство $t^2 - 14t + 13 \le 0$ выполняется, когда $t$ находится между корнями: $1 \le t \le 13$.
Это решение удовлетворяет условию $t > 0$.
Произведем обратную замену:
$1 \le 13^x \le 13$
Представим 1 и 13 как степени с основанием 13:
$13^0 \le 13^x \le 13^1$
Так как основание $13 > 1$, то знак неравенства сохраняется:
$0 \le x \le 1$
Ответ: $x \in [0; 1]$.

3) $3^{x+2} + 9^{x+1} - 810 > 0$

Решение
Преобразуем неравенство, приведя степени к одному основанию 3:
$3^x \cdot 3^2 + (3^2)^{x+1} - 810 > 0$
$9 \cdot 3^x + 3^{2x+2} - 810 > 0$
$9 \cdot 3^x + 3^{2x} \cdot 3^2 - 810 > 0$
$9 \cdot 3^x + 9 \cdot (3^x)^2 - 810 > 0$
Разделим все члены неравенства на 9:
$3^x + (3^x)^2 - 90 > 0$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$, где $t > 0$.
$t^2 + t - 90 > 0$
Найдем корни уравнения $t^2 + t - 90 = 0$.
По теореме Виета: $t_1 = 9$, $t_2 = -10$.
Решением неравенства $t^2 + t - 90 > 0$ является объединение промежутков $t < -10$ и $t > 9$.
С учетом условия $t > 0$, получаем $t > 9$.
Выполним обратную замену:
$3^x > 9$
$3^x > 3^2$
Так как основание $3 > 1$, то $x > 2$.
Ответ: $x \in (2; +\infty)$.

4) $2 \cdot 4^{\cos x} - 3 \cdot 2^{\cos x} + 1 < 0$

Решение
Заметим, что $4^{\cos x} = (2^2)^{\cos x} = (2^{\cos x})^2$.
Сделаем замену. Пусть $t = 2^{\cos x}$.
Поскольку $-1 \le \cos x \le 1$, то $2^{-1} \le 2^{\cos x} \le 2^1$, следовательно, $\frac{1}{2} \le t \le 2$.
Неравенство принимает вид:
$2t^2 - 3t + 1 < 0$
Найдем корни уравнения $2t^2 - 3t + 1 = 0$.
Сумма коэффициентов $2 - 3 + 1 = 0$, значит, один корень $t_1 = 1$. Второй корень $t_2 = \frac{c}{a} = \frac{1}{2}$.
Парабола $y = 2t^2 - 3t + 1$ ветвями направлена вверх, поэтому неравенство $2t^2 - 3t + 1 < 0$ выполняется между корнями: $\frac{1}{2} < t < 1$.
Это решение полностью входит в область допустимых значений $t$ ($\frac{1}{2} \le t \le 2$).
Вернемся к переменной $x$:
$\frac{1}{2} < 2^{\cos x} < 1$
$2^{-1} < 2^{\cos x} < 2^0$
Так как основание $2 > 1$, знак неравенства сохраняется:
$-1 < \cos x < 0$
Решим это двойное тригонометрическое неравенство.
Неравенство $\cos x < 0$ выполняется во второй и третьей четвертях, то есть для $x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Неравенство $\cos x > -1$ выполняется для всех $x$, кроме тех, где $\cos x = -1$, то есть $x \neq \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Объединяя эти условия, получаем, что решением является интервал от $\frac{\pi}{2}$ до $\frac{3\pi}{2}$ с выколотой точкой $\pi$.
Это можно записать в виде объединения двух интервалов.
Ответ: $x \in \left(\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \pi + 2\pi k\right) \cup \left(\pi + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k\right), k \in \mathbb{Z}$.

241.1) $4^{x+2} + 8 < 9 \cdot 2^{x+2}$;

2) $3^{1+\frac{1}{x}} + 3^{\frac{1}{x}} \le 12$;

3) $4^{1-x} + 2^{1-x} - 4 \le 4 \cdot 2^{1-x} - 6$;

4) $4^{x+2} - 6 \cdot 2^{x+2} + 8 < 0$.

1) $4^{x+2} + 8 < 9 \cdot 2^{x+2}$

Решение

Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$4^{x+2} - 9 \cdot 2^{x+2} + 8 < 0$

Представим $4^{x+2}$ в виде степени с основанием 2. Так как $4 = 2^2$, то $4^{x+2} = (2^2)^{x+2} = 2^{2(x+2)} = (2^{x+2})^2$.

Неравенство принимает вид:

$(2^{x+2})^2 - 9 \cdot 2^{x+2} + 8 < 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^{x+2}$. Поскольку показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.

Получаем квадратное неравенство относительно $t$:

$t^2 - 9t + 8 < 0$

Найдем корни квадратного уравнения $t^2 - 9t + 8 = 0$. Используя теорему Виета, получаем корни $t_1 = 1$ и $t_2 = 8$.

Графиком функции $y(t) = t^2 - 9t + 8$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, неравенство $y(t) < 0$ выполняется на интервале между корнями.

$1 < t < 8$

Теперь вернемся к исходной переменной $x$:

$1 < 2^{x+2} < 8$

Представим числа 1 и 8 в виде степеней с основанием 2: $1 = 2^0$ и $8 = 2^3$.

$2^0 < 2^{x+2} < 2^3$

Так как основание степени $2 > 1$, функция $y=2^z$ является возрастающей. Это позволяет нам перейти к неравенству для показателей степеней:

$0 < x+2 < 3$

Вычтем 2 из всех частей двойного неравенства:

$0 - 2 < x < 3 - 2$

$-2 < x < 1$

Ответ: $x \in (-2; 1)$.

2) $3^{1 + \frac{1}{x}} + 3^{\frac{1}{x}} \le 12$

Решение

Область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$ определяется выражением в показателе степени: $x \neq 0$.

Используем свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, чтобы преобразовать левую часть неравенства:

$3^1 \cdot 3^{\frac{1}{x}} + 3^{\frac{1}{x}} \le 12$

Вынесем общий множитель $3^{\frac{1}{x}}$ за скобки:

$3^{\frac{1}{x}}(3 + 1) \le 12$

$4 \cdot 3^{\frac{1}{x}} \le 12$

Разделим обе части неравенства на 4:

$3^{\frac{1}{x}} \le 3$

Так как $3 = 3^1$, получаем:

$3^{\frac{1}{x}} \le 3^1$

Основание степени $3 > 1$, поэтому показательная функция является возрастающей. Мы можем сравнить показатели:

$\frac{1}{x} \le 1$

Для решения этого рационального неравенства перенесем 1 в левую часть:

$\frac{1}{x} - 1 \le 0$

$\frac{1 - x}{x} \le 0$

Решим неравенство методом интервалов. Критические точки (нули числителя и знаменателя) — это $x=1$ и $x=0$.

Рассмотрим знаки выражения $\frac{1 - x}{x}$ на интервалах $(-\infty, 0)$, $(0, 1]$ и $[1, \infty)$.

• При $x \in (-\infty, 0)$, например $x=-1$, выражение $\frac{1 - (-1)}{-1} = -2 < 0$. Интервал является решением.

• При $x \in (0, 1]$, например $x=0.5$, выражение $\frac{1 - 0.5}{0.5} = 1 > 0$. Интервал не является решением.

• При $x \in [1, \infty)$, например $x=2$, выражение $\frac{1 - 2}{2} = -0.5 < 0$. Интервал является решением.

Объединяя подходящие интервалы, получаем решение $x \in (-\infty, 0) \cup [1, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup [1, \infty)$.

3) $4^{1-x} + 2^{1-x} - 4 \le 4 \cdot 2^{1-x} - 6$

Решение

Сгруппируем все члены в левой части неравенства:

$4^{1-x} + 2^{1-x} - 4 - 4 \cdot 2^{1-x} + 6 \le 0$

Приведем подобные слагаемые:

$4^{1-x} - 3 \cdot 2^{1-x} + 2 \le 0$

Заметим, что $4^{1-x} = (2^2)^{1-x} = (2^{1-x})^2$. Подставим это в неравенство:

$(2^{1-x})^2 - 3 \cdot 2^{1-x} + 2 \le 0$

Введем замену переменной. Пусть $t = 2^{1-x}$. Так как $t$ является значением показательной функции, $t > 0$.

Неравенство принимает вид квадратного неравенства:

$t^2 - 3t + 2 \le 0$

Найдем корни уравнения $t^2 - 3t + 2 = 0$. По теореме Виета, корни $t_1 = 1$ и $t_2 = 2$.

Парабола $y(t) = t^2 - 3t + 2$ с ветвями вверх принимает неположительные значения между корнями включительно.

$1 \le t \le 2$

Выполним обратную замену:

$1 \le 2^{1-x} \le 2$

Запишем 1 и 2 как степени двойки: $1 = 2^0$ и $2 = 2^1$.

$2^0 \le 2^{1-x} \le 2^1$

Поскольку основание $2 > 1$, переходим к неравенству для показателей:

$0 \le 1-x \le 1$

Вычтем 1 из всех частей:

$0-1 \le -x \le 1-1$

$-1 \le -x \le 0$

Умножим все части на -1, меняя знаки неравенства на противоположные:

$1 \ge x \ge 0$

Что то же самое, что и $0 \le x \le 1$.

Ответ: $x \in [0; 1]$.

4) $4^{x+2} - 6 \cdot 2^{x+2} + 8 < 0$

Решение

Преобразуем $4^{x+2}$ к основанию 2: $4^{x+2} = (2^2)^{x+2} = (2^{x+2})^2$.

Неравенство становится:

$(2^{x+2})^2 - 6 \cdot 2^{x+2} + 8 < 0$

Выполним замену переменной. Пусть $t = 2^{x+2}$. Условие $t>0$ выполняется всегда.

Получаем квадратное неравенство:

$t^2 - 6t + 8 < 0$

Найдем корни соответствующего уравнения $t^2 - 6t + 8 = 0$. По теореме Виета, корни $t_1 = 2$ и $t_2 = 4$.

Парабола $y(t) = t^2 - 6t + 8$ с ветвями вверх отрицательна между корнями.

$2 < t < 4$

Возвращаемся к переменной $x$:

$2 < 2^{x+2} < 4$

Представим границы интервала как степени с основанием 2: $2=2^1$ и $4=2^2$.

$2^1 < 2^{x+2} < 2^2$

Так как основание $2 > 1$, функция является возрастающей, поэтому переходим к неравенству для показателей:

$1 < x+2 < 2$

Вычтем 2 из всех частей двойного неравенства:

$1-2 < x < 2-2$

$-1 < x < 0$

Ответ: $x \in (-1; 0)$.

$4^x - 9^x < 0;$

2) $5 \cdot 4^x \le 4 \cdot 5^x;$

3) $3^{x-3} - 2^{x-3} < 0;$

4) $2^{2x+1} - 5^{2x+1} \ge 0.$

1)Решение:
Исходное неравенство: $4^x - 9^x < 0$.
Перенесем $9^x$ в правую часть: $4^x < 9^x$
Разделим обе части неравенства на $9^x$. Так как $9^x > 0$ для любого $x$, знак неравенства не изменится: $\frac{4^x}{9^x} < 1$
Используя свойство степеней, получаем: $(\frac{4}{9})^x < 1$
Представим 1 в виде степени с основанием $\frac{4}{9}$: $(\frac{4}{9})^x < (\frac{4}{9})^0$
Так как основание степени $a = \frac{4}{9}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$, показательная функция $y=a^x$ является убывающей. Поэтому при переходе от неравенства для степеней к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный: $x > 0$
Ответ: $x \in (0, +\infty)$.

2)Решение:
Исходное неравенство: $5 \cdot 4^x \le 4 \cdot 5^x$.
Разделим обе части неравенства на $4 \cdot 4^x$. Так как это выражение всегда положительно, знак неравенства не изменится: $\frac{5 \cdot 4^x}{4 \cdot 4^x} \le \frac{4 \cdot 5^x}{4 \cdot 4^x}$
$\frac{5}{4} \le \frac{5^x}{4^x}$
$\frac{5}{4} \le (\frac{5}{4})^x$
Представим левую часть в виде степени: $(\frac{5}{4})^1 \le (\frac{5}{4})^x$
Так как основание степени $a = \frac{5}{4}$ больше 1, показательная функция $y=a^x$ является возрастающей. Поэтому при переходе от неравенства для степеней к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется: $1 \le x$
Ответ: $x \in [1, +\infty)$.

3)Решение:
Исходное неравенство: $3^{x-3} - 2^{x-3} < 0$.
Перенесем $2^{x-3}$ в правую часть: $3^{x-3} < 2^{x-3}$
Разделим обе части неравенства на $2^{x-3}$. Так как $2^{x-3} > 0$ для любого $x$, знак неравенства не изменится: $\frac{3^{x-3}}{2^{x-3}} < 1$
$(\frac{3}{2})^{x-3} < 1$
Представим 1 в виде степени с основанием $\frac{3}{2}$: $(\frac{3}{2})^{x-3} < (\frac{3}{2})^0$
Так как основание степени $a = \frac{3}{2}$ больше 1, показательная функция $y=a^x$ является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется: $x - 3 < 0$
$x < 3$
Ответ: $x \in (-\infty, 3)$.

4)Решение:
Исходное неравенство: $2^{2x+1} - 5^{2x+1} \ge 0$.
Перенесем $5^{2x+1}$ в правую часть: $2^{2x+1} \ge 5^{2x+1}$
Разделим обе части неравенства на $5^{2x+1}$. Так как $5^{2x+1} > 0$ для любого $x$, знак неравенства не изменится: $\frac{2^{2x+1}}{5^{2x+1}} \ge 1$
$(\frac{2}{5})^{2x+1} \ge 1$
Представим 1 в виде степени с основанием $\frac{2}{5}$: $(\frac{2}{5})^{2x+1} \ge (\frac{2}{5})^0$
Так как основание степени $a = \frac{2}{5}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$, показательная функция $y=a^x$ является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный: $2x + 1 \le 0$
$2x \le -1$
$x \le -\frac{1}{2}$
Ответ: $x \in (-\infty, -1/2]$.

243. Найдите общее решение неравенств:

1) $3^x > 9$ и $x - 2 \le 6$;

2) $\left(\frac{1}{5}\right)^x > 25^{-1}$ и $1 - x \le 0$;

3) $\left(\frac{1}{2}\right)^x \le 8^{-1}$ и $4x - 3 > 1$;

4) $4^x \le 64$ и $5 - 2x < 0.$

1)

Дано:

Система неравенств:

$\begin{cases} 3^x > 9 \\ x - 2 \le 6 \end{cases}$

Найти:

Общее решение системы неравенств.

Решение:

Решим каждое неравенство по отдельности.

Первое неравенство:

$3^x > 9$

Представим правую часть в виде степени с основанием 3:

$3^x > 3^2$

Так как основание степени $3 > 1$, показательная функция с таким основанием является возрастающей. Поэтому можно перейти к сравнению показателей, сохранив знак неравенства:

$x > 2$

Решением первого неравенства является промежуток $(2, +\infty)$.

Второе неравенство:

$x - 2 \le 6$

Перенесем -2 в правую часть с противоположным знаком:

$x \le 6 + 2$

$x \le 8$

Решением второго неравенства является промежуток $(-\infty, 8]$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств: $x > 2$ и $x \le 8$.

Общее решение системы - это множество всех $x$, удовлетворяющих обоим условиям, то есть $x \in (2, +\infty) \cap (-\infty, 8]$.

Таким образом, общее решение системы: $2 < x \le 8$.

Ответ: $(2, 8]$.

2)

Дано:

Система неравенств:

$\begin{cases} \left(\frac{1}{5}\right)^x > 25^{-1} \\ 1 - x \le 0 \end{cases}$

Найти:

Общее решение системы неравенств.

Решение:

Решим каждое неравенство по отдельности.

Первое неравенство:

$\left(\frac{1}{5}\right)^x > 25^{-1}$

Представим обе части неравенства в виде степеней с основанием $\frac{1}{5}$:

$25^{-1} = \frac{1}{25} = \left(\frac{1}{5}\right)^2$.

Подставим это выражение в неравенство:

$\left(\frac{1}{5}\right)^x > \left(\frac{1}{5}\right)^2$

Так как основание степени $\frac{1}{5}$ находится в интервале $(0, 1)$, показательная функция с таким основанием является убывающей. Поэтому при переходе к сравнению показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$x < 2$

Решением первого неравенства является промежуток $(-\infty, 2)$.

Второе неравенство:

$1 - x \le 0$

Перенесем $x$ в правую часть:

$1 \le x$

Решением второго неравенства является промежуток $[1, +\infty)$.

Теперь найдем пересечение решений: $x < 2$ и $x \ge 1$.

Общее решение системы: $1 \le x < 2$.

Ответ: $[1, 2)$.

3)

Дано:

Система неравенств:

$\begin{cases} \left(\frac{1}{2}\right)^x \le 8^{-1} \\ 4x - 3 > 1 \end{cases}$

Найти:

Общее решение системы неравенств.

Решение:

Решим каждое неравенство по отдельности.

Первое неравенство:

$\left(\frac{1}{2}\right)^x \le 8^{-1}$

Представим обе части с основанием 2:

$\left(\frac{1}{2}\right) = 2^{-1}$, а $8^{-1} = (2^3)^{-1} = 2^{-3}$.

Неравенство принимает вид:

$(2^{-1})^x \le 2^{-3}$

$2^{-x} \le 2^{-3}$

Так как основание $2 > 1$, функция является возрастающей, поэтому знак неравенства для показателей сохраняется:

$-x \le -3$

Умножим на -1 и сменим знак неравенства на противоположный:

$x \ge 3$

Решением первого неравенства является промежуток $[3, +\infty)$.

Второе неравенство:

$4x - 3 > 1$

Прибавим 3 к обеим частям:

$4x > 4$

Разделим на 4:

$x > 1$

Решением второго неравенства является промежуток $(1, +\infty)$.

Найдем пересечение решений: $x \ge 3$ и $x > 1$.

Если число больше или равно 3, оно автоматически больше 1. Следовательно, пересечением этих двух условий является $x \ge 3$.

Ответ: $[3, +\infty)$.

4)

Дано:

Система неравенств:

$\begin{cases} 4^x \le 64 \\ 5 - 2x < 0 \end{cases}$

Найти:

Общее решение системы неравенств.

Решение:

Решим каждое неравенство по отдельности.

Первое неравенство:

$4^x \le 64$

Представим 64 как степень с основанием 4:

$64 = 4^3$.

Неравенство принимает вид:

$4^x \le 4^3$

Так как основание $4 > 1$, функция является возрастающей, поэтому знак неравенства для показателей сохраняется:

$x \le 3$

Решением первого неравенства является промежуток $(-\infty, 3]$.

Второе неравенство:

$5 - 2x < 0$

Перенесем $2x$ в правую часть:

$5 < 2x$

Разделим обе части на 2:

$\frac{5}{2} < x$, или $x > 2.5$

Решением второго неравенства является промежуток $(2.5, +\infty)$.

Найдем пересечение решений: $x \le 3$ и $x > 2.5$.

Общее решение системы: $2.5 < x \le 3$.

Ответ: $(2.5, 3]$.