Страница 106 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

1. Имеют ли уравнения $5^{2x} = -7$, $2^{3x} = 9$ корни? Если уравнение имеет корни, то каким способом их можно найти?

2. Может ли быть посторонним корень показательного уравнения? Ответ обоснуйте. Приведите пример.

3. С какой целью применяется способ введения новой переменной? Ответ обоснуйте. Приведите пример.

1. Рассмотрим каждое уравнение по отдельности.
Уравнение $5^{2x} = -7$ не имеет корней. Это связано с тем, что показательная функция $y=a^x$ при $a > 0, a \neq 1$ (в данном случае $a=5$) принимает только положительные значения. Левая часть уравнения, $5^{2x}$, всегда больше нуля ($5^{2x} > 0$) для любого действительного значения $x$, а правая часть равна -7, что является отрицательным числом. Равенство невозможно.
Уравнение $2^{3x} = 9$ имеет корень, так как обе части уравнения положительны. Найти корень можно, используя определение логарифма или прологарифмировав обе части уравнения.
Способ решения (используя определение логарифма):
Из уравнения $2^{3x} = 9$ по определению логарифма следует, что показатель степени $3x$ равен логарифму числа 9 по основанию 2.
$3x = \log_2(9)$
Отсюда находим $x$:
$x = \frac{\log_2(9)}{3}$
Так как $9 = 3^2$, то $\log_2(9) = \log_2(3^2) = 2\log_2(3)$.
Следовательно, корень можно записать как $x = \frac{2\log_2(3)}{3}$.
Ответ: Уравнение $5^{2x} = -7$ корней не имеет. Уравнение $2^{3x} = 9$ имеет один корень $x = \frac{\log_2(9)}{3}$, который можно найти методом логарифмирования (или по определению логарифма).

2. Да, у показательного уравнения может быть посторонний корень.
Обоснование: Посторонние корни возникают при выполнении неэквивалентных преобразований в процессе решения уравнения. Таким преобразованием, например, является возведение обеих частей уравнения в четную степень (например, в квадрат). Это может привести к появлению решений, которые не удовлетворяют исходному уравнению, так как при этом могут не учитываться ограничения, существующие в первоначальном виде уравнения (например, неотрицательность значения арифметического корня).
Пример: Рассмотрим уравнение $\sqrt{25^x - 4 \cdot 5^x} = 5^x - 6$.
Для решения возведем обе части в квадрат:
$25^x - 4 \cdot 5^x = (5^x - 6)^2$
$25^x - 4 \cdot 5^x = (5^x)^2 - 12 \cdot 5^x + 36$
$25^x - 4 \cdot 5^x = 25^x - 12 \cdot 5^x + 36$
Приведем подобные члены:
$-4 \cdot 5^x + 12 \cdot 5^x = 36$
$8 \cdot 5^x = 36$
$5^x = \frac{36}{8} = \frac{9}{2}$
Отсюда $x = \log_5(\frac{9}{2})$.
Теперь необходимо выполнить проверку, так как возведение в квадрат не является равносильным преобразованием. Проверим условие неотрицательности правой части исходного уравнения: $5^x - 6 \ge 0$.
Подставим найденное значение $5^x = \frac{9}{2}$:
$\frac{9}{2} - 6 = 4.5 - 6 = -1.5$.
Так как $-1.5 < 0$, условие не выполняется. Значение арифметического квадратного корня не может быть отрицательным. Следовательно, найденный корень $x = \log_5(\frac{9}{2})$ является посторонним, и исходное уравнение не имеет решений.
Ответ: Да, показательное уравнение может иметь посторонний корень. Это происходит при использовании неэквивалентных преобразований, например, возведения в квадрат, которое может нарушить ограничения на знак выражений.

3.Цель: Способ введения новой переменной (или метод замены) применяется для того, чтобы упростить исходное уравнение, сведя его к более простому и стандартному виду, например, к линейному или квадратному уравнению.
Обоснование: Этот метод позволяет "скрыть" сложные повторяющиеся выражения за новой, более простой переменной. Это делает алгебраическую структуру уравнения более очевидной и позволяет применить стандартные алгоритмы решения. После нахождения значений новой переменной выполняется обратная замена, чтобы найти значения исходной переменной, при этом учитываются возможные ограничения на новую переменную.
Пример: Рассмотрим показательное уравнение $9^x - 2 \cdot 3^x - 3 = 0$.
Заметим, что $9^x = (3^2)^x = (3^x)^2$. Перепишем уравнение:
$(3^x)^2 - 2 \cdot 3^x - 3 = 0$.
Введем новую переменную. Пусть $t = 3^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то на новую переменную накладывается ограничение $t > 0$.
Уравнение принимает вид:
$t^2 - 2t - 3 = 0$.
Это простое квадратное уравнение. Решим его, например, по теореме Виета:
$t_1 = 3$, $t_2 = -1$.
Теперь выполним обратную замену, учитывая ограничение $t > 0$:
1) $t_1 = 3$:
$3^x = 3$. Это корень, удовлетворяющий условию $t>0$. $3^x = 3^1 \implies x = 1$.
2) $t_2 = -1$:
Этот корень не удовлетворяет условию $t > 0$, поэтому он не приводит к решению для $x$. Уравнение $3^x = -1$ не имеет корней.
Таким образом, исходное уравнение имеет единственный корень $x=1$. Метод замены позволил свести показательное уравнение к простому квадратному.
Ответ: Способ введения новой переменной применяется для упрощения уравнения путем его приведения к стандартному, легко решаемому виду (например, квадратному), что делает его алгебраическую структуру более понятной.