Страница 109 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

225. 1) $2^{x^2-3} \cdot 5^{x^2-3} = 0,01 \cdot (10^x-1)^3;$

2) $32^{\frac{x+5}{x-7}} = 0,25 \cdot 128^{\frac{x+17}{x-3}};$

3) $2 \cdot 3^{x-1} - 3^{x-2} = 5^{x-2} + 4 \cdot 5^{x-3};$

4) $8^x - 4^{x+0,5} - 2^x + 2 = 0.$

1) $2^{x^2-3} \cdot 5^{x^2-3} = 0,01 \cdot (10^{x-1})^3$

Решение

Преобразуем левую часть уравнения, используя свойство степеней $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$:

$2^{x^2-3} \cdot 5^{x^2-3} = (2 \cdot 5)^{x^2-3} = 10^{x^2-3}$

Теперь преобразуем правую часть. Представим $0,01$ как $10^{-2}$ и раскроем скобки, используя свойство $(a^m)^n = a^{mn}$:

$0,01 \cdot (10^{x-1})^3 = 10^{-2} \cdot 10^{3(x-1)} = 10^{-2} \cdot 10^{3x-3}$

Используем свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$10^{-2} \cdot 10^{3x-3} = 10^{-2 + 3x - 3} = 10^{3x-5}$

Теперь исходное уравнение имеет вид:

$10^{x^2-3} = 10^{3x-5}$

Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$x^2 - 3 = 3x - 5$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 - 3x - 3 + 5 = 0$

$x^2 - 3x + 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а произведение равно 2. Корни легко находятся:

$x_1 = 1$, $x_2 = 2$

Ответ: $1; 2$.

2) $32^{\frac{x+5}{x-7}} = 0,25 \cdot 128^{\frac{x+17}{x-3}}$

Решение

Приведем все основания степеней к одному числу, в данном случае к 2:

$32 = 2^5$

$0,25 = \frac{1}{4} = 2^{-2}$

$128 = 2^7$

Подставим эти значения в уравнение:

$(2^5)^{\frac{x+5}{x-7}} = 2^{-2} \cdot (2^7)^{\frac{x+17}{x-3}}$

Используем свойства степеней $(a^m)^n = a^{mn}$ и $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$2^{\frac{5(x+5)}{x-7}} = 2^{-2 + \frac{7(x+17)}{x-3}}$

Приравниваем показатели степеней:

$\frac{5x+25}{x-7} = -2 + \frac{7x+119}{x-3}$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 7$ и $x \neq 3$.

Приведем правую часть к общему знаменателю:

$\frac{5x+25}{x-7} = \frac{-2(x-3) + 7x+119}{x-3}$

$\frac{5x+25}{x-7} = \frac{-2x+6+7x+119}{x-3}$

$\frac{5x+25}{x-7} = \frac{5x+125}{x-3}$

Воспользуемся свойством пропорции:

$(5x+25)(x-3) = (5x+125)(x-7)$

Раскроем скобки:

$5x^2 - 15x + 25x - 75 = 5x^2 - 35x + 125x - 875$

$5x^2 + 10x - 75 = 5x^2 + 90x - 875$

Сократим $5x^2$ с обеих сторон:

$10x - 75 = 90x - 875$

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числа в другую:

$875 - 75 = 90x - 10x$

$800 = 80x$

$x = 10$

Полученный корень $x=10$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $10$.

3) $2 \cdot 3^{x-1} - 3^{x-2} = 5^{x-2} + 4 \cdot 5^{x-3}$

Решение

Преобразуем обе части уравнения, вынеся за скобки $3^x$ в левой части и $5^x$ в правой.

Левая часть: $2 \cdot 3^x \cdot 3^{-1} - 3^x \cdot 3^{-2} = 3^x(2 \cdot \frac{1}{3} - \frac{1}{9}) = 3^x(\frac{2}{3} - \frac{1}{9}) = 3^x(\frac{6-1}{9}) = 3^x \cdot \frac{5}{9}$

Правая часть: $5^x \cdot 5^{-2} + 4 \cdot 5^x \cdot 5^{-3} = 5^x(\frac{1}{5^2} + 4 \cdot \frac{1}{5^3}) = 5^x(\frac{1}{25} + \frac{4}{125}) = 5^x(\frac{5+4}{125}) = 5^x \cdot \frac{9}{125}$

Уравнение принимает вид:

$3^x \cdot \frac{5}{9} = 5^x \cdot \frac{9}{125}$

Разделим обе части на $5^x$ и на $\frac{5}{9}$:

$\frac{3^x}{5^x} = \frac{9/125}{5/9}$

$(\frac{3}{5})^x = \frac{9}{125} \cdot \frac{9}{5}$

$(\frac{3}{5})^x = \frac{81}{625}$

Представим правую часть в виде степени с основанием $\frac{3}{5}$:

$\frac{81}{625} = \frac{3^4}{5^4} = (\frac{3}{5})^4$

Получаем уравнение:

$(\frac{3}{5})^x = (\frac{3}{5})^4$

Отсюда следует, что $x=4$.

Ответ: $4$.

4) $8^x - 4^{x+0,5} - 2^x + 2 = 0$

Решение

Приведем все степени к основанию 2:

$8^x = (2^3)^x = (2^x)^3$

$4^{x+0,5} = (2^2)^{x+0,5} = 2^{2(x+0,5)} = 2^{2x+1} = 2^{2x} \cdot 2^1 = 2 \cdot (2^x)^2$

Подставим в уравнение:

$(2^x)^3 - 2 \cdot (2^x)^2 - 2^x + 2 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Так как $2^x > 0$ для любого $x$, то $t > 0$.

$t^3 - 2t^2 - t + 2 = 0$

Решим это кубическое уравнение методом группировки:

$(t^3 - 2t^2) - (t - 2) = 0$

$t^2(t-2) - 1(t-2) = 0$

$(t^2 - 1)(t-2) = 0$

$(t-1)(t+1)(t-2) = 0$

Корни этого уравнения: $t_1 = 1$, $t_2 = -1$, $t_3 = 2$.

Вернемся к замене $t = 2^x$.

1) $2^x = t_1 = 1 \implies 2^x = 2^0 \implies x = 0$.

2) $2^x = t_2 = -1$. Это уравнение не имеет действительных корней, так как $2^x$ всегда положительно.

3) $2^x = t_3 = 2 \implies 2^x = 2^1 \implies x = 1$.

Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: $0; 1$.

Решите системы уравнений (226–229):

226. 1)

$$ \begin{cases} 3^x \cdot 5^y = 75, \\ 3^y \cdot 5^x = 45; \end{cases} $$

2)

$$ \begin{cases} 3^{3x} = 3^{7-y}, \\ \frac{1}{x} + 2 = \frac{12}{y}. \end{cases} $$

1)

Дано:

$ \begin{cases} 3^x \cdot 5^y = 75 \\ 3^y \cdot 5^x = 45 \end{cases} $

Найти:

$x, y$

Решение:

Разложим правые части уравнений на простые множители:

$75 = 3 \cdot 25 = 3^1 \cdot 5^2$

$45 = 9 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5^1$

Таким образом, система уравнений принимает вид:

$ \begin{cases} 3^x \cdot 5^y = 3^1 \cdot 5^2 \\ 3^y \cdot 5^x = 3^2 \cdot 5^1 \end{cases} $

Перемножим левые и правые части уравнений системы:

$(3^x \cdot 5^y) \cdot (3^y \cdot 5^x) = 75 \cdot 45$

Используя свойства степеней, сгруппируем множители с одинаковыми основаниями:

$(3^x \cdot 3^y) \cdot (5^y \cdot 5^x) = (3^1 \cdot 5^2) \cdot (3^2 \cdot 5^1)$

$3^{x+y} \cdot 5^{x+y} = 3^{1+2} \cdot 5^{2+1}$

$(3 \cdot 5)^{x+y} = 3^3 \cdot 5^3$

$15^{x+y} = (3 \cdot 5)^3$

$15^{x+y} = 15^3$

Так как основания равны, можем приравнять показатели степеней:

$x+y = 3$

Теперь разделим первое уравнение системы на второе:

$\frac{3^x \cdot 5^y}{3^y \cdot 5^x} = \frac{75}{45}$

Используя свойства степеней, упростим левую часть, а правую сократим:

$3^{x-y} \cdot 5^{y-x} = \frac{5}{3}$

$3^{x-y} \cdot (5^{-1})^{x-y} = 5^1 \cdot 3^{-1}$

$\frac{3^{x-y}}{5^{x-y}} = \frac{5}{3}$

$(\frac{3}{5})^{x-y} = (\frac{3}{5})^{-1}$

Приравнивая показатели степеней, получаем:

$x-y = -1$

Теперь у нас есть система двух линейных уравнений с двумя переменными:

$ \begin{cases} x+y = 3 \\ x-y = -1 \end{cases} $

Сложим эти два уравнения:

$(x+y) + (x-y) = 3 + (-1)$

$2x = 2$

$x = 1$

Подставим найденное значение $x$ в первое уравнение ($x+y=3$):

$1+y = 3$

$y = 2$

Проверим найденное решение $(1, 2)$, подставив его в исходную систему:

$3^1 \cdot 5^2 = 3 \cdot 25 = 75$ (верно)

$3^2 \cdot 5^1 = 9 \cdot 5 = 45$ (верно)

Ответ: $(1, 2)$.

2)

Дано:

$ \begin{cases} 3^{3x} = 3^{7-y} \\ \frac{1}{x} + 2 = \frac{12}{y} \end{cases} $

Найти:

$x, y$

Решение:

Рассмотрим первое уравнение системы: $3^{3x} = 3^{7-y}$.

Поскольку основания степеней одинаковы, мы можем приравнять их показатели:

$3x = 7 - y$

Выразим переменную $y$ через $x$:

$y = 7 - 3x$

Теперь подставим это выражение во второе уравнение системы. Заметим, что из второго уравнения следуют ограничения: $x \ne 0$ и $y \ne 0$. Условие $y \ne 0$ означает $7 - 3x \ne 0$, то есть $x \ne \frac{7}{3}$.

$\frac{1}{x} + 2 = \frac{12}{7 - 3x}$

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{1+2x}{x} = \frac{12}{7 - 3x}$

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение), чтобы избавиться от знаменателей:

$(1+2x)(7-3x) = 12x$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$1 \cdot 7 + 1 \cdot (-3x) + 2x \cdot 7 + 2x \cdot (-3x) = 12x$

$7 - 3x + 14x - 6x^2 = 12x$

$7 + 11x - 6x^2 = 12x$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$6x^2 + 12x - 11x - 7 = 0$

$6x^2 + x - 7 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$, где $a=6, b=1, c=-7$.

$D = 1^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-7) = 1 + 168 = 169 = 13^2$

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-1 + 13}{2 \cdot 6} = \frac{12}{12} = 1$

$x_2 = \frac{-1 - 13}{2 \cdot 6} = \frac{-14}{12} = -\frac{7}{6}$

Оба найденных значения $x$ удовлетворяют ограничениям $x \ne 0$ и $x \ne \frac{7}{3}$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого корня, используя ранее полученную формулу $y = 7 - 3x$.

При $x_1 = 1$:

$y_1 = 7 - 3(1) = 7 - 3 = 4$

Таким образом, первая пара решений: $(1, 4)$.

При $x_2 = -\frac{7}{6}$:

$y_2 = 7 - 3(-\frac{7}{6}) = 7 + \frac{21}{6} = 7 + \frac{7}{2} = \frac{14}{2} + \frac{7}{2} = \frac{21}{2}$

Таким образом, вторая пара решений: $(-\frac{7}{6}, \frac{21}{2})$.

Ответ: $(1, 4)$, $(-\frac{7}{6}, \frac{21}{2})$.

227.1 $\begin{cases} 3^{x+y} + 81^x = 82, \\ 3y^2 - x = 2; \end{cases}$

2 $\begin{cases} 5^{-x} \cdot 5^{9-5y} = 5, \\ y^2 - x = -2. \end{cases}$

1)

Решение

Преобразуем первое уравнение системы $\begin{cases}3^{x+y} + 81^x = 82, \\3y^2 - x = 2\end{cases}$. Так как $81 = 3^4$, то $81^x = (3^4)^x = 3^{4x}$. Уравнение принимает вид $3^{x+y} + 3^{4x} = 82$.

Заметим, что правая часть первого уравнения $82$ может быть представлена как сумма степеней тройки: $82 = 81 + 1 = 3^4 + 3^0$. Поскольку функция $f(t)=3^t$ является строго возрастающей, можно предположить, что слагаемые в левой части равны $3^4$ и $3^0$ в некотором порядке. Рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: $3^{x+y} = 1$ и $3^{4x} = 81$.

Из уравнения $3^{4x} = 81$, которое равносильно $3^{4x} = 3^4$, следует, что $4x=4$, откуда $x=1$.

Из уравнения $3^{x+y} = 1$, которое равносильно $3^{x+y} = 3^0$, следует, что $x+y=0$. Подставив $x=1$, получим $1+y=0$, откуда $y=-1$.

Проверим найденную пару $(1, -1)$, подставив ее во второе уравнение исходной системы $3y^2 - x = 2$.

Подстановка дает: $3(-1)^2 - 1 = 3 \cdot 1 - 1 = 2$. Равенство $2=2$ является верным. Следовательно, $(1, -1)$ — решение системы.

Случай 2: $3^{x+y} = 81$ и $3^{4x} = 1$.

Из уравнения $3^{4x} = 1$, или $3^{4x} = 3^0$, следует, что $4x=0$, откуда $x=0$.

Из уравнения $3^{x+y} = 81$, или $3^{x+y} = 3^4$, следует, что $x+y=4$. Подставив $x=0$, получим $0+y=4$, то есть $y=4$.

Проверим пару $(0, 4)$ по второму уравнению системы $3y^2 - x = 2$.

Подстановка дает: $3(4)^2 - 0 = 3 \cdot 16 = 48$. Равенство $48=2$ неверно. Следовательно, $(0, 4)$ не является решением.

Ответ: $(1, -1)$.

2)

Решение

Рассмотрим систему $\begin{cases}5^{-x} \cdot 5^{9-5y} = 5, \\y^2 - x = -2\end{cases}$.

Упростим первое уравнение, используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$: $5^{-x + 9 - 5y} = 5^1$.

Так как основания степеней равны, можем приравнять их показатели: $-x + 9 - 5y = 1$. Это уравнение можно преобразовать к виду $x + 5y = 8$.

Теперь решаем систему, состоящую из полученного линейного уравнения и второго уравнения исходной системы:

$\begin{cases}x + 5y = 8 \\y^2 - x = -2\end{cases}$

Решим эту систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим $x$: $x = 8 - 5y$.

Подставим это выражение во второе уравнение: $y^2 - (8 - 5y) = -2$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: $y^2 + 5y - 8 = -2$, что приводит к квадратному уравнению $y^2 + 5y - 6 = 0$.

Корни этого уравнения можно найти, например, по теореме Виета. Сумма корней $y_1+y_2 = -5$, а их произведение $y_1 \cdot y_2 = -6$. Отсюда легко найти корни: $y_1=1$ и $y_2=-6$.

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого найденного значения $y$.

Если $y_1=1$, то $x_1 = 8 - 5(1) = 3$. Первое решение: $(3, 1)$.

Если $y_2=-6$, то $x_2 = 8 - 5(-6) = 8 + 30 = 38$. Второе решение: $(38, -6)$.

Ответ: $(3, 1), (38, -6)$.

228.1)

$\begin{cases} 2^{\frac{x+y}{4}} + 2^{\frac{x+y}{2}} = 6, \\ 2^x + 2^y = 17; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} 3^{\frac{x-y}{2}} + 3^{x+y} = 12, \\ 3^x + 3^{-y} = 10. \end{cases}$

1)

Дано:

$\begin{cases} 2^{\frac{x+y}{4}} + 2^{\frac{x+y}{2}} = 6 \\ 2^x + 2^y = 17\end{cases}$

Найти:

$x, y$

Решение:

Рассмотрим первое уравнение системы: $2^{\frac{x+y}{4}} + 2^{\frac{x+y}{2}} = 6$.

Сделаем замену. Пусть $a = 2^{\frac{x+y}{4}}$. Так как основание степени 2, то $a > 0$.

Тогда $2^{\frac{x+y}{2}} = 2^{2 \cdot \frac{x+y}{4}} = (2^{\frac{x+y}{4}})^2 = a^2$.

Подставим замену в первое уравнение:

$a + a^2 = 6$

$a^2 + a - 6 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни по теореме Виета или через дискриминант. Корнями являются $a_1 = 2$ и $a_2 = -3$.

Так как $a > 0$, корень $a_2 = -3$ не является решением.

Следовательно, $a = 2$.

Вернемся к исходной переменной:

$2^{\frac{x+y}{4}} = 2$

$2^{\frac{x+y}{4}} = 2^1$

$\frac{x+y}{4} = 1$

$x+y = 4$

Теперь рассмотрим второе уравнение системы: $2^x + 2^y = 17$.

Из полученного соотношения $x+y=4$ выразим $y$: $y = 4-x$.

Подставим это во второе уравнение:

$2^x + 2^{4-x} = 17$

$2^x + \frac{2^4}{2^x} = 17$

$2^x + \frac{16}{2^x} = 17$

Сделаем еще одну замену. Пусть $b = 2^x$. Так как $2^x > 0$, то $b>0$.

$b + \frac{16}{b} = 17$

Умножим обе части уравнения на $b$ (так как $b \ne 0$):

$b^2 + 16 = 17b$

$b^2 - 17b + 16 = 0$

Это квадратное уравнение. Его корни $b_1 = 1$ и $b_2 = 16$. Оба корня положительны и подходят.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $b = 1$.

$2^x = 1 \implies 2^x = 2^0 \implies x = 0$.

Тогда $y = 4-x = 4-0 = 4$.

Получили решение $(0, 4)$.

Случай 2: $b = 16$.

$2^x = 16 \implies 2^x = 2^4 \implies x = 4$.

Тогда $y = 4-x = 4-4 = 0$.

Получили решение $(4, 0)$.

Система является симметричной относительно $x$ и $y$, поэтому наличие двух симметричных решений является ожидаемым.

Ответ: $(0, 4), (4, 0)$.

2)

Дано:

$\begin{cases} 3^{\frac{x-y}{2}} + 3^{x+y} = 12 \\ 3^x + 3^{-y} = 10\end{cases}$

Найти:

$x, y$

Решение:

Сделаем замену переменных. Пусть $u = 3^x$ и $v = 3^{-y}$. Так как показательные функции всегда положительны, $u > 0$ и $v > 0$.

Перепишем уравнения системы в новых переменных.

Второе уравнение: $u + v = 10$.

Для первого уравнения преобразуем его члены:

$3^{\frac{x-y}{2}} = 3^{\frac{x+(-y)}{2}} = \sqrt{3^{x+(-y)}} = \sqrt{3^x \cdot 3^{-y}} = \sqrt{uv}$.

$3^{x+y} = 3^x \cdot 3^y = 3^x \cdot (3^{-y})^{-1} = u \cdot v^{-1} = \frac{u}{v}$.

Таким образом, первое уравнение принимает вид: $\sqrt{uv} + \frac{u}{v} = 12$.

Получаем систему уравнений относительно $u$ и $v$:

$\begin{cases} u + v = 10 \\ \sqrt{uv} + \frac{u}{v} = 12\end{cases}$

Из первого уравнения выразим $u$: $u = 10 - v$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$\sqrt{(10-v)v} + \frac{10-v}{v} = 12$

$\sqrt{10v - v^2} = 12 - \frac{10-v}{v} = \frac{12v - (10-v)}{v} = \frac{13v - 10}{v}$

Для существования корня необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным: $10v - v^2 \ge 0 \implies v(10-v) \ge 0$. Так как $v>0$, то $10-v \ge 0 \implies v \le 10$.

Также, поскольку левая часть (квадратный корень) неотрицательна, правая часть тоже должна быть неотрицательной: $\frac{13v-10}{v} \ge 0$. Так как $v>0$, то $13v-10 \ge 0 \implies v \ge \frac{10}{13}$.

Итак, для $v$ должно выполняться условие $\frac{10}{13} \le v \le 10$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$10v - v^2 = \left(\frac{13v-10}{v}\right)^2 = \frac{169v^2 - 260v + 100}{v^2}$

Умножим обе части на $v^2$ (так как $v \ne 0$):

$v^2(10v - v^2) = 169v^2 - 260v + 100$

$10v^3 - v^4 = 169v^2 - 260v + 100$

$v^4 - 10v^3 + 169v^2 - 260v + 100 = 0$

Это уравнение четвертой степени. Попробуем найти целые корни среди делителей свободного члена 100. Проверим $v=1$:

$1^4 - 10(1)^3 + 169(1)^2 - 260(1) + 100 = 1 - 10 + 169 - 260 + 100 = 270 - 270 = 0$.

Значит, $v=1$ является корнем. Этот корень удовлетворяет условию $\frac{10}{13} \le 1 \le 10$.

Найдем соответствующее значение $u$: $u = 10 - v = 10 - 1 = 9$.

Проверим, удовлетворяют ли другие возможные корни условиям. Разделив многочлен на $(v-1)$, получим: $v^3 - 9v^2 + 160v - 100 = 0$. Пусть $f(v) = v^3 - 9v^2 + 160v - 100$. Производная $f'(v) = 3v^2 - 18v + 160$ имеет отрицательный дискриминант ($D = 18^2 - 4 \cdot 3 \cdot 160 < 0$) и положительный старший коэффициент, следовательно $f'(v) > 0$ для всех $v$. Это значит, что функция $f(v)$ строго возрастает и имеет не более одного реального корня. Так как $f(0) = -100 < 0$ и $f(1) = 1-9+160-100 = 52 > 0$, единственный вещественный корень $v_0$ находится в интервале $(0, 1)$. Однако, мы установили, что для решения $v$ должно выполняться $v \ge \frac{10}{13}$. Значение $f(\frac{10}{13}) > 0$, поэтому корень $v_0 \in (0, \frac{10}{13})$. Этот корень не удовлетворяет условию неотрицательности правой части уравнения $\frac{13v-10}{v} \ge 0$, поэтому является посторонним.

Таким образом, единственным решением для $v$ является $v=1$.

Вернемся к переменным $x$ и $y$:

$u = 3^x = 9 \implies 3^x = 3^2 \implies x = 2$.

$v = 3^{-y} = 1 \implies 3^{-y} = 3^0 \implies -y = 0 \implies y = 0$.

Получили единственное решение $(2, 0)$.

Ответ: $(2, 0)$.

229.1)

$\begin{cases} \sqrt{x^2+y}=x-y, \\ 2^y+11=3 \cdot 2^x; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} 4^{x-y}+4^{\frac{x+y}{2}}=5, \\ 3 \cdot 4^x+4^y=16. \end{cases}$

229.1)

Рассмотрим систему уравнений:

$\begin{cases} \sqrt{x^2+y} = x-y, \\ 2^y + 11 = 3 \cdot 2^x \end{cases}$

Из первого уравнения системы $\sqrt{x^2+y} = x-y$ следует, что его правая часть должна быть неотрицательной, так как она равна значению арифметического квадратного корня. Таким образом, получаем условие (область допустимых значений):

$x - y \ge 0 \implies x \ge y$.

Также подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$x^2 + y \ge 0$.

Возведем обе части первого уравнения в квадрат при условии $x \ge y$:

$(\sqrt{x^2+y})^2 = (x-y)^2$

$x^2 + y = x^2 - 2xy + y^2$

Перенесем все члены в одну сторону:

$y^2 - 2xy - y = 0$

Вынесем $y$ за скобки:

$y(y - 2x - 1) = 0$

Это уравнение распадается на два случая:

1) $y = 0$

2) $y - 2x - 1 = 0 \implies y = 2x + 1$

Рассмотрим каждый случай отдельно.

Случай 1: $y = 0$

Подставим $y = 0$ во второе уравнение системы $2^y + 11 = 3 \cdot 2^x$:

$2^0 + 11 = 3 \cdot 2^x$

$1 + 11 = 3 \cdot 2^x$

$12 = 3 \cdot 2^x$

$2^x = 4$

$2^x = 2^2$

$x = 2$

Получили возможное решение $(2, 0)$. Проверим, удовлетворяет ли оно условиям ОДЗ.

$x \ge y \implies 2 \ge 0$. Верно.

$x^2 + y \ge 0 \implies 2^2 + 0 = 4 \ge 0$. Верно.

Проверим подстановкой в исходную систему:

Первое уравнение: $\sqrt{2^2 + 0} = \sqrt{4} = 2$. Правая часть: $x-y = 2-0 = 2$. Равенство $2=2$ выполняется.

Второе уравнение: $2^0 + 11 = 1+11 = 12$. Правая часть: $3 \cdot 2^2 = 3 \cdot 4 = 12$. Равенство $12=12$ выполняется.

Следовательно, $(2, 0)$ является решением системы.

Случай 2: $y = 2x + 1$

Подставим $y = 2x + 1$ во второе уравнение системы $2^y + 11 = 3 \cdot 2^x$:

$2^{2x+1} + 11 = 3 \cdot 2^x$

$2 \cdot 2^{2x} + 11 = 3 \cdot 2^x$

$2 \cdot (2^x)^2 - 3 \cdot 2^x + 11 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$, где $t > 0$.

$2t^2 - 3t + 11 = 0$

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 11 = 9 - 88 = -79$

Так как дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, в этом случае система уравнений не имеет решений.

Единственное решение системы - это решение, полученное в первом случае.

Ответ: $(2, 0)$.

2)

Рассмотрим систему уравнений:

$\begin{cases} 4^{x-y} + 4^{\frac{x+y}{2}} = 5, \\ 3 \cdot 4^x + 4^y = 16. \end{cases}$

Сделаем замену переменных. Пусть $a = 4^x$ и $b = 4^y$. Так как показательная функция всегда положительна, то $a > 0$ и $b > 0$.

Выразим члены первого уравнения через $a$ и $b$:

$4^{x-y} = \frac{4^x}{4^y} = \frac{a}{b}$

$4^{\frac{x+y}{2}} = (4^{x+y})^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4^x \cdot 4^y} = \sqrt{ab}$

Система уравнений в новых переменных примет вид:

$\begin{cases} \frac{a}{b} + \sqrt{ab} = 5, \\ 3a + b = 16. \end{cases}$

Для решения этой системы введем еще одну замену. Пусть $c = \sqrt{\frac{a}{b}}$ и $d = \sqrt{ab}$. Очевидно, $c > 0$ и $d > 0$.

Тогда первое уравнение системы принимает вид $c^2 + d = 5$, откуда $d = 5 - c^2$.

Так как $d > 0$, то $5 - c^2 > 0$, что означает $c^2 < 5$, или $0 < c < \sqrt{5}$.

Выразим $a$ и $b$ через $c$ и $d$:

$c^2 = a/b$ и $d^2 = ab$. Перемножив их, получим $c^2 d^2 = a^2$, откуда $a = cd$ (так как $a,c,d > 0$).

Разделив второе на первое, получим $d^2/c^2 = b^2$, откуда $b = d/c$ (так как $b,c,d > 0$).

Подставим эти выражения для $a$ и $b$ во второе уравнение системы $3a + b = 16$:

$3(cd) + \frac{d}{c} = 16$

Теперь подставим сюда $d = 5 - c^2$:

$3c(5 - c^2) + \frac{5 - c^2}{c} = 16$

Умножим обе части уравнения на $c$ (так как $c \neq 0$):

$3c^2(5 - c^2) + (5 - c^2) = 16c$

$15c^2 - 3c^4 + 5 - c^2 - 16c = 0$

$-3c^4 + 14c^2 - 16c + 5 = 0$

$3c^4 - 14c^2 + 16c - 5 = 0$

Можно заметить, что $c=1$ является корнем этого уравнения: $3(1)^4 - 14(1)^2 + 16(1) - 5 = 3 - 14 + 16 - 5 = 0$. Разделив многочлен на $(c-1)$ дважды (так как $c=1$ - корень кратности 2), получим:

$(c-1)^2(3c^2 + 6c - 5) = 0$

Отсюда получаем корни:

1) $(c-1)^2 = 0 \implies c = 1$.

2) $3c^2 + 6c - 5 = 0$. Решим это квадратное уравнение:

$c = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4(3)(-5)}}{2 \cdot 3} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 60}}{6} = \frac{-6 \pm \sqrt{96}}{6} = \frac{-6 \pm 4\sqrt{6}}{6} = \frac{-3 \pm 2\sqrt{6}}{3}$.

Мы получили три возможных значения для $c$: $c_1=1$, $c_2 = \frac{-3 + 2\sqrt{6}}{3}$ и $c_3 = \frac{-3 - 2\sqrt{6}}{3}$.

Проверим, удовлетворяют ли они условию $0 < c < \sqrt{5}$.

Корень $c_3$ отрицателен, поэтому он является посторонним.

Корни $c_1=1$ и $c_2 = \frac{-3+2\sqrt{6}}{3}$ удовлетворяют условию $0 < c < \sqrt{5}$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $c = 1$

$d = 5 - c^2 = 5 - 1^2 = 4$.

$a = cd = 1 \cdot 4 = 4$.

$b = d/c = 4/1 = 4$.

Возвращаемся к переменным $x$ и $y$:

$4^x = a = 4 \implies x=1$.

$4^y = b = 4 \implies y=1$.

Получаем решение $(1, 1)$.

Случай 2: $c = \frac{-3 + 2\sqrt{6}}{3}$

$d = 5 - c^2 = 5 - \left(\frac{-3 + 2\sqrt{6}}{3}\right)^2 = 5 - \frac{9 - 12\sqrt{6} + 24}{9} = \frac{45 - 33 + 12\sqrt{6}}{9} = \frac{12 + 12\sqrt{6}}{9} = \frac{4 + 4\sqrt{6}}{3}$.

$a = cd = \left(\frac{-3 + 2\sqrt{6}}{3}\right) \left(\frac{4 + 4\sqrt{6}}{3}\right) = \frac{-12 - 12\sqrt{6} + 8\sqrt{6} + 48}{9} = \frac{36 - 4\sqrt{6}}{9}$.

$b = \frac{d}{c} = \frac{(4 + 4\sqrt{6})/3}{(-3 + 2\sqrt{6})/3} = \frac{4(1+\sqrt{6})(2\sqrt{6}+3)}{(2\sqrt{6}-3)(2\sqrt{6}+3)} = \frac{4(15+5\sqrt{6})}{15} = \frac{4(3+\sqrt{6})}{3}$.

Возвращаемся к переменным $x$ и $y$:

$4^x = a = \frac{36 - 4\sqrt{6}}{9} \implies x = \log_4\left(\frac{36 - 4\sqrt{6}}{9}\right) = \log_4\left(\frac{4(9-\sqrt{6})}{9}\right) = 1 + \log_4\left(1 - \frac{\sqrt{6}}{9}\right)$.

$4^y = b = \frac{4(3+\sqrt{6})}{3} \implies y = \log_4\left(\frac{4(3+\sqrt{6})}{3}\right) = \log_4(4) + \log_4\left(1+\frac{\sqrt{6}}{3}\right) = 1 + \log_4\left(1+\frac{\sqrt{6}}{3}\right)$.

Ответ: $(1, 1)$, $\left(1 + \log_4\left(1 - \frac{\sqrt{6}}{9}\right), 1 + \log_4\left(1 + \frac{\sqrt{6}}{3}\right)\right)$.