Номер 226, страница 109 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

Решите системы уравнений (226–229):

226. 1)

$$ \begin{cases} 3^x \cdot 5^y = 75, \\ 3^y \cdot 5^x = 45; \end{cases} $$

2)

$$ \begin{cases} 3^{3x} = 3^{7-y}, \\ \frac{1}{x} + 2 = \frac{12}{y}. \end{cases} $$

1)

Дано:

$ \begin{cases} 3^x \cdot 5^y = 75 \\ 3^y \cdot 5^x = 45 \end{cases} $

Найти:

$x, y$

Решение:

Разложим правые части уравнений на простые множители:

$75 = 3 \cdot 25 = 3^1 \cdot 5^2$

$45 = 9 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5^1$

Таким образом, система уравнений принимает вид:

$ \begin{cases} 3^x \cdot 5^y = 3^1 \cdot 5^2 \\ 3^y \cdot 5^x = 3^2 \cdot 5^1 \end{cases} $

Перемножим левые и правые части уравнений системы:

$(3^x \cdot 5^y) \cdot (3^y \cdot 5^x) = 75 \cdot 45$

Используя свойства степеней, сгруппируем множители с одинаковыми основаниями:

$(3^x \cdot 3^y) \cdot (5^y \cdot 5^x) = (3^1 \cdot 5^2) \cdot (3^2 \cdot 5^1)$

$3^{x+y} \cdot 5^{x+y} = 3^{1+2} \cdot 5^{2+1}$

$(3 \cdot 5)^{x+y} = 3^3 \cdot 5^3$

$15^{x+y} = (3 \cdot 5)^3$

$15^{x+y} = 15^3$

Так как основания равны, можем приравнять показатели степеней:

$x+y = 3$

Теперь разделим первое уравнение системы на второе:

$\frac{3^x \cdot 5^y}{3^y \cdot 5^x} = \frac{75}{45}$

Используя свойства степеней, упростим левую часть, а правую сократим:

$3^{x-y} \cdot 5^{y-x} = \frac{5}{3}$

$3^{x-y} \cdot (5^{-1})^{x-y} = 5^1 \cdot 3^{-1}$

$\frac{3^{x-y}}{5^{x-y}} = \frac{5}{3}$

$(\frac{3}{5})^{x-y} = (\frac{3}{5})^{-1}$

Приравнивая показатели степеней, получаем:

$x-y = -1$

Теперь у нас есть система двух линейных уравнений с двумя переменными:

$ \begin{cases} x+y = 3 \\ x-y = -1 \end{cases} $

Сложим эти два уравнения:

$(x+y) + (x-y) = 3 + (-1)$

$2x = 2$

$x = 1$

Подставим найденное значение $x$ в первое уравнение ($x+y=3$):

$1+y = 3$

$y = 2$

Проверим найденное решение $(1, 2)$, подставив его в исходную систему:

$3^1 \cdot 5^2 = 3 \cdot 25 = 75$ (верно)

$3^2 \cdot 5^1 = 9 \cdot 5 = 45$ (верно)

Ответ: $(1, 2)$.

2)

Дано:

$ \begin{cases} 3^{3x} = 3^{7-y} \\ \frac{1}{x} + 2 = \frac{12}{y} \end{cases} $

Найти:

$x, y$

Решение:

Рассмотрим первое уравнение системы: $3^{3x} = 3^{7-y}$.

Поскольку основания степеней одинаковы, мы можем приравнять их показатели:

$3x = 7 - y$

Выразим переменную $y$ через $x$:

$y = 7 - 3x$

Теперь подставим это выражение во второе уравнение системы. Заметим, что из второго уравнения следуют ограничения: $x \ne 0$ и $y \ne 0$. Условие $y \ne 0$ означает $7 - 3x \ne 0$, то есть $x \ne \frac{7}{3}$.

$\frac{1}{x} + 2 = \frac{12}{7 - 3x}$

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{1+2x}{x} = \frac{12}{7 - 3x}$

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение), чтобы избавиться от знаменателей:

$(1+2x)(7-3x) = 12x$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$1 \cdot 7 + 1 \cdot (-3x) + 2x \cdot 7 + 2x \cdot (-3x) = 12x$

$7 - 3x + 14x - 6x^2 = 12x$

$7 + 11x - 6x^2 = 12x$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$6x^2 + 12x - 11x - 7 = 0$

$6x^2 + x - 7 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$, где $a=6, b=1, c=-7$.

$D = 1^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-7) = 1 + 168 = 169 = 13^2$

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-1 + 13}{2 \cdot 6} = \frac{12}{12} = 1$

$x_2 = \frac{-1 - 13}{2 \cdot 6} = \frac{-14}{12} = -\frac{7}{6}$

Оба найденных значения $x$ удовлетворяют ограничениям $x \ne 0$ и $x \ne \frac{7}{3}$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого корня, используя ранее полученную формулу $y = 7 - 3x$.

При $x_1 = 1$:

$y_1 = 7 - 3(1) = 7 - 3 = 4$

Таким образом, первая пара решений: $(1, 4)$.

При $x_2 = -\frac{7}{6}$:

$y_2 = 7 - 3(-\frac{7}{6}) = 7 + \frac{21}{6} = 7 + \frac{7}{2} = \frac{14}{2} + \frac{7}{2} = \frac{21}{2}$

Таким образом, вторая пара решений: $(-\frac{7}{6}, \frac{21}{2})$.

Ответ: $(1, 4)$, $(-\frac{7}{6}, \frac{21}{2})$.