Номер 225, страница 109 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

225. 1) $2^{x^2-3} \cdot 5^{x^2-3} = 0,01 \cdot (10^x-1)^3;$

2) $32^{\frac{x+5}{x-7}} = 0,25 \cdot 128^{\frac{x+17}{x-3}};$

3) $2 \cdot 3^{x-1} - 3^{x-2} = 5^{x-2} + 4 \cdot 5^{x-3};$

4) $8^x - 4^{x+0,5} - 2^x + 2 = 0.$

1) $2^{x^2-3} \cdot 5^{x^2-3} = 0,01 \cdot (10^{x-1})^3$

Решение

Преобразуем левую часть уравнения, используя свойство степеней $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$:

$2^{x^2-3} \cdot 5^{x^2-3} = (2 \cdot 5)^{x^2-3} = 10^{x^2-3}$

Теперь преобразуем правую часть. Представим $0,01$ как $10^{-2}$ и раскроем скобки, используя свойство $(a^m)^n = a^{mn}$:

$0,01 \cdot (10^{x-1})^3 = 10^{-2} \cdot 10^{3(x-1)} = 10^{-2} \cdot 10^{3x-3}$

Используем свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$10^{-2} \cdot 10^{3x-3} = 10^{-2 + 3x - 3} = 10^{3x-5}$

Теперь исходное уравнение имеет вид:

$10^{x^2-3} = 10^{3x-5}$

Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$x^2 - 3 = 3x - 5$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 - 3x - 3 + 5 = 0$

$x^2 - 3x + 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а произведение равно 2. Корни легко находятся:

$x_1 = 1$, $x_2 = 2$

Ответ: $1; 2$.

2) $32^{\frac{x+5}{x-7}} = 0,25 \cdot 128^{\frac{x+17}{x-3}}$

Решение

Приведем все основания степеней к одному числу, в данном случае к 2:

$32 = 2^5$

$0,25 = \frac{1}{4} = 2^{-2}$

$128 = 2^7$

Подставим эти значения в уравнение:

$(2^5)^{\frac{x+5}{x-7}} = 2^{-2} \cdot (2^7)^{\frac{x+17}{x-3}}$

Используем свойства степеней $(a^m)^n = a^{mn}$ и $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$2^{\frac{5(x+5)}{x-7}} = 2^{-2 + \frac{7(x+17)}{x-3}}$

Приравниваем показатели степеней:

$\frac{5x+25}{x-7} = -2 + \frac{7x+119}{x-3}$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 7$ и $x \neq 3$.

Приведем правую часть к общему знаменателю:

$\frac{5x+25}{x-7} = \frac{-2(x-3) + 7x+119}{x-3}$

$\frac{5x+25}{x-7} = \frac{-2x+6+7x+119}{x-3}$

$\frac{5x+25}{x-7} = \frac{5x+125}{x-3}$

Воспользуемся свойством пропорции:

$(5x+25)(x-3) = (5x+125)(x-7)$

Раскроем скобки:

$5x^2 - 15x + 25x - 75 = 5x^2 - 35x + 125x - 875$

$5x^2 + 10x - 75 = 5x^2 + 90x - 875$

Сократим $5x^2$ с обеих сторон:

$10x - 75 = 90x - 875$

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числа в другую:

$875 - 75 = 90x - 10x$

$800 = 80x$

$x = 10$

Полученный корень $x=10$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $10$.

3) $2 \cdot 3^{x-1} - 3^{x-2} = 5^{x-2} + 4 \cdot 5^{x-3}$

Решение

Преобразуем обе части уравнения, вынеся за скобки $3^x$ в левой части и $5^x$ в правой.

Левая часть: $2 \cdot 3^x \cdot 3^{-1} - 3^x \cdot 3^{-2} = 3^x(2 \cdot \frac{1}{3} - \frac{1}{9}) = 3^x(\frac{2}{3} - \frac{1}{9}) = 3^x(\frac{6-1}{9}) = 3^x \cdot \frac{5}{9}$

Правая часть: $5^x \cdot 5^{-2} + 4 \cdot 5^x \cdot 5^{-3} = 5^x(\frac{1}{5^2} + 4 \cdot \frac{1}{5^3}) = 5^x(\frac{1}{25} + \frac{4}{125}) = 5^x(\frac{5+4}{125}) = 5^x \cdot \frac{9}{125}$

Уравнение принимает вид:

$3^x \cdot \frac{5}{9} = 5^x \cdot \frac{9}{125}$

Разделим обе части на $5^x$ и на $\frac{5}{9}$:

$\frac{3^x}{5^x} = \frac{9/125}{5/9}$

$(\frac{3}{5})^x = \frac{9}{125} \cdot \frac{9}{5}$

$(\frac{3}{5})^x = \frac{81}{625}$

Представим правую часть в виде степени с основанием $\frac{3}{5}$:

$\frac{81}{625} = \frac{3^4}{5^4} = (\frac{3}{5})^4$

Получаем уравнение:

$(\frac{3}{5})^x = (\frac{3}{5})^4$

Отсюда следует, что $x=4$.

Ответ: $4$.

4) $8^x - 4^{x+0,5} - 2^x + 2 = 0$

Решение

Приведем все степени к основанию 2:

$8^x = (2^3)^x = (2^x)^3$

$4^{x+0,5} = (2^2)^{x+0,5} = 2^{2(x+0,5)} = 2^{2x+1} = 2^{2x} \cdot 2^1 = 2 \cdot (2^x)^2$

Подставим в уравнение:

$(2^x)^3 - 2 \cdot (2^x)^2 - 2^x + 2 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Так как $2^x > 0$ для любого $x$, то $t > 0$.

$t^3 - 2t^2 - t + 2 = 0$

Решим это кубическое уравнение методом группировки:

$(t^3 - 2t^2) - (t - 2) = 0$

$t^2(t-2) - 1(t-2) = 0$

$(t^2 - 1)(t-2) = 0$

$(t-1)(t+1)(t-2) = 0$

Корни этого уравнения: $t_1 = 1$, $t_2 = -1$, $t_3 = 2$.

Вернемся к замене $t = 2^x$.

1) $2^x = t_1 = 1 \implies 2^x = 2^0 \implies x = 0$.

2) $2^x = t_2 = -1$. Это уравнение не имеет действительных корней, так как $2^x$ всегда положительно.

3) $2^x = t_3 = 2 \implies 2^x = 2^1 \implies x = 1$.

Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: $0; 1$.