Номер 224, страница 108 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

224. 1) $x \cdot 3^{x-1} + 3 \cdot 3^{\sqrt{3-x}} = 3^x + x \cdot 3^{\sqrt{3-x}};

2) $x^2 \cdot 4^{\sqrt{6-x}} = 16 \cdot 4^{\sqrt{6-x}};

3) $8^x + 18^x = 2 \cdot 27^x;

4) $10^{1+x^2} - 10^{1-x^2} = 99.$

1)Решим уравнение $x \cdot 3^{x-1} + 3 \cdot 3^{\sqrt{3-x}} = 3^x + x \cdot 3^{\sqrt{3-x}}$.
Определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $3-x \ge 0$, откуда $x \le 3$.
Перенесем все члены в левую часть уравнения и сгруппируем слагаемые:
$(x \cdot 3^{x-1} - 3^x) + (3 \cdot 3^{\sqrt{3-x}} - x \cdot 3^{\sqrt{3-x}}) = 0$.
Вынесем общие множители из каждой группы. Используем свойство $3^x = 3 \cdot 3^{x-1}$:
$3^{x-1}(x - 3) + 3^{\sqrt{3-x}}(3 - x) = 0$.
$3^{x-1}(x - 3) - 3^{\sqrt{3-x}}(x - 3) = 0$.
Вынесем общий множитель $(x-3)$ за скобки:
$(x - 3)(3^{x-1} - 3^{\sqrt{3-x}}) = 0$.
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
Случай 1: $x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($3 \le 3$).
Случай 2: $3^{x-1} - 3^{\sqrt{3-x}} = 0$.
$3^{x-1} = 3^{\sqrt{3-x}}$.
Так как основания степеней равны, приравняем их показатели:
$x - 1 = \sqrt{3-x}$.
Поскольку правая часть уравнения (квадратный корень) неотрицательна, то и левая часть должна быть неотрицательной: $x - 1 \ge 0$, откуда $x \ge 1$. С учетом ОДЗ, ищем корень на отрезке $[1, 3]$.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(x - 1)^2 = (\sqrt{3-x})^2$
$x^2 - 2x + 1 = 3 - x$
$x^2 - x - 2 = 0$.
Решим квадратное уравнение. Его корни $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.
Проверим корни. Корень $x = 2$ принадлежит отрезку $[1, 3]$, следовательно, является решением. Корень $x = -1$ не принадлежит отрезку $[1, 3]$ (так как $-1 < 1$), следовательно, является посторонним.
Таким образом, исходное уравнение имеет два корня: $x=2$ и $x=3$.
Ответ:$2; 3$.

2)Решим уравнение $x^2 \cdot 4^{\sqrt{6-x}} = 16 \cdot 4^{\sqrt{6-x}}$.
ОДЗ: $6-x \ge 0 \Rightarrow x \le 6$.
Перенесем все слагаемые в левую часть:
$x^2 \cdot 4^{\sqrt{6-x}} - 16 \cdot 4^{\sqrt{6-x}} = 0$.
Вынесем общий множитель $4^{\sqrt{6-x}}$ за скобки:
$4^{\sqrt{6-x}} (x^2 - 16) = 0$.
Так как показательная функция $4^{\sqrt{6-x}}$ всегда строго положительна ($4^y > 0$), то равенство возможно только если второй множитель равен нулю:
$x^2 - 16 = 0$.
$x^2 = 16$.
$x = \pm\sqrt{16}$, то есть $x_1 = 4$ и $x_2 = -4$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($4 \le 6$ и $-4 \le 6$).
Ответ:$-4; 4$.

3)Решим уравнение $8^x + 18^x = 2 \cdot 27^x$.
Представим основания степеней через простые множители 2 и 3:
$8^x = (2^3)^x = (2^x)^3$
$18^x = (2 \cdot 3^2)^x = 2^x \cdot (3^2)^x = 2^x \cdot (3^x)^2$
$27^x = (3^3)^x = (3^x)^3$
Подставим это в уравнение:
$(2^x)^3 + 2^x \cdot (3^x)^2 = 2 \cdot (3^x)^3$.
Это однородное показательное уравнение. Так как $27^x = (3^x)^3 > 0$ при любом $x$, разделим обе части уравнения на $(3^x)^3$:
$\frac{(2^x)^3}{(3^x)^3} + \frac{2^x \cdot (3^x)^2}{(3^x)^3} = \frac{2 \cdot (3^x)^3}{(3^x)^3}$
$(\frac{2}{3})^x)^3 + (\frac{2}{3})^x = 2$.
Сделаем замену $y = (\frac{2}{3})^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $y > 0$.
Получим кубическое уравнение: $y^3 + y - 2 = 0$.
Легко заметить, что $y=1$ является корнем, так как $1^3 + 1 - 2 = 0$.
Разложим левую часть на множители: $(y-1)(y^2 + y + 2) = 0$.
Рассмотрим квадратное уравнение $y^2 + y + 2 = 0$. Его дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7$. Так как $D < 0$, это уравнение не имеет действительных корней.
Следовательно, единственным действительным решением для $y$ является $y=1$.
Вернемся к замене:
$(\frac{2}{3})^x = 1$.
Поскольку любое число (кроме нуля) в степени 0 равно 1, то $x=0$.
Ответ:$0$.

4)Решим уравнение $10^{1+x^2} - 10^{1-x^2} = 99$.
Используем свойства степеней $a^{m+n}=a^m \cdot a^n$ и $a^{m-n}=\frac{a^m}{a^n}$:
$10^1 \cdot 10^{x^2} - \frac{10^1}{10^{x^2}} = 99$.
Сделаем замену $y = 10^{x^2}$. Поскольку $x^2 \ge 0$, то $10^{x^2} \ge 10^0 = 1$, следовательно $y \ge 1$.
Уравнение примет вид:
$10y - \frac{10}{y} = 99$.
Так как $y \ge 1$, то $y \ne 0$. Умножим обе части на $y$:
$10y^2 - 10 = 99y$
$10y^2 - 99y - 10 = 0$.
Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-99)^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-10) = 9801 + 400 = 10201 = 101^2$.
Найдем корни для $y$:
$y_1 = \frac{99 - 101}{2 \cdot 10} = \frac{-2}{20} = -0.1$.
$y_2 = \frac{99 + 101}{2 \cdot 10} = \frac{200}{20} = 10$.
Проверим корни с учетом условия $y \ge 1$.
$y_1 = -0.1$ не удовлетворяет условию $y \ge 1$, поэтому это посторонний корень.
$y_2 = 10$ удовлетворяет условию $y \ge 1$.
Вернемся к замене:
$10^{x^2} = 10$.
$10^{x^2} = 10^1$.
$x^2 = 1$.
$x = \pm 1$.
Ответ:$-1; 1$.