Номер 220, страница 108 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

220. 1)

$ \begin{cases} 4^{x+y} = 16, \\ 4^{x+2y-1} = 1; \end{cases} $

2)

$ \begin{cases} 6^{3x-y} = \sqrt{6}, \\ 2^{y-2x} = \frac{1}{\sqrt{2}}; \end{cases} $

3)

$ \begin{cases} 5^{2x+y} = 125, \\ 7^{3x-2y} = 7; \end{cases} $

4)

$ \begin{cases} 3^{4x-3y} = 27\sqrt{3}, \\ 2^{4y+x} = \frac{1}{2\sqrt{2}}. \end{cases} $

1)

Дано:

$ \begin{cases} 4^{x+y} = 16, \\ 4^{x+2y-1} = 1; \end{cases} $

Найти:

$x, y$

Решение:

Приведем правые части уравнений к степеням с основанием 4.
$16 = 4^2$
$1 = 4^0$
Тогда система примет вид:
$ \begin{cases} 4^{x+y} = 4^2, \\ 4^{x+2y-1} = 4^0; \end{cases} $
Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели. Получаем систему линейных уравнений:
$ \begin{cases} x+y = 2, \\ x+2y-1 = 0; \end{cases} $
Перепишем систему в стандартном виде:
$ \begin{cases} x+y = 2, \\ x+2y = 1; \end{cases} $
Вычтем первое уравнение из второго:
$(x+2y) - (x+y) = 1 - 2$
$y = -1$
Подставим значение $y = -1$ в первое уравнение, чтобы найти $x$:
$x + (-1) = 2$
$x - 1 = 2$
$x = 3$
Таким образом, решение системы: $x = 3$, $y = -1$.

Ответ: $(3; -1)$

2)

Дано:

$ \begin{cases} 6^{3x-y} = \sqrt{6}, \\ 2^{y-2x} = \frac{1}{\sqrt{2}}; \end{cases} $

Найти:

$x, y$

Решение:

Приведем правые части уравнений к степеням с соответствующими основаниями.
Для первого уравнения (основание 6): $\sqrt{6} = 6^{1/2}$.
Для второго уравнения (основание 2): $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2^{1/2}} = 2^{-1/2}$.
Система принимает вид:
$ \begin{cases} 6^{3x-y} = 6^{1/2}, \\ 2^{y-2x} = 2^{-1/2}; \end{cases} $
Приравниваем показатели степеней:
$ \begin{cases} 3x-y = \frac{1}{2}, \\ y-2x = -\frac{1}{2}; \end{cases} $
Перепишем второе уравнение для удобства:
$ \begin{cases} 3x-y = \frac{1}{2}, \\ -2x+y = -\frac{1}{2}; \end{cases} $
Сложим два уравнения системы:
$(3x-y) + (-2x+y) = \frac{1}{2} + (-\frac{1}{2})$
$x = 0$
Подставим значение $x=0$ во второе уравнение:
$y - 2(0) = -\frac{1}{2}$
$y = -\frac{1}{2}$
Таким образом, решение системы: $x = 0$, $y = -1/2$.

Ответ: $(0; -1/2)$

3)

Дано:

$ \begin{cases} 5^{2x+y} = 125, \\ 7^{3x-2y} = 7; \end{cases} $

Найти:

$x, y$

Решение:

Приведем правые части уравнений к степеням с соответствующими основаниями.
Для первого уравнения (основание 5): $125 = 5^3$.
Для второго уравнения (основание 7): $7 = 7^1$.
Система принимает вид:
$ \begin{cases} 5^{2x+y} = 5^3, \\ 7^{3x-2y} = 7^1; \end{cases} $
Приравниваем показатели степеней:
$ \begin{cases} 2x+y = 3, \\ 3x-2y = 1; \end{cases} $
Из первого уравнения выразим $y$: $y = 3-2x$.
Подставим это выражение во второе уравнение:
$3x - 2(3-2x) = 1$
$3x - 6 + 4x = 1$
$7x = 7$
$x = 1$
Теперь найдем $y$, подставив $x=1$ в выражение для $y$:
$y = 3 - 2(1) = 3 - 2 = 1$
Таким образом, решение системы: $x = 1$, $y = 1$.

Ответ: $(1; 1)$

4)

Дано:

$ \begin{cases} 3^{4x-3y} = 27\sqrt{3}, \\ 2^{4y+x} = \frac{1}{2\sqrt{2}}; \end{cases} $

Найти:

$x, y$

Решение:

Приведем правые части уравнений к степеням с соответствующими основаниями.
Для первого уравнения (основание 3): $27\sqrt{3} = 3^3 \cdot 3^{1/2} = 3^{3+1/2} = 3^{7/2}$.
Для второго уравнения (основание 2): $\frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{2^1 \cdot 2^{1/2}} = \frac{1}{2^{1+1/2}} = \frac{1}{2^{3/2}} = 2^{-3/2}$.
Система принимает вид:
$ \begin{cases} 3^{4x-3y} = 3^{7/2}, \\ 2^{x+4y} = 2^{-3/2}; \end{cases} $
Приравниваем показатели степеней:
$ \begin{cases} 4x-3y = \frac{7}{2}, \\ x+4y = -\frac{3}{2}; \end{cases} $
Умножим оба уравнения на 2, чтобы избавиться от дробей:
$ \begin{cases} 8x-6y = 7, \\ 2x+8y = -3; \end{cases} $
Умножим второе уравнение на 4, чтобы коэффициенты при $x$ совпали:
$4(2x+8y) = 4(-3) \implies 8x+32y = -12$
Теперь система выглядит так:
$ \begin{cases} 8x-6y = 7, \\ 8x+32y = -12; \end{cases} $
Вычтем первое уравнение из второго:
$(8x+32y) - (8x-6y) = -12 - 7$
$38y = -19$
$y = -\frac{19}{38} = -\frac{1}{2}$
Подставим $y = -1/2$ во второе исходное уравнение ($2x+8y = -3$):
$2x + 8(-\frac{1}{2}) = -3$
$2x - 4 = -3$
$2x = 1$
$x = \frac{1}{2}$
Таким образом, решение системы: $x = 1/2$, $y = -1/2$.

Ответ: $(1/2; -1/2)$