Номер 216, страница 107 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

216.1) $(\frac{1}{0,125})^x = 128;$

2) $5^{x^2 + x - 5} = \frac{1}{125};$

3) $(0,5)^{x^2 - 9x + 17,5} = \frac{8}{\sqrt{2}};$

4) $(0,5)^{x^2 - 2x - 2} = \frac{1}{64}.$

1)

Дано:

$(\frac{1}{0,125})^x = 128$

Найти:

$x$

Решение:

Сначала преобразуем основание степени в левой части уравнения. Представим десятичную дробь $0,125$ в виде обыкновенной дроби: $0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8}$.
Тогда основание степени равно $\frac{1}{0,125} = \frac{1}{1/8} = 8$.
Исходное уравнение принимает вид: $8^x = 128$.
Теперь приведем обе части уравнения к одному основанию, в данном случае к основанию 2.
Мы знаем, что $8 = 2^3$ и $128 = 2^7$.
Подставим эти значения в уравнение: $(2^3)^x = 2^7$.
Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем: $2^{3x} = 2^7$.
Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:
$3x = 7$
Отсюда находим $x$:
$x = \frac{7}{3}$

Ответ: $\frac{7}{3}$

2)

Дано:

$5^{x^2 + x - 5} = \frac{1}{125}$

Найти:

$x$

Решение:

Приведем обе части уравнения к основанию 5.
Правую часть уравнения можно представить как степень числа 5: $\frac{1}{125} = \frac{1}{5^3} = 5^{-3}$.
Теперь уравнение имеет вид: $5^{x^2 + x - 5} = 5^{-3}$.
Так как основания степеней одинаковы, приравниваем их показатели:
$x^2 + x - 5 = -3$
Переносим все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 + x - 5 + 3 = 0$
$x^2 + x - 2 = 0$
Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$.
Теперь найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$.
$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2$.

Ответ: $-2; 1$

3)

Дано:

$(0,5)^{x^2 - 9x + 17,5} = \frac{8}{\sqrt{2}}$

Найти:

$x$

Решение:

Приведем обе части уравнения к одному основанию, например, к 2.
Преобразуем левую часть: $0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$.
Преобразуем правую часть: $\frac{8}{\sqrt{2}} = \frac{2^3}{2^{1/2}} = 2^{3 - 1/2} = 2^{5/2} = 2^{2,5}$.
Подставляем преобразованные выражения в исходное уравнение:
$(2^{-1})^{x^2 - 9x + 17,5} = 2^{2,5}$
$2^{-(x^2 - 9x + 17,5)} = 2^{2,5}$.
Приравниваем показатели степеней:
$-(x^2 - 9x + 17,5) = 2,5$
$-x^2 + 9x - 17,5 = 2,5$
$-x^2 + 9x - 17,5 - 2,5 = 0$
$-x^2 + 9x - 20 = 0$
Умножим уравнение на -1 для удобства:
$x^2 - 9x + 20 = 0$
Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 81 - 80 = 1$.
Найдем корни:
$x_1 = \frac{9 + \sqrt{1}}{2} = \frac{10}{2} = 5$.
$x_2 = \frac{9 - \sqrt{1}}{2} = \frac{8}{2} = 4$.

Ответ: $4; 5$

4)

Дано:

$(0,5)^{x^2 - 2x - 2} = \frac{1}{64}$

Найти:

$x$

Решение:

Приведем обе части уравнения к одному основанию 0,5.
Левая часть уже имеет основание 0,5.
Преобразуем правую часть: $\frac{1}{64} = \frac{1}{2^6} = (\frac{1}{2})^6 = (0,5)^6$.
Уравнение принимает вид: $(0,5)^{x^2 - 2x - 2} = (0,5)^6$.
Так как основания равны, приравниваем показатели:
$x^2 - 2x - 2 = 6$
$x^2 - 2x - 2 - 6 = 0$
$x^2 - 2x - 8 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$.
Найдем корни:
$x_1 = \frac{2 + \sqrt{36}}{2} = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4$.
$x_2 = \frac{2 - \sqrt{36}}{2} = \frac{2 - 6}{2} = \frac{-4}{2} = -2$.

Ответ: $-2; 4$