Номер 211, страница 98 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

211. Вычислите площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:

1) $y = -\frac{5}{x}$, $x = -1$, $x = -2$, $y = 2$;

2) $y = 4^x$, $y = 4$, $x = 4$.

1) $y=-\frac{5}{x}, x=-1, x=-2, y=2$

Дано:

Фигура ограничена линиями: $y = -5/x$, $x = -1$, $x = -2$, $y = 2$.

Найти:

Площадь фигуры $S$.

Решение:

Построим график фигуры, ограниченной заданными линиями.Линии $x=-2$ и $x=-1$ — вертикальные прямые.Линия $y=2$ — горизонтальная прямая.Линия $y = -5/x$ — гипербола, ветви которой расположены во II и IV координатных четвертях.

Найдем точки пересечения гиперболы с вертикальными прямыми в рассматриваемом интервале $x \in [-2, -1]$:При $x=-2$, $y = -5/(-2) = 2.5$.При $x=-1$, $y = -5/(-1) = 5$.

В интервале $x \in [-2, -1]$ значения функции $y = -5/x$ (от 2.5 до 5) больше, чем значение функции $y=2$.Следовательно, искомая фигура сверху ограничена кривой $y = -5/x$, снизу — прямой $y=2$, слева — прямой $x=-2$, и справа — прямой $x=-1$.

Площадь криволинейной трапеции вычисляется с помощью определенного интеграла. Формула для вычисления площади фигуры, ограниченной сверху функцией $f_1(x)$ и снизу функцией $f_2(x)$ на отрезке $[a, b]$:$S = \int_a^b (f_1(x) - f_2(x)) dx$В нашем случае $a=-2$, $b=-1$, $f_1(x) = -5/x$ и $f_2(x) = 2$.$S = \int_{-2}^{-1} \left(-\frac{5}{x} - 2\right) dx$

Вычислим интеграл:$S = \int_{-2}^{-1} \left(-\frac{5}{x} - 2\right) dx = \left[ -5\ln|x| - 2x \right]_{-2}^{-1}$

Подставим пределы интегрирования:$S = (-5\ln|-1| - 2(-1)) - (-5\ln|-2| - 2(-2))$$S = (-5\ln(1) + 2) - (-5\ln(2) + 4)$

Так как $\ln(1) = 0$, получаем:$S = (0 + 2) - (-5\ln(2) + 4) = 2 + 5\ln(2) - 4 = 5\ln(2) - 2$

Ответ: $S = 5\ln(2) - 2$

2) $y=4^x, y=4, x=4$

Дано:

Фигура ограничена линиями: $y = 4^x$, $y = 4$, $x = 4$.

Найти:

Площадь фигуры $S$.

Решение:

Построим график фигуры, ограниченной заданными линиями.Линия $y=4^x$ — показательная функция, возрастающая на всей числовой оси.Линия $y=4$ — горизонтальная прямая.Линия $x=4$ — вертикальная прямая.

Найдем точки пересечения данных линий.Пересечение $y=4^x$ и $y=4$: $4^x=4 \implies x=1$. Точка пересечения: $(1, 4)$.Пересечение $y=4^x$ и $x=4$: $y=4^4=256$. Точка пересечения: $(4, 256)$.Пересечение $y=4$ и $x=4$: Точка пересечения: $(4, 4)$.

Фигура ограничена сверху кривой $y=4^x$, снизу — прямой $y=4$. Левая граница определяется точкой пересечения $y=4^x$ и $y=4$, то есть $x=1$. Правая граница задана прямой $x=4$. Таким образом, интегрирование будет производиться по $x$ в пределах от 1 до 4.

Используем формулу для площади:$S = \int_a^b (f_1(x) - f_2(x)) dx$Здесь $a=1$, $b=4$, $f_1(x) = 4^x$ и $f_2(x) = 4$.$S = \int_{1}^{4} (4^x - 4) dx$

Вычислим интеграл. Первообразная для $4^x$ равна $4^x / \ln(4)$, а для $4$ равна $4x$.$S = \left[ \frac{4^x}{\ln(4)} - 4x \right]_{1}^{4}$

Подставляем пределы интегрирования:$S = \left( \frac{4^4}{\ln(4)} - 4 \cdot 4 \right) - \left( \frac{4^1}{\ln(4)} - 4 \cdot 1 \right)$$S = \left( \frac{256}{\ln(4)} - 16 \right) - \left( \frac{4}{\ln(4)} - 4 \right)$

Упрощаем выражение:$S = \frac{256}{\ln(4)} - 16 - \frac{4}{\ln(4)} + 4 = \frac{256 - 4}{\ln(4)} - 16 + 4 = \frac{252}{\ln(4)} - 12$

Можно также выразить $\ln(4)$ через $\ln(2)$: $\ln(4) = \ln(2^2) = 2\ln(2)$.$S = \frac{252}{2\ln(2)} - 12 = \frac{126}{\ln(2)} - 12$Оба варианта ответа эквивалентны.

Ответ: $S = \frac{252}{\ln(4)} - 12$