Номер 204, страница 97 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

204. 1) $f(x) = (5^x + 4) \cdot x^3;$

2) $f(x) = \sqrt{x} \cdot \log_2 x;$

3) $f(x) = x^2 \cdot e^{5x};$

4) $f(x) = x^2 \cdot 2^{-x}.$

1)

Дано:

$f(x) = (5^x + 4) \cdot x^3$

Найти:

$f'(x)$

Решение:

Для нахождения производной функции, которая является произведением двух функций $u(x) = 5^x + 4$ и $v(x) = x^3$, используем правило дифференцирования произведения:

$(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'$

Сначала найдем производные функций $u(x)$ и $v(x)$:

$u'(x) = (5^x + 4)' = (5^x)' + (4)'$

Производная показательной функции $(a^x)' = a^x \ln(a)$, а производная константы равна нулю. Таким образом:

$u'(x) = 5^x \ln(5) + 0 = 5^x \ln(5)$

Производная степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$v'(x) = (x^3)' = 3x^2$

Теперь подставим найденные производные в формулу для производной произведения:

$f'(x) = (5^x \ln(5)) \cdot x^3 + (5^x + 4) \cdot (3x^2)$

Упростим выражение, раскрыв скобки:

$f'(x) = x^3 \cdot 5^x \ln(5) + 3x^2 \cdot 5^x + 12x^2$

Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:

$f'(x) = x^2(x \cdot 5^x \ln(5) + 3 \cdot 5^x + 12)$

Для более компактной записи сгруппируем слагаемые, содержащие $5^x$:

$f'(x) = x^2(5^x(x \ln(5) + 3) + 12)$

Ответ: $f'(x) = x^2(5^x(x \ln(5) + 3) + 12)$

2)

Дано:

$f(x) = \sqrt{x} \cdot \log_2 x$

Найти:

$f'(x)$

Решение:

Данная функция является произведением двух функций $u(x) = \sqrt{x}$ и $v(x) = \log_2 x$. Применим правило дифференцирования произведения:

$(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'$

Найдем производные для $u(x)$ и $v(x)$:

$u(x) = \sqrt{x} = x^{1/2}$

$u'(x) = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Производная логарифмической функции $(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$:

$v'(x) = (\log_2 x)' = \frac{1}{x \ln 2}$

Подставляем в формулу производной произведения:

$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot \log_2 x + \sqrt{x} \cdot \frac{1}{x \ln 2}$

Упростим второе слагаемое: $\frac{\sqrt{x}}{x} = \frac{x^{1/2}}{x^1} = x^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{x}}$

$f'(x) = \frac{\log_2 x}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x} \ln 2}$

Приведем дроби к общему знаменателю $2\sqrt{x} \ln 2$:

$f'(x) = \frac{(\log_2 x) \cdot \ln 2 + 1 \cdot 2}{2\sqrt{x} \ln 2} = \frac{\log_2 x \ln 2 + 2}{2\sqrt{x} \ln 2}$

Используя формулу перехода к новому основанию логарифма $\log_b a = \frac{\ln a}{\ln b}$, имеем $\log_2 x = \frac{\ln x}{\ln 2}$, откуда $\log_2 x \cdot \ln 2 = \ln x$.

$f'(x) = \frac{\ln x + 2}{2\sqrt{x} \ln 2}$

Ответ: $f'(x) = \frac{\ln x + 2}{2\sqrt{x} \ln 2}$

3)

Дано:

$f(x) = x^2 \cdot e^{5x}$

Найти:

$f'(x)$

Решение:

Функция является произведением $u(x) = x^2$ и $v(x) = e^{5x}$. Используем правило дифференцирования произведения:

$(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'$

Найдем производные:

$u'(x) = (x^2)' = 2x$

Для нахождения производной $v(x) = e^{5x}$ используем правило дифференцирования сложной функции. Производная внешней функции $(e^t)' = e^t$ и внутренней функции $(5x)' = 5$.

$v'(x) = (e^{5x})' = e^{5x} \cdot (5x)' = e^{5x} \cdot 5 = 5e^{5x}$

Подставляем в формулу:

$f'(x) = 2x \cdot e^{5x} + x^2 \cdot 5e^{5x}$

Упростим, вынеся за скобки общий множитель $x e^{5x}$:

$f'(x) = xe^{5x}(2 + 5x)$

Ответ: $f'(x) = xe^{5x}(2 + 5x)$

4)

Дано:

$f(x) = x^2 \cdot 2^{-x}$

Найти:

$f'(x)$

Решение:

Функция является произведением $u(x) = x^2$ и $v(x) = 2^{-x}$. Используем правило дифференцирования произведения:

$(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'$

Найдем производные:

$u'(x) = (x^2)' = 2x$

Для нахождения производной $v(x) = 2^{-x}$ используем правило дифференцирования сложной функции. Производная внешней показательной функции $(2^t)' = 2^t \ln 2$ и внутренней функции $(-x)' = -1$.

$v'(x) = (2^{-x})' = 2^{-x} \ln 2 \cdot (-x)' = 2^{-x} \ln 2 \cdot (-1) = -2^{-x} \ln 2$

Подставляем в формулу:

$f'(x) = 2x \cdot 2^{-x} + x^2 \cdot (-2^{-x} \ln 2)$

$f'(x) = 2x \cdot 2^{-x} - x^2 \cdot 2^{-x} \ln 2$

Вынесем за скобки общий множитель $x \cdot 2^{-x}$:

$f'(x) = x \cdot 2^{-x}(2 - x \ln 2)$

Ответ: $f'(x) = x \cdot 2^{-x}(2 - x \ln 2)$