Номер 201, страница 97 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

201. Вычислите интеграл:

1) $\int_{0}^{1} 2^{x} dx;$

2) $\int_{0}^{1} e^{x} dx;$

3) $\int_{1}^{3} 2^{x} dx;$

4) $\int_{-2}^{-1} 3^{x} dx .$

1) Вычислим определенный интеграл $ \int_{0}^{1} 2^x dx $.
Для решения воспользуемся основной теоремой анализа (формулой Ньютона-Лейбница): $ \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) $, где $ F(x) $ — любая первообразная для функции $ f(x) $.
Первообразная для показательной функции $ f(x) = a^x $ находится по формуле $ F(x) = \frac{a^x}{\ln a} $. В данном случае $ a=2 $, поэтому первообразная для $ 2^x $ равна $ \frac{2^x}{\ln 2} $.
Теперь подставим пределы интегрирования:
$ \int_{0}^{1} 2^x dx = \left[ \frac{2^x}{\ln 2} \right]_{0}^{1} = \frac{2^1}{\ln 2} - \frac{2^0}{\ln 2} = \frac{2 - 1}{\ln 2} = \frac{1}{\ln 2} $.
Ответ: $ \frac{1}{\ln 2} $.

2) Вычислим интеграл $ \int_{0}^{1} e^x dx $.
Это частный случай показательной функции, где основание $ a=e $. Первообразная для функции $ f(x) = e^x $ является сама функция $ F(x) = e^x $.
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$ \int_{0}^{1} e^x dx = \left[ e^x \right]_{0}^{1} = e^1 - e^0 = e - 1 $ (поскольку любое число в степени 0 равно 1).
Ответ: $ e - 1 $.

3) Вычислим интеграл $ \int_{1}^{3} 2^x dx $.
Аналогично пункту 1, используем первообразную для $ 2^x $, которая равна $ \frac{2^x}{\ln 2} $.
Подставляем пределы интегрирования от 1 до 3:
$ \int_{1}^{3} 2^x dx = \left[ \frac{2^x}{\ln 2} \right]_{1}^{3} = \frac{2^3}{\ln 2} - \frac{2^1}{\ln 2} = \frac{8 - 2}{\ln 2} = \frac{6}{\ln 2} $.
Ответ: $ \frac{6}{\ln 2} $.

4) Вычислим интеграл $ \int_{-2}^{-1} 3^x dx $.
В этом случае основание показательной функции $ a=3 $. Первообразная для $ 3^x $ равна $ \frac{3^x}{\ln 3} $.
Подставляем пределы интегрирования от -2 до -1:
$ \int_{-2}^{-1} 3^x dx = \left[ \frac{3^x}{\ln 3} \right]_{-2}^{-1} = \frac{3^{-1}}{\ln 3} - \frac{3^{-2}}{\ln 3} = \frac{1}{\ln 3} (3^{-1} - 3^{-2}) $.
Упростим выражение в скобках, используя свойство степени $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $: $ 3^{-1} = \frac{1}{3} $ и $ 3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9} $.
Тогда разность в скобках равна $ \frac{1}{3} - \frac{1}{9} = \frac{3}{9} - \frac{1}{9} = \frac{2}{9} $.
Таким образом, окончательный результат: $ \frac{1}{\ln 3} \cdot \frac{2}{9} = \frac{2}{9\ln 3} $.
Ответ: $ \frac{2}{9\ln 3} $.