Номер 206, страница 98 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

206. Найдите точки экстремума функции $y = f(x)$:

1) $f(x) = e^x - x;$ 2) $f(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^{2x} - \left(\frac{1}{2}\right)^x.$

1) $f(x) = e^x - x$

Решение

Для нахождения точек экстремума функции необходимо найти ее производную, приравнять ее к нулю, чтобы найти критические точки, а затем исследовать знак производной в окрестности этих точек.

1. Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$, так как и показательная функция $e^x$, и линейная функция $x$ определены для всех действительных чисел.

2. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (e^x - x)' = (e^x)' - (x)' = e^x - 1$

3. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$f'(x) = 0$

$e^x - 1 = 0$

$e^x = 1$

Так как $1 = e^0$, получаем:

$x = 0$

Мы получили одну критическую точку $x=0$.

4. Исследуем знак производной $f'(x) = e^x - 1$ на интервалах, на которые критическая точка разбивает область определения, то есть на $(-\infty, 0)$ и $(0, +\infty)$.

- При $x \in (-\infty, 0)$, например при $x = -1$, значение производной $f'(-1) = e^{-1} - 1 = \frac{1}{e} - 1 < 0$. Следовательно, на этом интервале функция $f(x)$ убывает.

- При $x \in (0, +\infty)$, например при $x = 1$, значение производной $f'(1) = e^1 - 1 = e - 1 > 0$. Следовательно, на этом интервале функция $f(x)$ возрастает.

5. В точке $x=0$ производная меняет знак с «-» на «+». Согласно достаточному условию экстремума, точка $x=0$ является точкой минимума.

Ответ: $x_{min} = 0$.

2) $f(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^{2x} - \left(\frac{1}{2}\right)^x$

Решение

Алгоритм решения аналогичен предыдущему пункту.

1. Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$, так как показательная функция определена для всех действительных чисел.

2. Найдем производную функции $f(x)$. Используем правило дифференцирования сложной функции $(a^u)' = a^u \ln a \cdot u'$.

$f'(x) = \left(\left(\frac{1}{2}\right)^{2x} - \left(\frac{1}{2}\right)^x\right)' = \left(\frac{1}{2}\right)^{2x} \ln\left(\frac{1}{2}\right) \cdot (2x)' - \left(\frac{1}{2}\right)^x \ln\left(\frac{1}{2}\right) \cdot (x)'$

$f'(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^{2x} \ln\left(\frac{1}{2}\right) \cdot 2 - \left(\frac{1}{2}\right)^x \ln\left(\frac{1}{2}\right)$

Вынесем общий множитель $\ln\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right)^x$ за скобки:

$f'(x) = \ln\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right)^x \left(2\left(\frac{1}{2}\right)^x - 1\right)$

3. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$f'(x) = 0$

$\ln\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right)^x \left(2\left(\frac{1}{2}\right)^x - 1\right) = 0$

Поскольку $\ln\left(\frac{1}{2}\right) = -\ln 2 \neq 0$ и $\left(\frac{1}{2}\right)^x > 0$ для любого $x$, то равенство возможно только если выражение в скобках равно нулю:

$2\left(\frac{1}{2}\right)^x - 1 = 0$

$2\left(\frac{1}{2}\right)^x = 1$

$\left(\frac{1}{2}\right)^x = \frac{1}{2}$

$x = 1$

Мы получили одну критическую точку $x=1$.

4. Исследуем знак производной $f'(x)$ на интервалах $(-\infty, 1)$ и $(1, +\infty)$. Знак производной определяется знаком произведения $\ln\left(\frac{1}{2}\right) \cdot \left(2\left(\frac{1}{2}\right)^x - 1\right)$. Так как $\ln\left(\frac{1}{2}\right) < 0$, знак производной противоположен знаку выражения $2\left(\frac{1}{2}\right)^x - 1$.

- При $x \in (-\infty, 1)$, например при $x = 0$, выражение $2\left(\frac{1}{2}\right)^0 - 1 = 2 \cdot 1 - 1 = 1 > 0$. Значит, $f'(x) < 0$, и функция $f(x)$ убывает на этом интервале.

- При $x \in (1, +\infty)$, например при $x = 2$, выражение $2\left(\frac{1}{2}\right)^2 - 1 = 2 \cdot \frac{1}{4} - 1 = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2} < 0$. Значит, $f'(x) > 0$, и функция $f(x)$ возрастает на этом интервале.

5. В точке $x=1$ производная меняет знак с «-» на «+». Следовательно, точка $x=1$ является точкой минимума.

Ответ: $x_{min} = 1$.