Номер 205, страница 98 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

205. Найдите промежутки возрастания и убывания функции $y=f(x)$:

1) $f(x) = e^x - ex,$ 2) $f(x) = 2xe^x.$

1) $f(x) = e^x - ex$
Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции, необходимо исследовать знак её производной.

Решение:
1. Находим область определения функции. Функция $f(x) = e^x - ex$ определена для всех действительных чисел $x$, то есть $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (e^x - ex)' = (e^x)' - (ex)' = e^x - e$.

3. Находим критические точки функции, то есть точки, в которых производная равна нулю или не существует. Производная $f'(x) = e^x - e$ существует для всех $x$.
Приравняем производную к нулю:
$f'(x) = 0$
$e^x - e = 0$
$e^x = e$
$x = 1$
Таким образом, у нас есть одна критическая точка $x=1$.

4. Исследуем знак производной на интервалах, на которые критическая точка $x=1$ разбивает область определения $(-\infty; +\infty)$.
- Для интервала $(-\infty; 1)$, возьмем пробную точку, например, $x=0$.
$f'(0) = e^0 - e = 1 - e$. Поскольку $e \approx 2.718$, то $1 - e < 0$. Значит, на этом интервале производная отрицательна, и функция $f(x)$ убывает.
- Для интервала $(1; +\infty)$, возьмем пробную точку, например, $x=2$.
$f'(2) = e^2 - e = e(e-1)$. Поскольку $e > 1$, то $e-1 > 0$, и, следовательно, $e(e-1) > 0$. Значит, на этом интервале производная положительна, и функция $f(x)$ возрастает.

Так как функция непрерывна в точке $x=1$, эту точку можно включать в промежутки.
Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; 1]$ и возрастает на промежутке $[1; +\infty)$.

2) $f(x) = 2xe^x$
Для нахождения промежутков возрастания и убывания этой функции также воспользуемся анализом знака её производной.

Решение:
1. Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим производную функции $f(x)$, используя правило производной произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$:
$f'(x) = (2xe^x)' = (2x)'e^x + 2x(e^x)' = 2e^x + 2xe^x = 2e^x(1+x)$.

3. Находим критические точки. Производная $f'(x) = 2e^x(1+x)$ существует для всех $x$.
Приравняем производную к нулю:
$f'(x) = 0$
$2e^x(1+x) = 0$
Поскольку $e^x > 0$ для любого действительного $x$, то уравнение равносильно следующему:
$1+x = 0$
$x = -1$
Критическая точка — $x=-1$.

4. Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty; -1)$ и $(-1; +\infty)$. Знак $f'(x) = 2e^x(1+x)$ совпадает со знаком выражения $(1+x)$, так как $2e^x$ всегда положительно.
- Для интервала $(-\infty; -1)$, возьмем пробную точку, например, $x=-2$.
$1+x = 1 + (-2) = -1 < 0$. Следовательно, $f'(x) < 0$, и функция $f(x)$ убывает на этом интервале.
- Для интервала $(-1; +\infty)$, возьмем пробную точку, например, $x=0$.
$1+x = 1 + 0 = 1 > 0$. Следовательно, $f'(x) > 0$, и функция $f(x)$ возрастает на этом интервале.

Включая точку $x=-1$ в промежутки (так как функция в ней непрерывна), получаем результат.
Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; -1]$ и возрастает на промежутке $[-1; +\infty)$.