Номер 198, страница 97 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

198. 1) $f(x) = e^x \cdot \sin x,$

2) $y = e^{3x} + 2 \cdot 2^x;$

3) $f(x) = x^2 e^{3x},$

4) $f(x) = 5 \cdot e^x \cos x.$

1) $f(x) = e^x \cdot \sin x$

Дано:

Функция $f(x) = e^x \cdot \sin x$.

Найти:

Производную функции $f'(x)$.

Решение:

Для нахождения производной произведения двух функций $u(x)$ и $v(x)$ воспользуемся правилом дифференцирования произведения: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

В нашем случае, $u(x) = e^x$ и $v(x) = \sin x$.

Найдем производные этих функций:

$u'(x) = (e^x)' = e^x$

$v'(x) = (\sin x)' = \cos x$

Теперь подставим найденные производные в формулу:

$f'(x) = (e^x \cdot \sin x)' = (e^x)' \cdot \sin x + e^x \cdot (\sin x)' = e^x \sin x + e^x \cos x$.

Можно вынести общий множитель $e^x$ за скобки:

$f'(x) = e^x (\sin x + \cos x)$.

Ответ: $f'(x) = e^x (\sin x + \cos x)$.

2) $y = e^{3x} + 2 \cdot 2^x$

Дано:

Функция $y = e^{3x} + 2 \cdot 2^x$.

Найти:

Производную функции $y'$.

Решение:

Производная суммы функций равна сумме производных этих функций: $(u + v)' = u' + v'$.

Найдем производную первого слагаемого $e^{3x}$. Это сложная функция, поэтому используем правило дифференцирования сложной функции $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$, или в виде $(e^u)'=e^u \cdot u'$.

$(e^{3x})' = e^{3x} \cdot (3x)' = e^{3x} \cdot 3 = 3e^{3x}$.

Найдем производную второго слагаемого $2 \cdot 2^x$. Используем правило вынесения константы за знак производной и формулу для производной показательной функции $(a^x)'=a^x \ln a$.

$(2 \cdot 2^x)' = 2 \cdot (2^x)' = 2 \cdot 2^x \ln 2$.

Складываем полученные производные:

$y' = (e^{3x})' + (2 \cdot 2^x)' = 3e^{3x} + 2 \cdot 2^x \ln 2$.

Ответ: $y' = 3e^{3x} + 2 \cdot 2^x \ln 2$.

3) $f(x) = x^2 e^{3x}$

Дано:

Функция $f(x) = x^2 e^{3x}$.

Найти:

Производную функции $f'(x)$.

Решение:

Используем правило дифференцирования произведения: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Здесь $u(x) = x^2$ и $v(x) = e^{3x}$.

Найдем производные этих функций:

$u'(x) = (x^2)' = 2x$.

$v'(x) = (e^{3x})' = e^{3x} \cdot (3x)' = 3e^{3x}$ (производная сложной функции).

Подставляем в формулу произведения:

$f'(x) = (x^2)' \cdot e^{3x} + x^2 \cdot (e^{3x})' = 2x \cdot e^{3x} + x^2 \cdot 3e^{3x}$.

Вынесем общий множитель $x e^{3x}$ за скобки для упрощения выражения:

$f'(x) = x e^{3x} (2 + 3x)$.

Ответ: $f'(x) = x e^{3x} (2 + 3x)$.

4) $f(x) = 5 \cdot e^x \cdot \cos x$

Дано:

Функция $f(x) = 5 \cdot e^x \cdot \cos x$.

Найти:

Производную функции $f'(x)$.

Решение:

Вынесем константу 5 за знак производной: $f'(x) = 5 \cdot (e^x \cdot \cos x)'$.

Далее применим правило дифференцирования произведения для $e^x \cos x$. Пусть $u(x) = e^x$ и $v(x) = \cos x$.

$u'(x) = (e^x)' = e^x$.

$v'(x) = (\cos x)' = -\sin x$.

Применяем формулу $(u \cdot v)' = u'v + uv'$:

$(e^x \cos x)' = (e^x)' \cos x + e^x (\cos x)' = e^x \cos x + e^x (-\sin x) = e^x (\cos x - \sin x)$.

Теперь умножим результат на константу 5:

$f'(x) = 5 \cdot e^x (\cos x - \sin x)$.

Ответ: $f'(x) = 5e^x(\cos x - \sin x)$.