Номер 193, страница 93 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

193. Найдите множество значений функции $y = f(x)$:

1) $f(x) = -\log_5(x + 1)$;

2) $f(x) = \log_{\frac{1}{3}}(1 + x) + 5$;

3) $f(x) = |\log_7(x + 1)|$;

4) $f(x) = |\lg x| + 6$.

1) $f(x) = -\log_{5}(x + 1)$

Множеством значений для любой логарифмической функции вида $y = \log_{a}(x)$, где $a > 0$ и $a \neq 1$, является множество всех действительных чисел, то есть $(-\infty; +\infty)$. Функция $y = \log_{5}(x + 1)$ является результатом сдвига графика функции $y = \log_{5}(x)$ на 1 единицу влево вдоль оси абсцисс. Такой сдвиг не влияет на множество значений, поэтому оно остается $(-\infty; +\infty)$. Функция $f(x) = -\log_{5}(x + 1)$ является результатом симметричного отражения графика функции $y = \log_{5}(x + 1)$ относительно оси абсцисс. Отражение множества $(-\infty; +\infty)$ относительно нуля оставляет его без изменений. Таким образом, множество значений данной функции — это все действительные числа.

Ответ: $(-\infty; +\infty)$

2) $f(x) = \log_{\frac{1}{3}}(1 + x) + 5$

Рассмотрим функцию $y = \log_{\frac{1}{3}}(t)$. Множество значений логарифмической функции — это множество всех действительных чисел, то есть $(-\infty; +\infty)$. Замена аргумента $t$ на $1+x$ соответствует сдвигу графика вдоль оси $Ox$, что не меняет множество значений функции. Таким образом, множество значений функции $y = \log_{\frac{1}{3}}(1 + x)$ также является $(-\infty; +\infty)$. Прибавление константы 5 ко всей функции, то есть $f(x) = \log_{\frac{1}{3}}(1 + x) + 5$, соответствует сдвигу графика на 5 единиц вверх вдоль оси ординат. Если к каждому числу из множества $(-\infty; +\infty)$ прибавить 5, множество останется прежним. Следовательно, множество значений функции $f(x)$ — все действительные числа.

Ответ: $(-\infty; +\infty)$

3) $f(x) = |\log_{7}(x + 1)|$

Сначала определим множество значений функции $g(x) = \log_{7}(x + 1)$. Как и в предыдущих случаях, множество значений этой логарифмической функции — это все действительные числа, то есть $E(g) = (-\infty; +\infty)$. Функция $f(x)$ является абсолютным значением (модулем) функции $g(x)$. Модуль любого действительного числа является неотрицательным числом. Поскольку $g(x)$ может принимать любое значение из интервала $(-\infty; +\infty)$, то её модуль $f(x) = |g(x)|$ будет принимать все неотрицательные значения. Наименьшее значение равно 0 (когда $\log_{7}(x + 1) = 0$, то есть при $x=0$), а верхнего предела нет. Таким образом, множество значений функции $f(x)$ — это луч $[0; +\infty)$.

Ответ: $[0; +\infty)$

4) $f(x) = |\lg x| + 6$

Рассмотрим функцию $g(x) = |\lg x|$. Множество значений функции $y = \lg x$ (десятичный логарифм) — это $(-\infty; +\infty)$. При взятии модуля, все значения становятся неотрицательными. Таким образом, множество значений функции $g(x) = |\lg x|$ — это $[0; +\infty)$. Наименьшее значение $g(x)$ равно 0. Функция $f(x) = g(x) + 6 = |\lg x| + 6$ получается из $g(x)$ сдвигом на 6 единиц вверх по оси ординат. Следовательно, множество значений функции $f(x)$ получается сдвигом множества $[0; +\infty)$ на 6 вверх. Нижняя граница множества станет $0 + 6 = 6$. Верхняя граница останется $+\infty$. Таким образом, множество значений функции $f(x)$ — это луч $[6; +\infty)$.

Ответ: $[6; +\infty)$