Номер 194, страница 93 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

194. Постройте график функции $y = f(x)$ и перечислите ее свойства:

1) $f(x) = \log_4 (x+3);$

2) $f(x) = -\log_2 x + 2;$

3) $f(x) = \log_{\frac{1}{3}} (x - 1);$

4) $y = \log_{0.5} x - 3.$

1) $f(x) = \log_{4}(x+3)$

Решение:
График функции $f(x) = \log_{4}(x+3)$ получается из графика базовой логарифмической функции $y = \log_{4}x$ путем сдвига влево вдоль оси Ox на 3 единицы.
Найдем несколько контрольных точек для построения графика:
При $x = -2$, $y = \log_{4}(-2+3) = \log_{4}1 = 0$.
При $x = 1$, $y = \log_{4}(1+3) = \log_{4}4 = 1$.
При $x = -2.75$, $y = \log_{4}(-2.75+3) = \log_{4}(0.25) = \log_{4}(\frac{1}{4}) = -1$.
Вертикальная асимптота графика определяется условием $x+3=0$, то есть $x=-3$.

Свойства функции:
1. Область определения: $x+3 > 0 \Rightarrow x > -3$. $D(f) = (-3; +\infty)$.
2. Область значений: $E(f) = (-\infty; +\infty)$.
3. Нули функции: $f(x)=0$ при $\log_{4}(x+3)=0$, что дает $x+3=1$, откуда $x=-2$.
4. Промежутки знакопостоянства: $f(x)>0$ при $x > -2$; $f(x)<0$ при $-3 < x < -2$.
5. Монотонность: функция является возрастающей на всей области определения, так как основание логарифма $4>1$.
6. Четность, нечетность: функция общего вида, так как ее область определения несимметрична относительно нуля.
7. Асимптоты: вертикальная асимптота $x=-3$.

Ответ: График функции $f(x) = \log_{4}(x+3)$ — это логарифмическая кривая, полученная сдвигом графика $y=\log_4 x$ на 3 единицы влево. Она проходит через точки $(-2, 0)$ и $(1, 1)$, имеет вертикальную асимптоту $x=-3$. Функция возрастает на всей области определения $(-3; +\infty)$, область значений $(-\infty; +\infty)$.

2) $f(x) = -\log_{2}x + 2$

Решение:
График функции $f(x) = -\log_{2}x + 2$ получается из графика $y = \log_{2}x$ следующими преобразованиями:1. Отражение относительно оси Ox (получаем $y = -\log_{2}x$).2. Сдвиг вверх вдоль оси Oy на 2 единицы.
Найдем несколько контрольных точек:
При $x = 1$, $y = -\log_{2}1 + 2 = 0 + 2 = 2$.
При $x = 2$, $y = -\log_{2}2 + 2 = -1 + 2 = 1$.
При $x = 4$, $y = -\log_{2}4 + 2 = -2 + 2 = 0$.
Вертикальная асимптота: $x=0$.

Свойства функции:
1. Область определения: $x > 0$. $D(f) = (0; +\infty)$.
2. Область значений: $E(f) = (-\infty; +\infty)$.
3. Нули функции: $f(x)=0$ при $-\log_{2}x + 2 = 0$, $\log_{2}x = 2$, откуда $x=4$.
4. Промежутки знакопостоянства: $f(x)>0$ при $0 < x < 4$; $f(x)<0$ при $x > 4$.
5. Монотонность: функция является убывающей на всей области определения, так как является суммой убывающей функции $y=-\log_2 x$ и константы.
6. Четность, нечетность: функция общего вида.
7. Асимптоты: вертикальная асимптота $x=0$.

Ответ: График функции $f(x) = -\log_{2}x + 2$ — это убывающая логарифмическая кривая, проходящая через точки $(1, 2)$, $(2, 1)$ и $(4, 0)$. Вертикальная асимптота $x=0$. Область определения $(0; +\infty)$, область значений $(-\infty; +\infty)$.

3) $f(x) = \log_{\frac{1}{3}}(x-1)$

Решение:
График функции $f(x) = \log_{\frac{1}{3}}(x-1)$ получается из графика $y = \log_{\frac{1}{3}}x$ сдвигом вправо вдоль оси Ox на 1 единицу. Так как основание логарифма $\frac{1}{3} < 1$, базовая функция является убывающей.
Контрольные точки:
При $x = 2$, $y = \log_{\frac{1}{3}}(2-1) = \log_{\frac{1}{3}}1 = 0$.
При $x = 4$, $y = \log_{\frac{1}{3}}(4-1) = \log_{\frac{1}{3}}3 = -1$.
При $x = \frac{4}{3}$, $y = \log_{\frac{1}{3}}(\frac{4}{3}-1) = \log_{\frac{1}{3}}(\frac{1}{3}) = 1$.
Вертикальная асимптота: $x-1=0 \Rightarrow x=1$.

Свойства функции:
1. Область определения: $x-1 > 0 \Rightarrow x > 1$. $D(f) = (1; +\infty)$.
2. Область значений: $E(f) = (-\infty; +\infty)$.
3. Нули функции: $f(x)=0$ при $\log_{\frac{1}{3}}(x-1)=0$, $x-1=1$, откуда $x=2$.
4. Промежутки знакопостоянства: $f(x)>0$ при $1 < x < 2$; $f(x)<0$ при $x > 2$.
5. Монотонность: функция является убывающей на всей области определения, так как основание логарифма $0 < \frac{1}{3} < 1$.
6. Четность, нечетность: функция общего вида.
7. Асимптоты: вертикальная асимптота $x=1$.

Ответ: График функции $f(x) = \log_{\frac{1}{3}}(x-1)$ — это убывающая логарифмическая кривая со сдвигом на 1 вправо. Она проходит через точки $(2, 0)$ и $(4, -1)$, имеет вертикальную асимптоту $x=1$. Область определения $(1; +\infty)$, область значений $(-\infty; +\infty)$.

4) $y = \log_{0.5}x - 3$

Решение:
График функции $y = \log_{0.5}x - 3$ получается из графика $y = \log_{0.5}x$ сдвигом вниз вдоль оси Oy на 3 единицы. Так как основание $0.5 < 1$, базовая функция убывающая.
Контрольные точки:
При $x = 1$, $y = \log_{0.5}1 - 3 = 0 - 3 = -3$.
При $x = 2$, $y = \log_{0.5}2 - 3 = -1 - 3 = -4$.
При $x = 0.5$, $y = \log_{0.5}0.5 - 3 = 1 - 3 = -2$.
При $x = 0.125$, $y = \log_{0.5}0.125 - 3 = \log_{0.5}(0.5^3) - 3 = 3-3=0$.
Вертикальная асимптота: $x=0$.

Свойства функции:
1. Область определения: $x > 0$. $D(f) = (0; +\infty)$.
2. Область значений: $E(f) = (-\infty; +\infty)$.
3. Нули функции: $y=0$ при $\log_{0.5}x - 3 = 0$, $\log_{0.5}x = 3$, откуда $x=0.5^3=0.125$.
4. Промежутки знакопостоянства: $y>0$ при $0 < x < 0.125$; $y<0$ при $x > 0.125$.
5. Монотонность: функция является убывающей на всей области определения, так как основание $0.5 < 1$.
6. Четность, нечетность: функция общего вида.
7. Асимптоты: вертикальная асимптота $x=0$.

Ответ: График функции $y = \log_{0.5}x - 3$ — это убывающая логарифмическая кривая, сдвинутая на 3 единицы вниз. Она проходит через точки $(1, -3)$, $(2, -4)$ и $(0.125, 0)$, имеет вертикальную асимптоту $x=0$. Область определения $(0; +\infty)$, область значений $(-\infty; +\infty)$.