Номер 200, страница 97 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

200. Напишите общий вид первообразной для функции $y=f(x)$:

1) $f(x) = 3e^x$;

2) $f(x) = 2 \cdot 5^x$;

3) $f(x) = 7 \cdot 4^x$;

4) $f(x) = 1 + 2^x$.

1) $f(x) = 3e^x$

Решение

Общий вид первообразной $F(x)$ для функции $f(x)$ находится путем вычисления неопределенного интеграла. Для нахождения первообразной для функции $f(x) = 3e^x$ воспользуемся правилом вынесения константы за знак интеграла и табличной первообразной для $e^x$.

$F(x) = \int 3e^x dx = 3 \int e^x dx = 3e^x + C$,

где $C$ – произвольная постоянная интегрирования.

Ответ: $F(x) = 3e^x + C$.

2) $f(x) = 2 \cdot 5^x$

Решение

Для нахождения первообразной для функции $f(x) = 2 \cdot 5^x$ воспользуемся правилом вынесения константы за знак интеграла и табличной первообразной для показательной функции $\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a}$.

$F(x) = \int 2 \cdot 5^x dx = 2 \int 5^x dx = 2 \cdot \frac{5^x}{\ln 5} + C$,

где $C$ – произвольная постоянная интегрирования.

Ответ: $F(x) = \frac{2 \cdot 5^x}{\ln 5} + C$.

3) $f(x) = 7 \cdot 4^x$

Решение

Для нахождения первообразной для функции $f(x) = 7 \cdot 4^x$ поступаем аналогично предыдущему пункту. Используем вынесение константы за знак интеграла и формулу первообразной для показательной функции.

$F(x) = \int 7 \cdot 4^x dx = 7 \int 4^x dx = 7 \cdot \frac{4^x}{\ln 4} + C$,

где $C$ – произвольная постоянная интегрирования.

Ответ: $F(x) = \frac{7 \cdot 4^x}{\ln 4} + C$.

4) $f(x) = 1 + 2^x$

Решение

Для нахождения первообразной для функции $f(x) = 1 + 2^x$ используем правило интегрирования суммы, которое гласит, что интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций.

$F(x) = \int (1 + 2^x) dx = \int 1 dx + \int 2^x dx$.

Первообразная для константы $1$ равна $x$, а первообразная для $2^x$ находится по формуле для показательной функции:

$F(x) = x + \frac{2^x}{\ln 2} + C$,

где $C$ – произвольная постоянная интегрирования.

Ответ: $F(x) = x + \frac{2^x}{\ln 2} + C$.