Страница 97 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

1. Почему формула производной показательной функции $y = a^x$ имеет частный случай? Ответ обоснуйте.

2. Какое свойство логарифма используется при выведении формулы производной логарифмической функции?

1. Почему формула производной показательной функции y = a^x имеет частный случай? Ответ обоснуйте.

Общая формула для производной показательной функции $y = a^x$ (где $a > 0, a \neq 1$) имеет вид:

$y' = (a^x)' = a^x \ln a$

Эта формула имеет важный частный случай, когда основание степени $a$ равно числу Эйлера $e$ ($e \approx 2.718...$). В этом случае показательная функция принимает вид $y = e^x$.

Подставим $a = e$ в общую формулу производной:

$y' = (e^x)' = e^x \ln e$

По определению натурального логарифма ($\ln$), это логарифм по основанию $e$. Следовательно, $\ln e = \log_e e = 1$.

Таким образом, формула производной для $y = e^x$ упрощается:

$y' = e^x \cdot 1 = e^x$

Это уникальное свойство, когда производная функции равна самой функции, делает функцию $y = e^x$ (экспоненту) особенной. Она играет фундаментальную роль в математическом анализе, дифференциальных уравнениях и многих прикладных науках. Именно поэтому ее рассматривают как частный, но чрезвычайно важный случай.

Ответ: Частный случай возникает при основании $a=e$, так как натуральный логарифм $\ln e = 1$, и формула производной $(a^x)' = a^x \ln a$ упрощается до $(e^x)' = e^x$. Это означает, что функция $e^x$ равна своей производной.

2. Какое свойство логарифма используется при выведении формулы производной логарифмической функции?

При выведении формулы производной логарифмической функции $y = \log_a x$ (где $a > 0, a \neq 1$) ключевым свойством логарифма, которое используется, является формула перехода к новому основанию.

Эта формула позволяет выразить логарифм по любому основанию $a$ через логарифм по другому основанию $b$. Чаще всего для целей дифференцирования переходят к основанию $e$, то есть к натуральному логарифму:

$\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}$

Используя это свойство, мы можем переписать исходную функцию:

$y = \frac{\ln x}{\ln a}$

Теперь найдем производную. Заметим, что $\ln a$ является константой, поэтому мы можем вынести множитель $\frac{1}{\ln a}$ за знак производной:

$y' = (\log_a x)' = \left(\frac{\ln x}{\ln a}\right)' = \frac{1}{\ln a} \cdot (\ln x)'$

Так как производная натурального логарифма $(\ln x)' = \frac{1}{x}$ является известной, мы получаем конечную формулу:

$y' = \frac{1}{\ln a} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x \ln a}$

Таким образом, использование формулы перехода к новому основанию сводит задачу нахождения производной логарифма с произвольным основанием к уже известной задаче нахождения производной натурального логарифма.

Ответ: При выведении формулы производной логарифмической функции используется свойство перехода к новому основанию логарифма: $\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}$.

Найдите производные функции $y = f(x)$ (197–199):

197.1) $f(x) = 3e^x + 3$;

2) $f(x) = 5x + 3e^x$;

3) $f(x) = 5 - \frac{1}{2}e^x$;

4) $f(x) = 5 \cdot e^{-x}$;

1) f(x) = 3e^x + 3;
Решение:
Для нахождения производной функции используем правило дифференцирования суммы и табличные производные.
Производная суммы функций равна сумме их производных: $(u+v)' = u' + v'$.
$f'(x) = (3e^x + 3)' = (3e^x)' + (3)'$.
Используем правило вынесения константы за знак производной $(c \cdot u)' = c \cdot u'$, производную экспоненциальной функции $(e^x)' = e^x$ и производную константы $(c)' = 0$.
$(3e^x)' = 3 \cdot (e^x)' = 3e^x$.
$(3)' = 0$.
Следовательно, производная функции равна:
$f'(x) = 3e^x + 0 = 3e^x$.
Ответ: $3e^x$.

2) f(x) = 5x + 3e^x;
Решение:
Для нахождения производной функции используем правило дифференцирования суммы и табличные производные.
$f'(x) = (5x + 3e^x)' = (5x)' + (3e^x)'$.
Находим производную каждого слагаемого:
Производная степенной функции: $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$. Для $5x$ производная будет $(5x)' = 5 \cdot 1 \cdot x^{1-1} = 5$.
Производная $3e^x$ равна $3e^x$, как было показано в предыдущем пункте.
Складываем полученные производные:
$f'(x) = 5 + 3e^x$.
Ответ: $5 + 3e^x$.

3) f(x) = 5 - ¹/₂e^x;
Решение:
Для нахождения производной функции используем правило дифференцирования разности $(u-v)' = u' - v'$.
$f'(x) = (5 - \frac{1}{2}e^x)' = (5)' - (\frac{1}{2}e^x)'$.
Производная константы 5 равна нулю: $(5)' = 0$.
Находим производную второго слагаемого, вынося константу $\frac{1}{2}$ за знак производной:
$(\frac{1}{2}e^x)' = \frac{1}{2} \cdot (e^x)' = \frac{1}{2}e^x$.
Таким образом, итоговая производная:
$f'(x) = 0 - \frac{1}{2}e^x = -\frac{1}{2}e^x$.
Ответ: $-\frac{1}{2}e^x$.

4) f(x) = 5 · e^-x.
Решение:
Для нахождения производной данной функции используем правило вынесения константы и правило дифференцирования сложной функции (цепное правило).
$f'(x) = (5 \cdot e^{-x})' = 5 \cdot (e^{-x})'$.
Для нахождения производной $e^{-x}$ применяем правило $(e^{u(x)})' = e^{u(x)} \cdot u'(x)$.
В нашем случае $u(x) = -x$, и производная $u'(x) = (-x)' = -1$.
Тогда $(e^{-x})' = e^{-x} \cdot (-1) = -e^{-x}$.
Подставляем это в исходное выражение для производной:
$f'(x) = 5 \cdot (-e^{-x}) = -5e^{-x}$.
Ответ: $-5e^{-x}$.

198. 1) $f(x) = e^x \cdot \sin x,$

2) $y = e^{3x} + 2 \cdot 2^x;$

3) $f(x) = x^2 e^{3x},$

4) $f(x) = 5 \cdot e^x \cos x.$

1) $f(x) = e^x \cdot \sin x$

Дано:

Функция $f(x) = e^x \cdot \sin x$.

Найти:

Производную функции $f'(x)$.

Решение:

Для нахождения производной произведения двух функций $u(x)$ и $v(x)$ воспользуемся правилом дифференцирования произведения: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

В нашем случае, $u(x) = e^x$ и $v(x) = \sin x$.

Найдем производные этих функций:

$u'(x) = (e^x)' = e^x$

$v'(x) = (\sin x)' = \cos x$

Теперь подставим найденные производные в формулу:

$f'(x) = (e^x \cdot \sin x)' = (e^x)' \cdot \sin x + e^x \cdot (\sin x)' = e^x \sin x + e^x \cos x$.

Можно вынести общий множитель $e^x$ за скобки:

$f'(x) = e^x (\sin x + \cos x)$.

Ответ: $f'(x) = e^x (\sin x + \cos x)$.

2) $y = e^{3x} + 2 \cdot 2^x$

Дано:

Функция $y = e^{3x} + 2 \cdot 2^x$.

Найти:

Производную функции $y'$.

Решение:

Производная суммы функций равна сумме производных этих функций: $(u + v)' = u' + v'$.

Найдем производную первого слагаемого $e^{3x}$. Это сложная функция, поэтому используем правило дифференцирования сложной функции $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$, или в виде $(e^u)'=e^u \cdot u'$.

$(e^{3x})' = e^{3x} \cdot (3x)' = e^{3x} \cdot 3 = 3e^{3x}$.

Найдем производную второго слагаемого $2 \cdot 2^x$. Используем правило вынесения константы за знак производной и формулу для производной показательной функции $(a^x)'=a^x \ln a$.

$(2 \cdot 2^x)' = 2 \cdot (2^x)' = 2 \cdot 2^x \ln 2$.

Складываем полученные производные:

$y' = (e^{3x})' + (2 \cdot 2^x)' = 3e^{3x} + 2 \cdot 2^x \ln 2$.

Ответ: $y' = 3e^{3x} + 2 \cdot 2^x \ln 2$.

3) $f(x) = x^2 e^{3x}$

Дано:

Функция $f(x) = x^2 e^{3x}$.

Найти:

Производную функции $f'(x)$.

Решение:

Используем правило дифференцирования произведения: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Здесь $u(x) = x^2$ и $v(x) = e^{3x}$.

Найдем производные этих функций:

$u'(x) = (x^2)' = 2x$.

$v'(x) = (e^{3x})' = e^{3x} \cdot (3x)' = 3e^{3x}$ (производная сложной функции).

Подставляем в формулу произведения:

$f'(x) = (x^2)' \cdot e^{3x} + x^2 \cdot (e^{3x})' = 2x \cdot e^{3x} + x^2 \cdot 3e^{3x}$.

Вынесем общий множитель $x e^{3x}$ за скобки для упрощения выражения:

$f'(x) = x e^{3x} (2 + 3x)$.

Ответ: $f'(x) = x e^{3x} (2 + 3x)$.

4) $f(x) = 5 \cdot e^x \cdot \cos x$

Дано:

Функция $f(x) = 5 \cdot e^x \cdot \cos x$.

Найти:

Производную функции $f'(x)$.

Решение:

Вынесем константу 5 за знак производной: $f'(x) = 5 \cdot (e^x \cdot \cos x)'$.

Далее применим правило дифференцирования произведения для $e^x \cos x$. Пусть $u(x) = e^x$ и $v(x) = \cos x$.

$u'(x) = (e^x)' = e^x$.

$v'(x) = (\cos x)' = -\sin x$.

Применяем формулу $(u \cdot v)' = u'v + uv'$:

$(e^x \cos x)' = (e^x)' \cos x + e^x (\cos x)' = e^x \cos x + e^x (-\sin x) = e^x (\cos x - \sin x)$.

Теперь умножим результат на константу 5:

$f'(x) = 5 \cdot e^x (\cos x - \sin x)$.

Ответ: $f'(x) = 5e^x(\cos x - \sin x)$.

199.

1) $f(x) = \ln x \cdot \sin x;$

2) $y = \ln x^3 + 4 \cdot 6^x;$

3) $f(x) = x^2 \ln(x^2 - 10);$

4) $f(x) = 5 \cdot \ln(x - x^3) \cdot \cos x.$

1) $f(x) = \ln x \cdot \sin x$

Решение:

Для нахождения производной этой функции необходимо использовать правило дифференцирования произведения двух функций: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = \ln x$ и $v(x) = \sin x$.

Найдем производные этих функций:

$u'(x) = (\ln x)' = \frac{1}{x}$

$v'(x) = (\sin x)' = \cos x$

Теперь подставим эти производные в формулу для производной произведения:

$f'(x) = u'v + uv' = (\ln x)' \cdot \sin x + \ln x \cdot (\sin x)' = \frac{1}{x} \cdot \sin x + \ln x \cdot \cos x$.

Ответ: $f'(x) = \frac{\sin x}{x} + \ln x \cos x$.

2) $y = \ln x^3 + 4 \cdot 6^x$

Решение:

Производная суммы равна сумме производных. Найдем производную каждого слагаемого по отдельности.

Для первого слагаемого $(\ln x^3)'$ воспользуемся свойством логарифма $\ln a^b = b \ln a$, что упрощает нахождение производной:

$(\ln x^3)' = (3 \ln x)' = 3 \cdot (\ln x)' = 3 \cdot \frac{1}{x} = \frac{3}{x}$.

Для второго слагаемого $(4 \cdot 6^x)'$ используем правило вынесения константы за знак производной и формулу производной показательной функции $(a^x)' = a^x \ln a$:

$(4 \cdot 6^x)' = 4 \cdot (6^x)' = 4 \cdot 6^x \ln 6$.

Складываем полученные результаты:

$y' = \frac{3}{x} + 4 \cdot 6^x \ln 6$.

Ответ: $y' = \frac{3}{x} + 4 \cdot 6^x \ln 6$.

3) $f(x) = x^2 \ln(x^2 - 10)$

Решение:

Для нахождения производной используем правило дифференцирования произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = x^2$ и $v(x) = \ln(x^2 - 10)$.

Находим производную $u(x)$:

$u'(x) = (x^2)' = 2x$.

Для нахождения производной $v(x)$ применим правило дифференцирования сложной функции (цепное правило), где внешняя функция — натуральный логарифм, а внутренняя — $x^2 - 10$. Формула производной сложной функции $(\ln(g(x)))' = \frac{g'(x)}{g(x)}$:

$v'(x) = (\ln(x^2 - 10))' = \frac{1}{x^2 - 10} \cdot (x^2 - 10)' = \frac{2x}{x^2 - 10}$.

Подставляем найденные производные в правило произведения:

$f'(x) = u'v + uv' = 2x \cdot \ln(x^2 - 10) + x^2 \cdot \frac{2x}{x^2 - 10} = 2x \ln(x^2 - 10) + \frac{2x^3}{x^2 - 10}$.

Ответ: $f'(x) = 2x \ln(x^2 - 10) + \frac{2x^3}{x^2 - 10}$.

4) $f(x) = 5 \cdot \ln(x - x^3) \cdot \cos x$

Решение:

Это производная произведения. Вынесем константу 5 за скобки и применим правило $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = \ln(x - x^3)$ и $v(x) = \cos x$.

Найдем производную $u(x)$ по цепному правилу:

$u'(x) = (\ln(x - x^3))' = \frac{1}{x - x^3} \cdot (x - x^3)' = \frac{1 - 3x^2}{x - x^3}$.

Найдем производную $v(x)$:

$v'(x) = (\cos x)' = -\sin x$.

Теперь применим формулу производной произведения, не забывая про константу 5:

$f'(x) = 5 \cdot (u'v + uv') = 5 \cdot \left(\frac{1 - 3x^2}{x - x^3} \cdot \cos x + \ln(x - x^3) \cdot (-\sin x)\right)$.

Раскроем скобки:

$f'(x) = \frac{5(1 - 3x^2)\cos x}{x - x^3} - 5 \sin x \ln(x - x^3)$.

Ответ: $f'(x) = \frac{5(1 - 3x^2)\cos x}{x - x^3} - 5 \sin x \ln(x - x^3)$.

200. Напишите общий вид первообразной для функции $y=f(x)$:

1) $f(x) = 3e^x$;

2) $f(x) = 2 \cdot 5^x$;

3) $f(x) = 7 \cdot 4^x$;

4) $f(x) = 1 + 2^x$.

1) $f(x) = 3e^x$

Решение

Общий вид первообразной $F(x)$ для функции $f(x)$ находится путем вычисления неопределенного интеграла. Для нахождения первообразной для функции $f(x) = 3e^x$ воспользуемся правилом вынесения константы за знак интеграла и табличной первообразной для $e^x$.

$F(x) = \int 3e^x dx = 3 \int e^x dx = 3e^x + C$,

где $C$ – произвольная постоянная интегрирования.

Ответ: $F(x) = 3e^x + C$.

2) $f(x) = 2 \cdot 5^x$

Решение

Для нахождения первообразной для функции $f(x) = 2 \cdot 5^x$ воспользуемся правилом вынесения константы за знак интеграла и табличной первообразной для показательной функции $\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a}$.

$F(x) = \int 2 \cdot 5^x dx = 2 \int 5^x dx = 2 \cdot \frac{5^x}{\ln 5} + C$,

где $C$ – произвольная постоянная интегрирования.

Ответ: $F(x) = \frac{2 \cdot 5^x}{\ln 5} + C$.

3) $f(x) = 7 \cdot 4^x$

Решение

Для нахождения первообразной для функции $f(x) = 7 \cdot 4^x$ поступаем аналогично предыдущему пункту. Используем вынесение константы за знак интеграла и формулу первообразной для показательной функции.

$F(x) = \int 7 \cdot 4^x dx = 7 \int 4^x dx = 7 \cdot \frac{4^x}{\ln 4} + C$,

где $C$ – произвольная постоянная интегрирования.

Ответ: $F(x) = \frac{7 \cdot 4^x}{\ln 4} + C$.

4) $f(x) = 1 + 2^x$

Решение

Для нахождения первообразной для функции $f(x) = 1 + 2^x$ используем правило интегрирования суммы, которое гласит, что интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций.

$F(x) = \int (1 + 2^x) dx = \int 1 dx + \int 2^x dx$.

Первообразная для константы $1$ равна $x$, а первообразная для $2^x$ находится по формуле для показательной функции:

$F(x) = x + \frac{2^x}{\ln 2} + C$,

где $C$ – произвольная постоянная интегрирования.

Ответ: $F(x) = x + \frac{2^x}{\ln 2} + C$.

201. Вычислите интеграл:

1) $\int_{0}^{1} 2^{x} dx;$

2) $\int_{0}^{1} e^{x} dx;$

3) $\int_{1}^{3} 2^{x} dx;$

4) $\int_{-2}^{-1} 3^{x} dx .$

1) Вычислим определенный интеграл $ \int_{0}^{1} 2^x dx $.
Для решения воспользуемся основной теоремой анализа (формулой Ньютона-Лейбница): $ \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) $, где $ F(x) $ — любая первообразная для функции $ f(x) $.
Первообразная для показательной функции $ f(x) = a^x $ находится по формуле $ F(x) = \frac{a^x}{\ln a} $. В данном случае $ a=2 $, поэтому первообразная для $ 2^x $ равна $ \frac{2^x}{\ln 2} $.
Теперь подставим пределы интегрирования:
$ \int_{0}^{1} 2^x dx = \left[ \frac{2^x}{\ln 2} \right]_{0}^{1} = \frac{2^1}{\ln 2} - \frac{2^0}{\ln 2} = \frac{2 - 1}{\ln 2} = \frac{1}{\ln 2} $.
Ответ: $ \frac{1}{\ln 2} $.

2) Вычислим интеграл $ \int_{0}^{1} e^x dx $.
Это частный случай показательной функции, где основание $ a=e $. Первообразная для функции $ f(x) = e^x $ является сама функция $ F(x) = e^x $.
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$ \int_{0}^{1} e^x dx = \left[ e^x \right]_{0}^{1} = e^1 - e^0 = e - 1 $ (поскольку любое число в степени 0 равно 1).
Ответ: $ e - 1 $.

3) Вычислим интеграл $ \int_{1}^{3} 2^x dx $.
Аналогично пункту 1, используем первообразную для $ 2^x $, которая равна $ \frac{2^x}{\ln 2} $.
Подставляем пределы интегрирования от 1 до 3:
$ \int_{1}^{3} 2^x dx = \left[ \frac{2^x}{\ln 2} \right]_{1}^{3} = \frac{2^3}{\ln 2} - \frac{2^1}{\ln 2} = \frac{8 - 2}{\ln 2} = \frac{6}{\ln 2} $.
Ответ: $ \frac{6}{\ln 2} $.

4) Вычислим интеграл $ \int_{-2}^{-1} 3^x dx $.
В этом случае основание показательной функции $ a=3 $. Первообразная для $ 3^x $ равна $ \frac{3^x}{\ln 3} $.
Подставляем пределы интегрирования от -2 до -1:
$ \int_{-2}^{-1} 3^x dx = \left[ \frac{3^x}{\ln 3} \right]_{-2}^{-1} = \frac{3^{-1}}{\ln 3} - \frac{3^{-2}}{\ln 3} = \frac{1}{\ln 3} (3^{-1} - 3^{-2}) $.
Упростим выражение в скобках, используя свойство степени $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $: $ 3^{-1} = \frac{1}{3} $ и $ 3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9} $.
Тогда разность в скобках равна $ \frac{1}{3} - \frac{1}{9} = \frac{3}{9} - \frac{1}{9} = \frac{2}{9} $.
Таким образом, окончательный результат: $ \frac{1}{\ln 3} \cdot \frac{2}{9} = \frac{2}{9\ln 3} $.
Ответ: $ \frac{2}{9\ln 3} $.

202. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

1) $y = \frac{4}{x}$, $x = 1$, $x = 4$, $y = 0$;

2) $y = 5^x$, $x = 3$, $x = 0$, $y = 0$.

1) $y = \frac{4}{x}$, $x = 1$, $x = 4$, $y = 0$;

Дано:

Фигура ограничена линиями $y = \frac{4}{x}$, $x=1$, $x=4$, $y=0$.

Найти:

Площадь фигуры $S$.

Решение:

Площадь фигуры, ограниченной графиком непрерывной и неотрицательной функции $y=f(x)$, осью абсцисс $y=0$ и прямыми $x=a$ и $x=b$, вычисляется по формуле определенного интеграла:

$S = \int_a^b f(x) \,dx$

В данном случае имеем $f(x) = \frac{4}{x}$, $a=1$, $b=4$. Функция $f(x) = \frac{4}{x}$ является непрерывной и положительной на отрезке $[1, 4]$.

Вычислим интеграл:

$S = \int_1^4 \frac{4}{x} \,dx = 4 \int_1^4 \frac{1}{x} \,dx$

Первообразной для функции $\frac{1}{x}$ является $\ln|x|$. Применяя формулу Ньютона-Лейбница, получаем:

$S = 4 \cdot [\ln|x|]_1^4 = 4 (\ln|4| - \ln|1|) = 4 (\ln 4 - 0) = 4 \ln 4$.

Ответ: $S = 4 \ln 4$.

2) $y = 5^x$, $x = 3$, $x = 0$, $y = 0$.

Дано:

Фигура ограничена линиями $y = 5^x$, $x=0$, $x=3$, $y=0$.

Найти:

Площадь фигуры $S$.

Решение:

Площадь данной фигуры, как и в предыдущем случае, вычисляется с помощью определенного интеграла. Здесь $f(x) = 5^x$, пределы интегрирования от $a=0$ до $b=3$. Функция $f(x) = 5^x$ является непрерывной и положительной на отрезке $[0, 3]$.

Вычислим интеграл:

$S = \int_0^3 5^x \,dx$

Первообразной для показательной функции $a^x$ является $\frac{a^x}{\ln a}$. Таким образом, первообразная для $5^x$ равна $\frac{5^x}{\ln 5}$. Применяя формулу Ньютона-Лейбница, получаем:

$S = \left[ \frac{5^x}{\ln 5} \right]_0^3 = \frac{5^3}{\ln 5} - \frac{5^0}{\ln 5} = \frac{125}{\ln 5} - \frac{1}{\ln 5} = \frac{124}{\ln 5}$.

Ответ: $S = \frac{124}{\ln 5}$.

Найдите производные функции $y=f(x)$ (203–204):

203. 1) $f(x) = e^{x^3} \cos x;$

2) $f(x) = 5^{\frac{x}{2}} \cdot \operatorname{tg} x;$

3) $f(x) = x^2 \cdot \ln x;$

4) $f(x) = 3^{x^2} \cdot \ln x.$

1) f(x) = e^x3 cos(x)

Решение:

Для нахождения производной функции, которая является произведением двух функций $u(x) = e^{x^3}$ и $v(x) = \cos x$, воспользуемся правилом дифференцирования произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.

Сначала найдем производные для $u(x)$ и $v(x)$.

Производная от $v(x) = \cos x$ равна $v'(x) = -\sin x$.

Функция $u(x) = e^{x^3}$ является сложной функцией. Ее производная находится по правилу дифференцирования сложной функции $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

Внешняя функция $e^y$, ее производная $e^y$. Внутренняя функция $y = x^3$, ее производная $y' = 3x^2$.

Следовательно, $u'(x) = (e^{x^3})' = e^{x^3} \cdot (x^3)' = e^{x^3} \cdot 3x^2$.

Теперь подставим найденные производные в формулу производной произведения:

$f'(x) = (e^{x^3})' \cos x + e^{x^3} (\cos x)' = (3x^2 e^{x^3}) \cos x + e^{x^3} (-\sin x)$.

Вынесем общий множитель $e^{x^3}$ за скобки для упрощения выражения:

$f'(x) = e^{x^3} (3x^2 \cos x - \sin x)$.

Ответ: $f'(x) = e^{x^3} (3x^2 \cos x - \sin x)$.

2) f(x) = 5^x/2 tg(x)

Решение:

Данная функция является произведением двух функций $u(x) = 5^{\frac{x}{2}}$ и $v(x) = \tg x$. Применяем правило дифференцирования произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.

Найдем производные для $u(x)$ и $v(x)$.

Производная от $v(x) = \tg x$ равна $v'(x) = \frac{1}{\cos^2 x}$.

Для нахождения производной $u(x) = 5^{\frac{x}{2}}$ используем правило дифференцирования сложной функции. Внешняя функция $a^y$ (где $a=5$), ее производная $a^y \ln a$. Внутренняя функция $y = \frac{x}{2}$, ее производная $y' = \frac{1}{2}$.

Таким образом, $u'(x) = (5^{\frac{x}{2}})' = 5^{\frac{x}{2}} \ln 5 \cdot (\frac{x}{2})' = 5^{\frac{x}{2}} \ln 5 \cdot \frac{1}{2}$.

Подставляем полученные производные в формулу для производной произведения:

$f'(x) = (5^{\frac{x}{2}})' \tg x + 5^{\frac{x}{2}} (\tg x)' = (\frac{1}{2} \cdot 5^{\frac{x}{2}} \ln 5) \tg x + 5^{\frac{x}{2}} \cdot \frac{1}{\cos^2 x}$.

Вынесем общий множитель $5^{\frac{x}{2}}$ за скобки:

$f'(x) = 5^{\frac{x}{2}} \left( \frac{\ln 5}{2} \tg x + \frac{1}{\cos^2 x} \right)$.

Ответ: $f'(x) = 5^{\frac{x}{2}} \left( \frac{\ln 5}{2} \tg x + \frac{1}{\cos^2 x} \right)$.

3) f(x) = x² · ln(x)

Решение:

Используем правило дифференцирования произведения для функций $u(x) = x^2$ и $v(x) = \ln x$: $(uv)' = u'v + uv'$.

Найдем производные функций $u(x)$ и $v(x)$:

Производная степенной функции $u(x) = x^2$ равна $u'(x) = 2x$.

Производная натурального логарифма $v(x) = \ln x$ равна $v'(x) = \frac{1}{x}$.

Подставим найденные производные в формулу:

$f'(x) = (x^2)' \ln x + x^2 (\ln x)' = 2x \cdot \ln x + x^2 \cdot \frac{1}{x}$.

Упростим второе слагаемое: $x^2 \cdot \frac{1}{x} = x$.

$f'(x) = 2x \ln x + x$.

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$f'(x) = x(2 \ln x + 1)$.

Ответ: $f'(x) = x(2 \ln x + 1)$.

4) f(x) = 3^x2 · ln(x)

Решение:

Применим правило дифференцирования произведения для функций $u(x) = 3^{x^2}$ и $v(x) = \ln x$: $(uv)' = u'v + uv'$.

Найдем производные для $u(x)$ и $v(x)$.

Производная от $v(x) = \ln x$ равна $v'(x) = \frac{1}{x}$.

Функция $u(x) = 3^{x^2}$ является сложной. Внешняя функция $a^y$ (где $a=3$), ее производная $a^y \ln a$. Внутренняя функция $y = x^2$, ее производная $y' = 2x$.

Производная $u(x)$ равна $u'(x) = (3^{x^2})' = 3^{x^2} \ln 3 \cdot (x^2)' = 3^{x^2} \ln 3 \cdot 2x$.

Теперь подставим все в формулу производной произведения:

$f'(x) = (3^{x^2})' \ln x + 3^{x^2} (\ln x)' = (2x \cdot 3^{x^2} \ln 3) \ln x + 3^{x^2} \cdot \frac{1}{x}$.

Вынесем общий множитель $3^{x^2}$ за скобки:

$f'(x) = 3^{x^2} \left( 2x \ln 3 \ln x + \frac{1}{x} \right)$.

Ответ: $f'(x) = 3^{x^2} \left( 2x \ln 3 \ln x + \frac{1}{x} \right)$.

204. 1) $f(x) = (5^x + 4) \cdot x^3;$

2) $f(x) = \sqrt{x} \cdot \log_2 x;$

3) $f(x) = x^2 \cdot e^{5x};$

4) $f(x) = x^2 \cdot 2^{-x}.$

1)

Дано:

$f(x) = (5^x + 4) \cdot x^3$

Найти:

$f'(x)$

Решение:

Для нахождения производной функции, которая является произведением двух функций $u(x) = 5^x + 4$ и $v(x) = x^3$, используем правило дифференцирования произведения:

$(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'$

Сначала найдем производные функций $u(x)$ и $v(x)$:

$u'(x) = (5^x + 4)' = (5^x)' + (4)'$

Производная показательной функции $(a^x)' = a^x \ln(a)$, а производная константы равна нулю. Таким образом:

$u'(x) = 5^x \ln(5) + 0 = 5^x \ln(5)$

Производная степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$v'(x) = (x^3)' = 3x^2$

Теперь подставим найденные производные в формулу для производной произведения:

$f'(x) = (5^x \ln(5)) \cdot x^3 + (5^x + 4) \cdot (3x^2)$

Упростим выражение, раскрыв скобки:

$f'(x) = x^3 \cdot 5^x \ln(5) + 3x^2 \cdot 5^x + 12x^2$

Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:

$f'(x) = x^2(x \cdot 5^x \ln(5) + 3 \cdot 5^x + 12)$

Для более компактной записи сгруппируем слагаемые, содержащие $5^x$:

$f'(x) = x^2(5^x(x \ln(5) + 3) + 12)$

Ответ: $f'(x) = x^2(5^x(x \ln(5) + 3) + 12)$

2)

Дано:

$f(x) = \sqrt{x} \cdot \log_2 x$

Найти:

$f'(x)$

Решение:

Данная функция является произведением двух функций $u(x) = \sqrt{x}$ и $v(x) = \log_2 x$. Применим правило дифференцирования произведения:

$(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'$

Найдем производные для $u(x)$ и $v(x)$:

$u(x) = \sqrt{x} = x^{1/2}$

$u'(x) = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Производная логарифмической функции $(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$:

$v'(x) = (\log_2 x)' = \frac{1}{x \ln 2}$

Подставляем в формулу производной произведения:

$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot \log_2 x + \sqrt{x} \cdot \frac{1}{x \ln 2}$

Упростим второе слагаемое: $\frac{\sqrt{x}}{x} = \frac{x^{1/2}}{x^1} = x^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{x}}$

$f'(x) = \frac{\log_2 x}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x} \ln 2}$

Приведем дроби к общему знаменателю $2\sqrt{x} \ln 2$:

$f'(x) = \frac{(\log_2 x) \cdot \ln 2 + 1 \cdot 2}{2\sqrt{x} \ln 2} = \frac{\log_2 x \ln 2 + 2}{2\sqrt{x} \ln 2}$

Используя формулу перехода к новому основанию логарифма $\log_b a = \frac{\ln a}{\ln b}$, имеем $\log_2 x = \frac{\ln x}{\ln 2}$, откуда $\log_2 x \cdot \ln 2 = \ln x$.

$f'(x) = \frac{\ln x + 2}{2\sqrt{x} \ln 2}$

Ответ: $f'(x) = \frac{\ln x + 2}{2\sqrt{x} \ln 2}$

3)

Дано:

$f(x) = x^2 \cdot e^{5x}$

Найти:

$f'(x)$

Решение:

Функция является произведением $u(x) = x^2$ и $v(x) = e^{5x}$. Используем правило дифференцирования произведения:

$(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'$

Найдем производные:

$u'(x) = (x^2)' = 2x$

Для нахождения производной $v(x) = e^{5x}$ используем правило дифференцирования сложной функции. Производная внешней функции $(e^t)' = e^t$ и внутренней функции $(5x)' = 5$.

$v'(x) = (e^{5x})' = e^{5x} \cdot (5x)' = e^{5x} \cdot 5 = 5e^{5x}$

Подставляем в формулу:

$f'(x) = 2x \cdot e^{5x} + x^2 \cdot 5e^{5x}$

Упростим, вынеся за скобки общий множитель $x e^{5x}$:

$f'(x) = xe^{5x}(2 + 5x)$

Ответ: $f'(x) = xe^{5x}(2 + 5x)$

4)

Дано:

$f(x) = x^2 \cdot 2^{-x}$

Найти:

$f'(x)$

Решение:

Функция является произведением $u(x) = x^2$ и $v(x) = 2^{-x}$. Используем правило дифференцирования произведения:

$(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'$

Найдем производные:

$u'(x) = (x^2)' = 2x$

Для нахождения производной $v(x) = 2^{-x}$ используем правило дифференцирования сложной функции. Производная внешней показательной функции $(2^t)' = 2^t \ln 2$ и внутренней функции $(-x)' = -1$.

$v'(x) = (2^{-x})' = 2^{-x} \ln 2 \cdot (-x)' = 2^{-x} \ln 2 \cdot (-1) = -2^{-x} \ln 2$

Подставляем в формулу:

$f'(x) = 2x \cdot 2^{-x} + x^2 \cdot (-2^{-x} \ln 2)$

$f'(x) = 2x \cdot 2^{-x} - x^2 \cdot 2^{-x} \ln 2$

Вынесем за скобки общий множитель $x \cdot 2^{-x}$:

$f'(x) = x \cdot 2^{-x}(2 - x \ln 2)$

Ответ: $f'(x) = x \cdot 2^{-x}(2 - x \ln 2)$