Страница 91 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

1. Почему график логарифмической функции расположен только в правой части координатной плоскости относительно оси Oy?

2. Какому условию должны удовлетворять логарифмируемые выражения?

3. В чем сходство показательной и логарифмической функций?

4. Имеются ли различия у показательной и логарифмической функций во множестве значений?

1. Почему график логарифмической функции расположен только в правой части координатной плоскости относительно оси Oy?
Логарифмическая функция определяется формулой $y = \log_a(x)$, где $x$ – аргумент функции, а $a$ – её основание. По определению логарифма, число $y$ является показателем степени, в которую нужно возвести основание $a$, чтобы получить число $x$. Это можно записать в виде равенства: $x = a^y$.
На основание логарифма $a$ накладываются ограничения: оно должно быть положительным и не равным единице ($a > 0$, $a \neq 1$). Если положительное число $a$ возвести в любую действительную степень $y$, результат $x$ всегда будет положительным числом. Следовательно, аргумент логарифмической функции $x$ должен быть строго больше нуля ($x > 0$).
На координатной плоскости множество всех точек, у которых абсцисса $x$ положительна, представляет собой правую полуплоскость (справа от оси Oy). Таким образом, область определения логарифмической функции – это множество всех положительных чисел, и её график целиком лежит в правой полуплоскости.
Ответ: График логарифмической функции $y = \log_a(x)$ расположен только в правой части координатной плоскости, так как ее область определения — множество всех положительных чисел ($x > 0$). Это следует из определения логарифма: $x = a^y$, где основание $a > 0$, и любое положительное число в любой степени остается положительным.

2. Какому условию должны удовлетворять логарифмируемые выражения?
Логарифмируемое выражение — это выражение, стоящее под знаком логарифма (его аргумент). Исходя из определения логарифма, данному в предыдущем пункте, это выражение должно быть строго положительным. Для того чтобы выражение $\log_a(B)$ имело смысл, должны выполняться условия как для основания $a$ ($a > 0, a \neq 1$), так и для аргумента $B$. Условием для логарифмируемого выражения $B$ является неравенство $B > 0$.
Ответ: Логарифмируемые выражения (аргументы логарифма) должны быть строго положительными.

3. В чем сходство показательной и логарифмической функций?
Показательная функция $y = a^x$ и логарифмическая функция $y = \log_a(x)$ имеют несколько ключевых сходств:
1. Они являются взаимно обратными функциями. Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой $y=x$.
2. Для обеих функций основание $a$ должно удовлетворять одним и тем же условиям: $a > 0$ и $a \neq 1$.
3. Обе функции являются строго монотонными на всей своей области определения. Если основание $a > 1$, обе функции возрастают. Если $0 < a < 1$, обе функции убывают.
4. Обе функции непрерывны на своей области определения.
5. Ни одна из функций не имеет точек экстремума (локальных максимумов или минимумов).
Ответ: Сходство показательной ($y = a^x$) и логарифмической ($y = \log_a(x)$) функций заключается в следующем:
1. Они являются взаимно обратными.
2. Обе функции непрерывны на всей своей области определения.
3. Обе функции являются монотонными: возрастают при $a > 1$ и убывают при $0 < a < 1$.
4. Для обеих функций основание $a$ должно удовлетворять условиям $a > 0$ и $a \neq 1$.

4. Имеются ли различия у показательной и логарифмической функций во множестве значений?
Да, множества значений (области значений) у показательной и логарифмической функций принципиально различаются.
- Множество значений показательной функции $y = a^x$ — это множество всех положительных действительных чисел. Так как $a > 0$, то при возведении в любую степень $x$ результат $y$ также будет положительным. Таким образом, область значений этой функции — интервал $(0; +\infty)$.
- Множество значений логарифмической функции $y = \log_a(x)$ — это множество всех действительных чисел. Логарифм (то есть показатель степени $y$) может быть любым числом: положительным, отрицательным или нулем. Таким образом, область значений этой функции — интервал $(-\infty; +\infty)$.
Это различие является прямым следствием того, что функции являются взаимно обратными: область определения одной функции является областью значений для другой, и наоборот.
Ответ: Да, имеются. Множество значений показательной функции $y=a^x$ — это все положительные действительные числа, то есть интервал $(0; +\infty)$. В то же время, множество значений логарифмической функции $y=\log_a(x)$ — это все действительные числа, то есть интервал $(-\infty; +\infty)$.