Страница 87 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

Вычислите (179—181):

179.1) $log_2 log_2 log_3 81$;

2) $log_2 log_3 log_{1/3} \frac{1}{27}$;

3) $log_{\sqrt{3}} log_5 125$;

4) $log_4 log_3 81$.

1) $\log_2 \log_2 \log_3 81$

Решение:

Для вычисления значения данного выражения необходимо действовать последовательно, начиная с самого внутреннего логарифма.

1. Вычислим значение $\log_3 81$. Логарифм $\log_a b$ – это степень, в которую нужно возвести основание $a$, чтобы получить число $b$. Нам нужно найти такое число $x$, что $3^x = 81$.

Поскольку $81 = 9 \cdot 9 = 3^2 \cdot 3^2 = 3^4$, то $x=4$.

Следовательно, $\log_3 81 = 4$.

2. Теперь исходное выражение принимает вид: $\log_2 \log_2 4$.

3. Вычислим следующий по порядку логарифм: $\log_2 4$.

Нам нужно найти такое число $y$, что $2^y = 4$. Так как $4 = 2^2$, то $y=2$.

Значит, $\log_2 4 = 2$.

4. Выражение упрощается до: $\log_2 2$.

5. По свойству логарифмов $\log_a a = 1$.

Таким образом, $\log_2 2 = 1$.

Ответ: $1$.

2) $\log_2 \log_3 \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{27}$

Решение:

Вычисляем пошагово, начиная с внутреннего логарифма.

1. Вычислим $\log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{27}$.

Пусть $\log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{27} = x$. По определению логарифма, $(\frac{1}{3})^x = \frac{1}{27}$.

Так как $\frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = (\frac{1}{3})^3$, то $x=3$.

Следовательно, $\log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{27} = 3$.

2. Подставляем полученное значение в выражение: $\log_2 \log_3 3$.

3. Вычисляем $\log_3 3$. По свойству логарифмов $\log_a a = 1$.

Значит, $\log_3 3 = 1$.

4. Выражение принимает вид: $\log_2 1$.

5. По свойству логарифмов $\log_a 1 = 0$ для любого допустимого основания $a$.

Следовательно, $\log_2 1 = 0$.

Ответ: $0$.

3) $\log_{\sqrt{3}} \log_5 125$

Решение:

Вычисляем последовательно изнутри наружу.

1. Вычислим внутренний логарифм $\log_5 125$.

Нужно найти такое число $x$, что $5^x = 125$.

Поскольку $125 = 5 \cdot 25 = 5 \cdot 5^2 = 5^3$, то $x=3$.

Таким образом, $\log_5 125 = 3$.

2. Подставляем результат в исходное выражение: $\log_{\sqrt{3}} 3$.

3. Вычислим $\log_{\sqrt{3}} 3$.

Пусть $\log_{\sqrt{3}} 3 = y$. По определению логарифма, $(\sqrt{3})^y = 3$.

Представим $\sqrt{3}$ как $3^{1/2}$. Тогда уравнение примет вид $(3^{1/2})^y = 3^1$.

По свойству степеней $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем $3^{y/2} = 3^1$.

Приравнивая показатели степеней, имеем $\frac{y}{2} = 1$, откуда $y=2$.

Следовательно, $\log_{\sqrt{3}} 3 = 2$.

Ответ: $2$.

4) $\log_4 \log_3 81$

Решение:

Вычисляем пошагово, начиная с внутреннего логарифма.

1. Вычислим $\log_3 81$.

Нужно найти такое число $x$, что $3^x = 81$.

Так как $81 = 3^4$, то $\log_3 81 = 4$.

2. Подставим полученное значение в выражение: $\log_4 4$.

3. По свойству логарифмов $\log_a a = 1$.

Таким образом, $\log_4 4 = 1$.

Ответ: $1$.

180.1) $\frac{1}{\log_9 27}$;

2) $\frac{1}{\log_{16} 8}$;

3) $\log_2 128 \cdot \log_5 \frac{1}{125}$;

4) $\log_3 (\log_2 5 \cdot \log_5 8)$.

1) Решение:
Вычислим значение выражения $\frac{1}{\log_9 27}$.
Сначала упростим знаменатель. Представим основание 9 и число 27 как степени числа 3: $9 = 3^2$ и $27 = 3^3$.
Используя свойство логарифма $\log_{a^k} b^m = \frac{m}{k}\log_a b$, получаем:
$\log_9 27 = \log_{3^2} 3^3 = \frac{3}{2}\log_3 3 = \frac{3}{2} \cdot 1 = \frac{3}{2}$.
Теперь подставим найденное значение обратно в исходное выражение:
$\frac{1}{\log_9 27} = \frac{1}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{2}{3}$.

2) Решение:
Вычислим значение выражения $\frac{1}{\log_{16} 8}$.
Сначала упростим знаменатель. Представим основание 16 и число 8 как степени числа 2: $16 = 2^4$ и $8 = 2^3$.
Используя свойство логарифма $\log_{a^k} b^m = \frac{m}{k}\log_a b$, получаем:
$\log_{16} 8 = \log_{2^4} 2^3 = \frac{3}{4}\log_2 2 = \frac{3}{4} \cdot 1 = \frac{3}{4}$.
Теперь подставим найденное значение обратно в исходное выражение:
$\frac{1}{\log_{16} 8} = \frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3}$.
Ответ: $\frac{4}{3}$.

3) Решение:
Вычислим значение выражения $\log_2 128 \cdot \log_5 \frac{1}{125}$.
Вычислим каждый множитель отдельно.
Первый множитель: $\log_2 128$. Так как $128 = 2^7$, то $\log_2 128 = \log_2 2^7 = 7$.
Второй множитель: $\log_5 \frac{1}{125}$. Так как $\frac{1}{125} = 125^{-1} = (5^3)^{-1} = 5^{-3}$, то $\log_5 \frac{1}{125} = \log_5 5^{-3} = -3$.
Теперь перемножим полученные значения:
$7 \cdot (-3) = -21$.
Ответ: $-21$.

4) Решение:
Вычислим значение выражения $\log_3 (\log_2 5 \cdot \log_5 8)$.
Сначала упростим выражение в скобках: $\log_2 5 \cdot \log_5 8$.
Воспользуемся свойством логарифма $\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c$.
Применяя это свойство, получаем:
$\log_2 5 \cdot \log_5 8 = \log_2 8$.
Вычислим $\log_2 8$. Так как $8 = 2^3$, то $\log_2 8 = 3$.
Теперь подставим это значение в исходное выражение:
$\log_3 (3)$.
По определению логарифма, $\log_a a = 1$, поэтому $\log_3 3 = 1$.
Ответ: $1$.

$\frac{3}{\log_3 3} - \frac{2}{\log_8 4} - \frac{1}{\log_{27} 81};$

2) $\frac{\lg 2 + \lg 3}{\lg 3.6 + 1};$

3) $2^{2-\log_2 5} + \left(\frac{1}{2}\right)^{\log_2 5};$

4) $3^{2+\log_3 4} + \left(\frac{1}{3}\right)^{\log_3 4}.$

1) Вычислим значение выражения $\frac{3}{\log_3 3} - \frac{2}{\log_8 4} - \frac{1}{\log_{27} 81}$.
Для упрощения выражения воспользуемся свойством логарифма $\frac{1}{\log_b a} = \log_a b$.
$\frac{3}{\log_3 3} - \frac{2}{\log_8 4} - \frac{1}{\log_{27} 81} = 3\log_3 3 - 2\log_4 8 - 1\log_{81} 27$.
Теперь вычислим значение каждого члена по отдельности, используя свойство $\log_{a^k} b^m = \frac{m}{k}\log_a b$.
Первый член: $3\log_3 3 = 3 \cdot 1 = 3$.
Второй член: $2\log_4 8 = 2\log_{2^2} 2^3 = 2 \cdot \frac{3}{2}\log_2 2 = 3 \cdot 1 = 3$.
Третий член: $\log_{81} 27 = \log_{3^4} 3^3 = \frac{3}{4}\log_3 3 = \frac{3}{4} \cdot 1 = \frac{3}{4}$.
Теперь подставим полученные значения обратно в выражение:
$3 - 3 - \frac{3}{4} = -\frac{3}{4}$.
Ответ: $-\frac{3}{4}$.

2) Вычислим значение выражения $\frac{\lg 2 + \lg 3}{\lg 3,6 + 1}$.
Сначала упростим числитель, используя свойство суммы логарифмов $\log_a x + \log_a y = \log_a(xy)$:
$\lg 2 + \lg 3 = \lg(2 \cdot 3) = \lg 6$.
Теперь упростим знаменатель, зная, что $1 = \lg 10$ (десятичный логарифм от 10):
$\lg 3,6 + 1 = \lg 3,6 + \lg 10 = \lg(3,6 \cdot 10) = \lg 36$.
Подставим упрощенные числитель и знаменатель в исходную дробь:
$\frac{\lg 6}{\lg 36}$.
Воспользуемся формулой перехода к новому основанию $\frac{\log_c a}{\log_c b} = \log_b a$:
$\frac{\lg 6}{\lg 36} = \log_{36} 6$.
Чтобы найти значение $\log_{36} 6$, решим уравнение $36^x = 6$.
Так как $36 = 6^2$, то $(6^2)^x = 6^1$, что равносильно $6^{2x} = 6^1$.
Отсюда $2x=1$, значит $x = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

3) Вычислим значение выражения $2^{2-\log_2 5} + \left(\frac{1}{2}\right)^{\log_2 5}$.
Рассмотрим каждое слагаемое по отдельности.
Первое слагаемое: $2^{2-\log_2 5}$. Используя свойство степени $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$ и основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$, получаем:
$2^{2-\log_2 5} = \frac{2^2}{2^{\log_2 5}} = \frac{4}{5}$.
Второе слагаемое: $\left(\frac{1}{2}\right)^{\log_2 5}$. Представим $\frac{1}{2}$ как $2^{-1}$:
$\left(\frac{1}{2}\right)^{\log_2 5} = (2^{-1})^{\log_2 5} = 2^{-1 \cdot \log_2 5} = 2^{-\log_2 5}$.
Используя свойство $k \log_a b = \log_a b^k$, получаем:
$2^{\log_2 5^{-1}} = 2^{\log_2 \frac{1}{5}} = \frac{1}{5}$.
Теперь сложим результаты:
$\frac{4}{5} + \frac{1}{5} = \frac{5}{5} = 1$.
Ответ: $1$.

4) Вычислим значение выражения $3^{2+\log_3 4} + \left(\frac{1}{3}\right)^{\log_3 4}$.
Рассмотрим каждое слагаемое по отдельности.
Первое слагаемое: $3^{2+\log_3 4}$. Используя свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$, получаем:
$3^{2+\log_3 4} = 3^2 \cdot 3^{\log_3 4} = 9 \cdot 4 = 36$.
Второе слагаемое: $\left(\frac{1}{3}\right)^{\log_3 4}$. Представим $\frac{1}{3}$ как $3^{-1}$:
$\left(\frac{1}{3}\right)^{\log_3 4} = (3^{-1})^{\log_3 4} = 3^{-1 \cdot \log_3 4} = 3^{-\log_3 4}$.
Используя свойство $k \log_a b = \log_a b^k$, получаем:
$3^{\log_3 4^{-1}} = 3^{\log_3 \frac{1}{4}} = \frac{1}{4}$.
Теперь сложим результаты:
$36 + \frac{1}{4} = \frac{144}{4} + \frac{1}{4} = \frac{145}{4}$.
Ответ: $\frac{145}{4}$.

182. Решите уравнение:

1) $ \log_x 81 = 4 $;

2) $ \log_x \frac{1}{16} = 2 $;

3) $ \log_x \frac{1}{27} = -3 $;

4) $ \log_x 36 = 2 $.

1) $log_{x} 81 = 4$

Дано:

Уравнение $log_{x} 81 = 4$.

Найти:

Значение $x$.

Решение:

По определению логарифма, уравнение $log_{a} b = c$ равносильно уравнению $a^c = b$.
Применим это определение к данному уравнению, где $a=x$, $b=81$, $c=4$:
$x^4 = 81$.
Область определения логарифма накладывает на основание $x$ следующие ограничения: $x > 0$ и $x \neq 1$.
Решим степенное уравнение $x^4 = 81$.
Число 81 можно представить как $3^4$.
Тогда уравнение примет вид $x^4 = 3^4$.
Так как показатель степени (4) — четное число, это уравнение имеет два действительных корня: $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.
Проверим найденные корни на соответствие области определения.
Корень $x = 3$ удовлетворяет условиям $x > 0$ и $x \neq 1$.
Корень $x = -3$ не удовлетворяет условию $x > 0$, поэтому является посторонним.
Следовательно, решением уравнения является $x=3$.

Ответ: 3.

2) $log_{x} \frac{1}{16} = 2$

Дано:

Уравнение $log_{x} \frac{1}{16} = 2$.

Найти:

Значение $x$.

Решение:

По определению логарифма ($log_{a} b = c \Leftrightarrow a^c = b$), преобразуем уравнение:
$x^2 = \frac{1}{16}$.
Основание логарифма $x$ должно быть положительным и не равным единице: $x > 0$ и $x \neq 1$.
Решим уравнение $x^2 = \frac{1}{16}$.
Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем два корня: $x_1 = \sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4}$ и $x_2 = -\sqrt{\frac{1}{16}} = -\frac{1}{4}$.
Проверим корни на соответствие области определения.
Корень $x = \frac{1}{4}$ удовлетворяет условиям $x > 0$ и $x \neq 1$.
Корень $x = -\frac{1}{4}$ не удовлетворяет условию $x > 0$.
Таким образом, решением является $x = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$.

3) $log_{x} \frac{1}{27} = -3$

Дано:

Уравнение $log_{x} \frac{1}{27} = -3$.

Найти:

Значение $x$.

Решение:

Используя определение логарифма $log_{a} b = c \Leftrightarrow a^c = b$, получаем:
$x^{-3} = \frac{1}{27}$.
Область определения основания логарифма: $x > 0$ и $x \neq 1$.
Используем свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:
$\frac{1}{x^3} = \frac{1}{27}$.
Отсюда следует, что $x^3 = 27$.
Так как $27 = 3^3$, уравнение принимает вид $x^3 = 3^3$.
Извлекая кубический корень, находим $x=3$.
Проверяем корень: $x=3$ удовлетворяет условиям $x > 0$ и $x \neq 1$.
Следовательно, $x=3$ является решением.

Ответ: 3.

4) $log_{x} 36 = 2$

Дано:

Уравнение $log_{x} 36 = 2$.

Найти:

Значение $x$.

Решение:

Согласно определению логарифма ($log_{a} b = c \Leftrightarrow a^c = b$), исходное уравнение эквивалентно следующему:
$x^2 = 36$.
Ограничения на основание логарифма $x$: $x > 0$ и $x \neq 1$.
Решаем уравнение $x^2 = 36$.
Уравнение имеет два корня: $x_1 = \sqrt{36} = 6$ и $x_2 = -\sqrt{36} = -6$.
Проверим корни, учитывая область определения.
Корень $x = 6$ удовлетворяет условиям $x > 0$ и $x \neq 1$.
Корень $x = -6$ не удовлетворяет условию $x > 0$, поэтому он является посторонним.
Решением уравнения является $x=6$.

Ответ: 6.

183. Найдите логарифмы данных чисел по основанию $a$:

1) 2; $\frac{1}{2}$; 1; 0, $a = 2$;

2) 3; -1; -3; 1, $a = 3$;

3) 4; 3; 0; -1, $a = 4$;

4) 5; 3; 0; 1, $a = 5$.

1) Для основания $a=2$ найдем логарифмы чисел $2; \frac{1}{2}; 1; 0$.
- Логарифм числа $2$ по основанию $2$: $\log_2 2 = 1$, так как $2^1 = 2$.
- Логарифм числа $\frac{1}{2}$ по основанию $2$: $\log_2 \frac{1}{2} = \log_2 2^{-1} = -1$.
- Логарифм числа $1$ по основанию $2$: $\log_2 1 = 0$, так как $2^0 = 1$.
- Логарифм числа $0$ по основанию $2$: $\log_2 0$ не определен, так как область определения логарифмической функции — все положительные действительные числа ($x > 0$).
Ответ: $1; -1; 0;$ не определен.

2) Для основания $a=3$ найдем логарифмы чисел $3; -1; -3; 1$.
- Логарифм числа $3$ по основанию $3$: $\log_3 3 = 1$, так как $3^1 = 3$.
- Логарифм числа $-1$ по основанию $3$: $\log_3 (-1)$ не определен, так как логарифм определен только для положительных чисел.
- Логарифм числа $-3$ по основанию $3$: $\log_3 (-3)$ не определен по той же причине.
- Логарифм числа $1$ по основанию $3$: $\log_3 1 = 0$, так как $3^0 = 1$.
Ответ: $1;$ не определен; не определен; $0$.

3) Для основания $a=4$ найдем логарифмы чисел $4; 3; 0; -1$.
- Логарифм числа $4$ по основанию $4$: $\log_4 4 = 1$, так как $4^1 = 4$.
- Логарифм числа $3$ по основанию $4$: $\log_4 3$. Это точное значение логарифма, которое является иррациональным числом.
- Логарифм числа $0$ по основанию $4$: $\log_4 0$ не определен, так как логарифм определен только для положительных чисел.
- Логарифм числа $-1$ по основанию $4$: $\log_4 (-1)$ не определен, так как логарифм определен только для положительных чисел.
Ответ: $1; \log_4 3;$ не определен; не определен.

4) Для основания $a=5$ найдем логарифмы чисел $5; 3; 0; 1$.
- Логарифм числа $5$ по основанию $5$: $\log_5 5 = 1$, так как $5^1 = 5$.
- Логарифм числа $3$ по основанию $5$: $\log_5 3$. Это точное значение логарифма, которое является иррациональным числом.
- Логарифм числа $0$ по основанию $5$: $\log_5 0$ не определен, так как логарифм определен только для положительных чисел.
- Логарифм числа $1$ по основанию $5$: $\log_5 1 = 0$, так как $5^0 = 1$.
Ответ: $1; \log_5 3;$ не определен; $0$.

184. Напишите выражение через десятичный логарифм:

1) $N = 100 \sqrt{ab^3c}$;

2) $N = \frac{a^6}{0,1c^3\sqrt{6}};

3) $N = \sqrt[4]{10 a^3 b^4 c^{-\frac{1}{2}}};

4) $N = \frac{0,001 \cdot a^{\frac{2}{3}}}{\sqrt{c} \cdot b^3};

5) $N = 10^4 a^5 \sqrt{b} c^{-4};

6) $N = \frac{c^{\frac{2}{3}}}{10^3 b^6 c^4};

7) $N = 10^{-4} \cdot a^3 b^3 c^{\frac{2}{3}};$

8) $N = \frac{c^{\frac{4}{7}}}{10^7 a^2 b^{\frac{3}{9}}}$.

1) Дано выражение $N = 100 \sqrt{ab^3} c$. Прологарифмируем обе части по основанию 10 (десятичный логарифм, lg): $lg N = lg(100 \sqrt{ab^3} c)$. Используем свойство логарифма произведения $lg(x \cdot y \cdot z) = lg(x) + lg(y) + lg(z)$: $lg N = lg(100) + lg(\sqrt{ab^3}) + lg(c)$. Так как $100 = 10^2$, $lg(100)=2$. Представим корень как степень $\frac{1}{2}$ и используем свойство логарифма степени $lg(x^p) = p \cdot lg(x)$: $lg N = 2 + lg((ab^3)^{1/2}) + lg(c)$ $lg N = 2 + \frac{1}{2} lg(ab^3) + lg(c)$. Снова применим свойство логарифма произведения: $lg N = 2 + \frac{1}{2} (lg(a) + lg(b^3)) + lg(c)$. Используем свойство логарифма степени для $lg(b^3)$: $lg N = 2 + \frac{1}{2} (lg(a) + 3lg(b)) + lg(c)$. Раскроем скобки: $lg N = 2 + \frac{1}{2}lg(a) + \frac{3}{2}lg(b) + lg(c)$.
Ответ: $lg N = 2 + \frac{1}{2}lg(a) + \frac{3}{2}lg(b) + lg(c)$.

2) Дано выражение $N = \frac{a^6}{0,1 c^3 \sqrt{6}}$. Прологарифмируем обе части: $lg N = lg\left(\frac{a^6}{0,1 c^3 \sqrt{6}}\right)$. Используем свойство логарифма частного $lg(\frac{x}{y}) = lg(x) - lg(y)$: $lg N = lg(a^6) - lg(0,1 c^3 \sqrt{6})$. Применим свойство логарифма степени к первому слагаемому и свойство логарифма произведения ко второму: $lg N = 6lg(a) - (lg(0,1) + lg(c^3) + lg(\sqrt{6}))$. Так как $0,1 = 10^{-1}$, $lg(0,1)=-1$. Корень представим как степень $\frac{1}{2}$: $lg N = 6lg(a) - (-1 + 3lg(c) + lg(6^{1/2}))$. $lg N = 6lg(a) - (-1 + 3lg(c) + \frac{1}{2}lg(6))$. Раскроем скобки: $lg N = 6lg(a) + 1 - 3lg(c) - \frac{1}{2}lg(6)$.
Ответ: $lg N = 6lg(a) + 1 - 3lg(c) - \frac{1}{2}lg(6)$.

3) Дано выражение $N = \sqrt[4]{10 a^{1/3} b^4 c^{-1/2}}$. Прологарифмируем обе части: $lg N = lg\left(\sqrt[4]{10 a^{1/3} b^4 c^{-1/2}}\right)$. Представим корень как степень $\frac{1}{4}$ и применим свойство логарифма степени: $lg N = \frac{1}{4} lg(10 a^{1/3} b^4 c^{-1/2})$. Используем свойство логарифма произведения: $lg N = \frac{1}{4} (lg(10) + lg(a^{1/3}) + lg(b^4) + lg(c^{-1/2}))$. Применим свойство логарифма степени к каждому слагаемому в скобках: $lg N = \frac{1}{4} \left(1 + \frac{1}{3}lg(a) + 4lg(b) - \frac{1}{2}lg(c)\right)$. Раскроем скобки: $lg N = \frac{1}{4} + \frac{1}{12}lg(a) + lg(b) - \frac{1}{8}lg(c)$.
Ответ: $lg N = \frac{1}{4} + \frac{1}{12}lg(a) + lg(b) - \frac{1}{8}lg(c)$.

4) Дано выражение $N = \frac{0,001 \cdot a^{2/3}}{\sqrt{c \cdot b^3}}$. Прологарифмируем обе части: $lg N = lg\left(\frac{0,001 \cdot a^{2/3}}{\sqrt{c \cdot b^3}}\right)$. Используем свойство логарифма частного: $lg N = lg(0,001 \cdot a^{2/3}) - lg(\sqrt{c \cdot b^3})$. Применим свойство логарифма произведения к первому слагаемому, а корень представим как степень $\frac{1}{2}$: $lg N = (lg(0,001) + lg(a^{2/3})) - lg((c b^3)^{1/2})$. Так как $0,001=10^{-3}$, $lg(0,001)=-3$. Применим свойство логарифма степени: $lg N = (-3 + \frac{2}{3}lg(a)) - \frac{1}{2}lg(c b^3)$. Применим свойство логарифма произведения к последнему члену: $lg N = -3 + \frac{2}{3}lg(a) - \frac{1}{2}(lg(c) + lg(b^3))$. $lg N = -3 + \frac{2}{3}lg(a) - \frac{1}{2}(lg(c) + 3lg(b))$. Раскроем скобки: $lg N = -3 + \frac{2}{3}lg(a) - \frac{1}{2}lg(c) - \frac{3}{2}lg(b)$.
Ответ: $lg N = -3 - \frac{3}{2}lg(b) - \frac{1}{2}lg(c) + \frac{2}{3}lg(a)$.

5) Дано выражение $N = 10^4 a^5 \sqrt{b} c^{-4}$. Прологарифмируем обе части: $lg N = lg(10^4 a^5 \sqrt{b} c^{-4})$. Используем свойство логарифма произведения: $lg N = lg(10^4) + lg(a^5) + lg(\sqrt{b}) + lg(c^{-4})$. Представим корень как степень $\frac{1}{2}$ и применим свойство логарифма степени: $lg N = 4 + 5lg(a) + lg(b^{1/2}) - 4lg(c)$. $lg N = 4 + 5lg(a) + \frac{1}{2}lg(b) - 4lg(c)$.
Ответ: $lg N = 4 + 5lg(a) + \frac{1}{2}lg(b) - 4lg(c)$.

6) Дано выражение $N = \frac{c^{2/3}}{10^3 b^6 c^4}$. Прологарифмируем обе части: $lg N = lg\left(\frac{c^{2/3}}{10^3 b^6 c^4}\right)$. Используем свойство логарифма частного: $lg N = lg(c^{2/3}) - lg(10^3 b^6 c^4)$. Применим свойство логарифма степени к первому слагаемому и свойство логарифма произведения ко второму: $lg N = \frac{2}{3}lg(c) - (lg(10^3) + lg(b^6) + lg(c^4))$. Применим свойство логарифма степени: $lg N = \frac{2}{3}lg(c) - (3 + 6lg(b) + 4lg(c))$. Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые с $lg(c)$: $lg N = \frac{2}{3}lg(c) - 3 - 6lg(b) - 4lg(c)$. $lg N = \left(\frac{2}{3} - 4\right)lg(c) - 3 - 6lg(b)$. $lg N = \left(\frac{2}{3} - \frac{12}{3}\right)lg(c) - 3 - 6lg(b)$. $lg N = -\frac{10}{3}lg(c) - 3 - 6lg(b)$.
Ответ: $lg N = -3 - 6lg(b) - \frac{10}{3}lg(c)$.

7) Дано выражение $N = 10^{-4} \cdot a^3 b^3 c^{2/3}$. Прологарифмируем обе части: $lg N = lg(10^{-4} \cdot a^3 b^3 c^{2/3})$. Используем свойство логарифма произведения: $lg N = lg(10^{-4}) + lg(a^3) + lg(b^3) + lg(c^{2/3})$. Применим свойство логарифма степени: $lg N = -4 + 3lg(a) + 3lg(b) + \frac{2}{3}lg(c)$.
Ответ: $lg N = -4 + 3lg(a) + 3lg(b) + \frac{2}{3}lg(c)$.

8) Дано выражение $N = \frac{c^{4/7}}{10^7 a^{2/3} b^9}$. Прологарифмируем обе части: $lg N = lg\left(\frac{c^{4/7}}{10^7 a^{2/3} b^9}\right)$. Используем свойство логарифма частного: $lg N = lg(c^{4/7}) - lg(10^7 a^{2/3} b^9)$. Применим свойство логарифма степени к первому слагаемому и свойство логарифма произведения ко второму: $lg N = \frac{4}{7}lg(c) - (lg(10^7) + lg(a^{2/3}) + lg(b^9))$. Применим свойство логарифма степени: $lg N = \frac{4}{7}lg(c) - \left(7 + \frac{2}{3}lg(a) + 9lg(b)\right)$. Раскроем скобки: $lg N = \frac{4}{7}lg(c) - 7 - \frac{2}{3}lg(a) - 9lg(b)$.
Ответ: $lg N = -7 - \frac{2}{3}lg(a) - 9lg(b) + \frac{4}{7}lg(c)$.

185. Докажите:

1) $log_5 6 + log_4 5 > -1$;

2) $log_{\frac{1}{4}} 2 + log_{\frac{2}{3}} 4 < 1$;

3) $8^{log_7 9} = 9^{log_7 8}$;

4) $\left(\frac{1}{6}\right)^{log_4 \frac{1}{7}} = \left(\frac{1}{7}\right)^{log_4 \frac{1}{6}}$.

1) Докажите: $ \log_{5}{6} + \log_{4}{5} > -1 $

Решение:
Рассмотрим каждое слагаемое в левой части неравенства.
Первое слагаемое $ \log_{5}{6} $. Так как $ 5^1 = 5 $, а $ 6 > 5 $, то $ \log_{5}{6} > \log_{5}{5} $. Следовательно, $ \log_{5}{6} > 1 $.
Второе слагаемое $ \log_{4}{5} $. Так как $ 4^1 = 4 $, а $ 5 > 4 $, то $ \log_{4}{5} > \log_{4}{4} $. Следовательно, $ \log_{4}{5} > 1 $.
Сумма двух чисел, каждое из которых больше 1, будет больше, чем $ 1 + 1 = 2 $.
$ \log_{5}{6} + \log_{4}{5} > 1 + 1 = 2 $.
Поскольку $ 2 > -1 $, то и $ \log_{5}{6} + \log_{4}{5} > -1 $, что и требовалось доказать.
Ответ: Неравенство доказано.

2) Докажите: $ \log_{\frac{1}{4}}{2} + \log_{\frac{2}{3}}{4} < 1 $

Решение:
Преобразуем каждое слагаемое.
Первое слагаемое: $ \log_{\frac{1}{4}}{2} $. Используем свойство логарифма $ \log_{a^n}{b} = \frac{1}{n}\log_{a}{b} $.
$ \log_{\frac{1}{4}}{2} = \log_{4^{-1}}{2} = -1 \cdot \log_{4}{2} $.
Так как $ 4^{\frac{1}{2}} = 2 $, то $ \log_{4}{2} = \frac{1}{2} $.
Следовательно, $ \log_{\frac{1}{4}}{2} = -1 \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} $.
Второе слагаемое: $ \log_{\frac{2}{3}}{4} $. Основание логарифма $ \frac{2}{3} $ находится в интервале $ (0; 1) $, а число под логарифмом $ 4 > 1 $. Это означает, что значение логарифма будет отрицательным.
Действительно, если $ \log_{\frac{2}{3}}{4} = x $, то $ (\frac{2}{3})^x = 4 $. Так как $ \frac{2}{3} < 1 $, для получения числа $ 4 > 1 $ показатель степени $ x $ должен быть отрицательным.
Сумма двух отрицательных чисел (или отрицательного и нуля) всегда отрицательна. $ \log_{\frac{1}{4}}{2} + \log_{\frac{2}{3}}{4} = -\frac{1}{2} + (\text{отрицательное число}) $.
Результат будет меньше, чем $ -\frac{1}{2} $.
Так как любое число, меньшее $ -\frac{1}{2} $, также меньше 1, то неравенство $ \log_{\frac{1}{4}}{2} + \log_{\frac{2}{3}}{4} < 1 $ является верным.
Ответ: Неравенство доказано.

3) Докажите: $ 8^{\log_{7}{9}} = 9^{\log_{7}{8}} $

Решение:
Для доказательства воспользуемся свойством логарифмов: $ a^{\log_{c}{b}} = b^{\log_{c}{a}} $.
Докажем это свойство. Прологарифмируем левую часть по основанию c:
$ \log_{c}{(a^{\log_{c}{b}})} = (\log_{c}{b}) \cdot (\log_{c}{a}) $.
Теперь прологарифмируем правую часть по основанию c:
$ \log_{c}{(b^{\log_{c}{a}})} = (\log_{c}{a}) \cdot (\log_{c}{b}) $.
Правые части выражений равны, следовательно, равны и левые: $ \log_{c}{(a^{\log_{c}{b}})} = \log_{c}{(b^{\log_{c}{a}})} $.
Так как логарифмическая функция монотонна, то из равенства логарифмов следует равенство выражений под ними: $ a^{\log_{c}{b}} = b^{\log_{c}{a}} $.
Применим это свойство к исходному равенству, где $ a=8, b=9, c=7 $.
$ 8^{\log_{7}{9}} = 9^{\log_{7}{8}} $ является прямым применением данного свойства.
Альтернативный способ: прологарифмировать обе части равенства по основанию 7.
$ \log_{7}{(8^{\log_{7}{9}})} = \log_{7}{(9^{\log_{7}{8}})} $
$ (\log_{7}{9}) \cdot (\log_{7}{8}) = (\log_{7}{8}) \cdot (\log_{7}{9}) $
Получено тождество, следовательно, исходное равенство верно.
Ответ: Равенство доказано.

4) Докажите: $ (\frac{1}{6})^{\log_{4}{\frac{1}{7}}} = (\frac{1}{7})^{\log_{4}{\frac{1}{6}}} $

Решение:
Данное равенство также является частным случаем свойства $ a^{\log_{c}{b}} = b^{\log_{c}{a}} $, доказанного в предыдущем пункте.
В данном случае $ a = \frac{1}{6} $, $ b = \frac{1}{7} $ и $ c = 4 $.
Подставляя эти значения в формулу свойства, получаем:
$ (\frac{1}{6})^{\log_{4}{\frac{1}{7}}} = (\frac{1}{7})^{\log_{4}{\frac{1}{6}}} $
Это в точности совпадает с выражением, которое требовалось доказать.
Также можно прологарифмировать обе части по основанию 4:
$ \log_{4}{((\frac{1}{6})^{\log_{4}{\frac{1}{7}}})} = \log_{4}{((\frac{1}{7})^{\log_{4}{\frac{1}{6}}})} $
Используя свойство логарифма степени $ \log_x(y^z) = z \cdot \log_x(y) $, получаем:
$ (\log_{4}{\frac{1}{7}}) \cdot (\log_{4}{\frac{1}{6}}) = (\log_{4}{\frac{1}{6}}) \cdot (\log_{4}{\frac{1}{7}}) $
Получено тождество, так как от перемены мест множителей произведение не изменяется. Следовательно, исходное равенство верно.
Ответ: Равенство доказано.