Номер 179, страница 87 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

Вычислите (179—181):

179.1) $log_2 log_2 log_3 81$;

2) $log_2 log_3 log_{1/3} \frac{1}{27}$;

3) $log_{\sqrt{3}} log_5 125$;

4) $log_4 log_3 81$.

1) $\log_2 \log_2 \log_3 81$

Решение:

Для вычисления значения данного выражения необходимо действовать последовательно, начиная с самого внутреннего логарифма.

1. Вычислим значение $\log_3 81$. Логарифм $\log_a b$ – это степень, в которую нужно возвести основание $a$, чтобы получить число $b$. Нам нужно найти такое число $x$, что $3^x = 81$.

Поскольку $81 = 9 \cdot 9 = 3^2 \cdot 3^2 = 3^4$, то $x=4$.

Следовательно, $\log_3 81 = 4$.

2. Теперь исходное выражение принимает вид: $\log_2 \log_2 4$.

3. Вычислим следующий по порядку логарифм: $\log_2 4$.

Нам нужно найти такое число $y$, что $2^y = 4$. Так как $4 = 2^2$, то $y=2$.

Значит, $\log_2 4 = 2$.

4. Выражение упрощается до: $\log_2 2$.

5. По свойству логарифмов $\log_a a = 1$.

Таким образом, $\log_2 2 = 1$.

Ответ: $1$.

2) $\log_2 \log_3 \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{27}$

Решение:

Вычисляем пошагово, начиная с внутреннего логарифма.

1. Вычислим $\log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{27}$.

Пусть $\log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{27} = x$. По определению логарифма, $(\frac{1}{3})^x = \frac{1}{27}$.

Так как $\frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = (\frac{1}{3})^3$, то $x=3$.

Следовательно, $\log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{27} = 3$.

2. Подставляем полученное значение в выражение: $\log_2 \log_3 3$.

3. Вычисляем $\log_3 3$. По свойству логарифмов $\log_a a = 1$.

Значит, $\log_3 3 = 1$.

4. Выражение принимает вид: $\log_2 1$.

5. По свойству логарифмов $\log_a 1 = 0$ для любого допустимого основания $a$.

Следовательно, $\log_2 1 = 0$.

Ответ: $0$.

3) $\log_{\sqrt{3}} \log_5 125$

Решение:

Вычисляем последовательно изнутри наружу.

1. Вычислим внутренний логарифм $\log_5 125$.

Нужно найти такое число $x$, что $5^x = 125$.

Поскольку $125 = 5 \cdot 25 = 5 \cdot 5^2 = 5^3$, то $x=3$.

Таким образом, $\log_5 125 = 3$.

2. Подставляем результат в исходное выражение: $\log_{\sqrt{3}} 3$.

3. Вычислим $\log_{\sqrt{3}} 3$.

Пусть $\log_{\sqrt{3}} 3 = y$. По определению логарифма, $(\sqrt{3})^y = 3$.

Представим $\sqrt{3}$ как $3^{1/2}$. Тогда уравнение примет вид $(3^{1/2})^y = 3^1$.

По свойству степеней $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем $3^{y/2} = 3^1$.

Приравнивая показатели степеней, имеем $\frac{y}{2} = 1$, откуда $y=2$.

Следовательно, $\log_{\sqrt{3}} 3 = 2$.

Ответ: $2$.

4) $\log_4 \log_3 81$

Решение:

Вычисляем пошагово, начиная с внутреннего логарифма.

1. Вычислим $\log_3 81$.

Нужно найти такое число $x$, что $3^x = 81$.

Так как $81 = 3^4$, то $\log_3 81 = 4$.

2. Подставим полученное значение в выражение: $\log_4 4$.

3. По свойству логарифмов $\log_a a = 1$.

Таким образом, $\log_4 4 = 1$.

Ответ: $1$.