Номер 173, страница 86 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

173.

1) 243; $ \frac{1}{81} $; 27, $ a = 3; $

2) 5; 25; $ \frac{1}{625} $, $ a = \frac{1}{5}; $

3) 4; 8; $ \frac{1}{32} $, $ a = \frac{1}{2}; $

4) 3; 9; $ \frac{1}{27} $, $ a = \frac{1}{3}. $

1)

Дано: Числа $243; \frac{1}{81}; 27$ и основание $a = 3$.

Найти: Представить данные числа в виде степени с основанием $a=3$.

Решение:

Требуется найти для каждого числа $N$ такое значение $x$, чтобы выполнялось равенство $3^x = N$.

Для числа $243$: необходимо найти степень, в которую нужно возвести 3, чтобы получить 243.$3^1 = 3$$3^2 = 9$$3^3 = 27$$3^4 = 81$$3^5 = 243$Следовательно, $243 = 3^5$.

Для числа $\frac{1}{81}$: сначала представим знаменатель $81$ как степень числа 3: $81 = 3^4$. Затем воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем $b^{-n} = \frac{1}{b^n}$: $\frac{1}{81} = \frac{1}{3^4} = 3^{-4}$.

Для числа $27$: из вычислений выше видно, что $27 = 3^3$.

Ответ: $243 = 3^5$; $\frac{1}{81} = 3^{-4}$; $27 = 3^3$.

2)

Дано: Числа $5; 25; \frac{1}{625}$ и основание $a = \frac{1}{5}$.

Найти: Представить данные числа в виде степени с основанием $a=\frac{1}{5}$.

Решение:

Требуется найти для каждого числа $N$ такое значение $x$, чтобы выполнялось равенство $(\frac{1}{5})^x = N$.

Для числа $5$: используем свойство $b = (\frac{1}{b})^{-1}$. Применив это для $b=5$, получаем $5 = (\frac{1}{5})^{-1}$.

Для числа $25$: представим $25$ как степень числа 5: $25 = 5^2$. Подставив выражение для $5$ из предыдущего пункта, получаем: $25 = 5^2 = ((\frac{1}{5})^{-1})^2 = (\frac{1}{5})^{-2}$.

Для числа $\frac{1}{625}$: представим $625$ как степень числа 5: $625 = 5^4$. Тогда $\frac{1}{625} = \frac{1}{5^4}$. Используя свойство $(\frac{1}{b})^n = \frac{1}{b^n}$, получаем $\frac{1}{5^4} = (\frac{1}{5})^4$.

Ответ: $5 = (\frac{1}{5})^{-1}$; $25 = (\frac{1}{5})^{-2}$; $\frac{1}{625} = (\frac{1}{5})^4$.

3)

Дано: Числа $4; 8; \frac{1}{32}$ и основание $a = \frac{1}{2}$.

Найти: Представить данные числа в виде степени с основанием $a=\frac{1}{2}$.

Решение:

Требуется найти для каждого числа $N$ такое значение $x$, чтобы выполнялось равенство $(\frac{1}{2})^x = N$.

Для числа $4$: представим 4 как степень числа 2: $4 = 2^2$. Используя свойство $b = (\frac{1}{b})^{-1}$, получаем $2 = (\frac{1}{2})^{-1}$. Следовательно, $4 = 2^2 = ((\frac{1}{2})^{-1})^2 = (\frac{1}{2})^{-2}$.

Для числа $8$: представим 8 как степень числа 2: $8 = 2^3$. Аналогично, $8 = 2^3 = ((\frac{1}{2})^{-1})^3 = (\frac{1}{2})^{-3}$.

Для числа $\frac{1}{32}$: представим $32$ как степень числа 2: $32 = 2^5$. Используя свойство $(\frac{1}{b})^n = \frac{1}{b^n}$, получаем $\frac{1}{32} = \frac{1}{2^5} = (\frac{1}{2})^5$.

Ответ: $4 = (\frac{1}{2})^{-2}$; $8 = (\frac{1}{2})^{-3}$; $\frac{1}{32} = (\frac{1}{2})^5$.

4)

Дано: Числа $3; 9; \frac{1}{27}$ и основание $a = \frac{1}{3}$.

Найти: Представить данные числа в виде степени с основанием $a=\frac{1}{3}$.

Решение:

Требуется найти для каждого числа $N$ такое значение $x$, чтобы выполнялось равенство $(\frac{1}{3})^x = N$.

Для числа $3$: используя свойство $b = (\frac{1}{b})^{-1}$, получаем $3 = (\frac{1}{3})^{-1}$.

Для числа $9$: представим 9 как степень числа 3: $9 = 3^2$. Подставив выражение для $3$ из предыдущего пункта, получаем: $9 = 3^2 = ((\frac{1}{3})^{-1})^2 = (\frac{1}{3})^{-2}$.

Для числа $\frac{1}{27}$: представим $27$ как степень числа 3: $27 = 3^3$. Используя свойство $(\frac{1}{b})^n = \frac{1}{b^n}$, получаем $\frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = (\frac{1}{3})^3$.

Ответ: $3 = (\frac{1}{3})^{-1}$; $9 = (\frac{1}{3})^{-2}$; $\frac{1}{27} = (\frac{1}{3})^3$.