Номер 169, страница 86 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

169.1) $\log_5 0.04 = -2;$

2) $\log_7 2401 = 4;$

3) $\log_3 \frac{1}{243} = -5;$

4) $\lg 0.001 = -3.$

1) Проверим справедливость равенства $log_5 0,04 = -2$.
По определению логарифма, равенство $log_b a = c$ эквивалентно равенству $b^c = a$.
В данном случае основание $b=5$, число под логарифмом $a=0,04$ и значение логарифма $c=-2$.
Следовательно, нам нужно проверить, верно ли, что $5^{-2} = 0,04$.
Вычислим левую часть равенства: $5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}$.
Представим правую часть равенства в виде обыкновенной дроби: $0,04 = \frac{4}{100} = \frac{1}{25}$.
Так как левая и правая части равны ($\frac{1}{25} = \frac{1}{25}$), исходное равенство является верным.
Ответ: Равенство $log_5 0,04 = -2$ верно.

2) Проверим справедливость равенства $log_7 2401 = 4$.
Согласно определению логарифма, данное равенство эквивалентно степенному равенству $7^4 = 2401$.
Проверим это, вычислив левую часть: $7^4 = 7 \times 7 \times 7 \times 7 = 49 \times 49 = 2401$.
Так как $2401 = 2401$, исходное равенство является верным.
Ответ: Равенство $log_7 2401 = 4$ верно.

3) Проверим справедливость равенства $log_3 \frac{1}{243} = -5$.
По определению логарифма, это равенство можно переписать в виде $3^{-5} = \frac{1}{243}$.
Вычислим левую часть: $3^{-5} = \frac{1}{3^5}$.
Найдем значение $3^5$: $3^5 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 9 \times 9 \times 3 = 81 \times 3 = 243$.
Таким образом, левая часть равна $\frac{1}{243}$.
Поскольку левая и правая части равны ($\frac{1}{243} = \frac{1}{243}$), исходное равенство является верным.
Ответ: Равенство $log_3 \frac{1}{243} = -5$ верно.

4) Проверим справедливость равенства $lg 0,001 = -3$.
Запись $lg$ обозначает десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10: $lg(x) \equiv log_{10}(x)$.
Следовательно, данное равенство можно записать как $log_{10} 0,001 = -3$.
По определению логарифма, это эквивалентно равенству $10^{-3} = 0,001$.
Вычислим левую часть: $10^{-3} = \frac{1}{10^3} = \frac{1}{1000}$.
Представим правую часть в виде обыкновенной дроби: $0,001 = \frac{1}{1000}$.
Так как левая и правая части равны ($\frac{1}{1000} = \frac{1}{1000}$), исходное равенство является верным.
Ответ: Равенство $lg 0,001 = -3$ верно.