Страница 86 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

169.1) $\log_5 0.04 = -2;$

2) $\log_7 2401 = 4;$

3) $\log_3 \frac{1}{243} = -5;$

4) $\lg 0.001 = -3.$

1) Проверим справедливость равенства $log_5 0,04 = -2$.
По определению логарифма, равенство $log_b a = c$ эквивалентно равенству $b^c = a$.
В данном случае основание $b=5$, число под логарифмом $a=0,04$ и значение логарифма $c=-2$.
Следовательно, нам нужно проверить, верно ли, что $5^{-2} = 0,04$.
Вычислим левую часть равенства: $5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}$.
Представим правую часть равенства в виде обыкновенной дроби: $0,04 = \frac{4}{100} = \frac{1}{25}$.
Так как левая и правая части равны ($\frac{1}{25} = \frac{1}{25}$), исходное равенство является верным.
Ответ: Равенство $log_5 0,04 = -2$ верно.

2) Проверим справедливость равенства $log_7 2401 = 4$.
Согласно определению логарифма, данное равенство эквивалентно степенному равенству $7^4 = 2401$.
Проверим это, вычислив левую часть: $7^4 = 7 \times 7 \times 7 \times 7 = 49 \times 49 = 2401$.
Так как $2401 = 2401$, исходное равенство является верным.
Ответ: Равенство $log_7 2401 = 4$ верно.

3) Проверим справедливость равенства $log_3 \frac{1}{243} = -5$.
По определению логарифма, это равенство можно переписать в виде $3^{-5} = \frac{1}{243}$.
Вычислим левую часть: $3^{-5} = \frac{1}{3^5}$.
Найдем значение $3^5$: $3^5 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 9 \times 9 \times 3 = 81 \times 3 = 243$.
Таким образом, левая часть равна $\frac{1}{243}$.
Поскольку левая и правая части равны ($\frac{1}{243} = \frac{1}{243}$), исходное равенство является верным.
Ответ: Равенство $log_3 \frac{1}{243} = -5$ верно.

4) Проверим справедливость равенства $lg 0,001 = -3$.
Запись $lg$ обозначает десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10: $lg(x) \equiv log_{10}(x)$.
Следовательно, данное равенство можно записать как $log_{10} 0,001 = -3$.
По определению логарифма, это эквивалентно равенству $10^{-3} = 0,001$.
Вычислим левую часть: $10^{-3} = \frac{1}{10^3} = \frac{1}{1000}$.
Представим правую часть в виде обыкновенной дроби: $0,001 = \frac{1}{1000}$.
Так как левая и правая части равны ($\frac{1}{1000} = \frac{1}{1000}$), исходное равенство является верным.
Ответ: Равенство $lg 0,001 = -3$ верно.

170.1) $\log_{\sqrt{2}} 16 = 8;$

2) $\log_{\sqrt{3}} 9 = 4;$

3) $\log_{3} 243 = 5;$

4) $\lg 0,1 = -1.$

1) $\log_{\sqrt{2}} 16 = 8$

Решение

По определению логарифма, равенство $\log_a b = c$ эквивалентно равенству $a^c = b$.

Применим это определение к данному выражению. Основание логарифма $a = \sqrt{2}$, значение логарифма $c = 8$, а число под знаком логарифма $b = 16$.

Проверим, выполняется ли равенство $(\sqrt{2})^8 = 16$.

Представим $\sqrt{2}$ как $2$ в степени $1/2$: $\sqrt{2} = 2^{1/2}$.

Тогда $(\sqrt{2})^8 = (2^{1/2})^8$.

Используя свойство степеней $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$, получаем: $2^{(1/2) \cdot 8} = 2^4$.

Вычисляем $2^4 = 16$.

Так как $16 = 16$, исходное равенство верно.

Ответ: Равенство верное.

2) $\log_{\sqrt{3}} 9 = 4$

Решение

Используем определение логарифма: $\log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b$.

В данном случае $a = \sqrt{3}$, $c = 4$, $b = 9$.

Проверим равенство $(\sqrt{3})^4 = 9$.

Представим $\sqrt{3}$ как $3^{1/2}$.

Тогда $(\sqrt{3})^4 = (3^{1/2})^4 = 3^{(1/2) \cdot 4} = 3^2$.

Вычисляем $3^2 = 9$.

Так как $9 = 9$, исходное равенство верно.

Ответ: Равенство верное.

3) $\log_3 243 = 5$

Решение

Используем определение логарифма: $\log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b$.

Здесь $a = 3$, $c = 5$, $b = 243$.

Проверим равенство $3^5 = 243$.

Вычисляем $3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 9 \cdot 9 \cdot 3 = 81 \cdot 3 = 243$.

Так как $243 = 243$, исходное равенство верно.

Ответ: Равенство верное.

4) $\lg 0,1 = -1$

Решение

Обозначение $\lg$ означает десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10: $\lg x = \log_{10} x$.

Таким образом, данное равенство можно переписать как $\log_{10} 0,1 = -1$.

Используем определение логарифма: $\log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b$.

В этом случае $a = 10$, $c = -1$, $b = 0,1$.

Проверим равенство $10^{-1} = 0,1$.

По определению степени с отрицательным показателем, $x^{-n} = 1/x^n$.

Следовательно, $10^{-1} = \frac{1}{10^1} = \frac{1}{10} = 0,1$.

Так как $0,1 = 0,1$, исходное равенство верно.

Ответ: Равенство верное.

171.

1) $ \log_{0.2} 0.008 = 3; $

2) $ \log_{0.3} 0.09 = 2; $

3) $ \log_4 \frac{1}{64} = -3; $

4) $ \lg 10^3 = 3. $

1) $\log_{0,2} 0,008 = 3$

Для проверки верности данного равенства воспользуемся определением логарифма: $\log_b a = c$ равносильно $b^c = a$.

В нашем случае основание логарифма $b = 0,2$, аргумент $a = 0,008$, а значение логарифма $c = 3$.

Подставим эти значения в показательное равенство: $0,2^3 = 0,008$.

Проверим вычисление:

$0,2^3 = 0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,2 = 0,04 \cdot 0,2 = 0,008$.

Поскольку равенство $0,2^3 = 0,008$ выполняется, исходное логарифмическое равенство является верным.

Ответ: Равенство верное.

2) $\log_{0,3} 0,09 = 2$

Согласно определению логарифма, равенство $\log_{0,3} 0,09 = 2$ эквивалентно равенству $0,3^2 = 0,09$.

Проверим, возведя 0,3 в квадрат:

$0,3^2 = 0,3 \cdot 0,3 = 0,09$.

Равенство $0,3^2 = 0,09$ верно, следовательно, исходное логарифмическое равенство также верно.

Ответ: Равенство верное.

3) $\log_{4} \frac{1}{64} = -3$

Используя определение логарифма, перепишем данное равенство в виде показательного: $4^{-3} = \frac{1}{64}$.

Проверим это равенство, используя свойство степени с отрицательным показателем $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$:

$4^{-3} = \frac{1}{4^3}$.

Вычислим знаменатель: $4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 16 \cdot 4 = 64$.

Таким образом, $4^{-3} = \frac{1}{64}$.

Поскольку показательное равенство верно, то и исходное логарифмическое равенство верно.

Ответ: Равенство верное.

4) $\lg 10^3 = 3$

Десятичный логарифм $\lg x$ — это логарифм по основанию 10, то есть $\lg x = \log_{10} x$.

Следовательно, данное равенство можно записать как $\log_{10} 10^3 = 3$.

По свойству логарифма $\log_b b^c = c$, мы видим, что левая часть равна 3.

$\log_{10} 10^3 = 3$.

Получаем $3=3$, что является верным равенством.

Также можно проверить по определению логарифма: $\log_{10} 10^3 = 3$ эквивалентно $10^3 = 10^3$, что очевидно верно.

Ответ: Равенство верное.

Найдите логарифмы данных чисел по основанию a (172–173):

172.1) $5$; $\frac{1}{5}$; $\sqrt{5}$, $a=5$;

2) $64$; $\frac{1}{8}$; $128$, $a=2$;

3) $7$; $\frac{1}{7}$; $49$, $a=7$;

4) $4$; $\frac{1}{16}$; $\frac{1}{64}$, $a=2$.

1)

Дано: Числа $5; \frac{1}{5}; \sqrt{5}$ и основание логарифма $a = 5$.

Найти: $\log_5 5$, $\log_5 \frac{1}{5}$, $\log_5 \sqrt{5}$.

Решение:

По определению, логарифм числа $b$ по основанию $a$ есть показатель степени, в которую нужно возвести $a$, чтобы получить $b$: $\log_a b = x \iff a^x = b$.

1. Найдем $\log_5 5$.
Пусть $\log_5 5 = x$. Тогда по определению $5^x = 5$. Отсюда $x=1$.
Следовательно, $\log_5 5 = 1$.

2. Найдем $\log_5 \frac{1}{5}$.
Пусть $\log_5 \frac{1}{5} = y$. Тогда по определению $5^y = \frac{1}{5}$.
Представим $\frac{1}{5}$ как степень с основанием 5: $\frac{1}{5} = 5^{-1}$.
Получаем уравнение $5^y = 5^{-1}$, откуда $y=-1$.
Следовательно, $\log_5 \frac{1}{5} = -1$.

3. Найдем $\log_5 \sqrt{5}$.
Пусть $\log_5 \sqrt{5} = z$. Тогда по определению $5^z = \sqrt{5}$.
Представим $\sqrt{5}$ как степень с основанием 5: $\sqrt{5} = 5^{\frac{1}{2}}$.
Получаем уравнение $5^z = 5^{\frac{1}{2}}$, откуда $z=\frac{1}{2}$.
Следовательно, $\log_5 \sqrt{5} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $1; -1; \frac{1}{2}$.

2)

Дано: Числа $64; \frac{1}{8}; 128$ и основание логарифма $a = 2$.

Найти: $\log_2 64$, $\log_2 \frac{1}{8}$, $\log_2 128$.

Решение:

По определению, логарифм числа $b$ по основанию $a$ есть показатель степени, в которую нужно возвести $a$, чтобы получить $b$: $\log_a b = x \iff a^x = b$.

1. Найдем $\log_2 64$.
Пусть $\log_2 64 = x$. Тогда по определению $2^x = 64$.
Представим 64 как степень с основанием 2: $64 = 2^6$.
Получаем уравнение $2^x = 2^6$, откуда $x=6$.
Следовательно, $\log_2 64 = 6$.

2. Найдем $\log_2 \frac{1}{8}$.
Пусть $\log_2 \frac{1}{8} = y$. Тогда по определению $2^y = \frac{1}{8}$.
Представим $\frac{1}{8}$ как степень с основанием 2: $\frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3}$.
Получаем уравнение $2^y = 2^{-3}$, откуда $y=-3$.
Следовательно, $\log_2 \frac{1}{8} = -3$.

3. Найдем $\log_2 128$.
Пусть $\log_2 128 = z$. Тогда по определению $2^z = 128$.
Представим 128 как степень с основанием 2: $128 = 2^7$.
Получаем уравнение $2^z = 2^7$, откуда $z=7$.
Следовательно, $\log_2 128 = 7$.

Ответ: $6; -3; 7$.

3)

Дано: Числа $7; \frac{1}{7}; 49$ и основание логарифма $a = 7$.

Найти: $\log_7 7$, $\log_7 \frac{1}{7}$, $\log_7 49$.

Решение:

По определению, логарифм числа $b$ по основанию $a$ есть показатель степени, в которую нужно возвести $a$, чтобы получить $b$: $\log_a b = x \iff a^x = b$.

1. Найдем $\log_7 7$.
Пусть $\log_7 7 = x$. Тогда по определению $7^x = 7$. Отсюда $x=1$.
Следовательно, $\log_7 7 = 1$.

2. Найдем $\log_7 \frac{1}{7}$.
Пусть $\log_7 \frac{1}{7} = y$. Тогда по определению $7^y = \frac{1}{7}$.
Представим $\frac{1}{7}$ как степень с основанием 7: $\frac{1}{7} = 7^{-1}$.
Получаем уравнение $7^y = 7^{-1}$, откуда $y=-1$.
Следовательно, $\log_7 \frac{1}{7} = -1$.

3. Найдем $\log_7 49$.
Пусть $\log_7 49 = z$. Тогда по определению $7^z = 49$.
Представим 49 как степень с основанием 7: $49 = 7^2$.
Получаем уравнение $7^z = 7^2$, откуда $z=2$.
Следовательно, $\log_7 49 = 2$.

Ответ: $1; -1; 2$.

4)

Дано: Числа $4; \frac{1}{16}; \frac{1}{64}$ и основание логарифма $a = 2$.

Найти: $\log_2 4$, $\log_2 \frac{1}{16}$, $\log_2 \frac{1}{64}$.

Решение:

По определению, логарифм числа $b$ по основанию $a$ есть показатель степени, в которую нужно возвести $a$, чтобы получить $b$: $\log_a b = x \iff a^x = b$.

1. Найдем $\log_2 4$.
Пусть $\log_2 4 = x$. Тогда по определению $2^x = 4$.
Представим 4 как степень с основанием 2: $4 = 2^2$.
Получаем уравнение $2^x = 2^2$, откуда $x=2$.
Следовательно, $\log_2 4 = 2$.

2. Найдем $\log_2 \frac{1}{16}$.
Пусть $\log_2 \frac{1}{16} = y$. Тогда по определению $2^y = \frac{1}{16}$.
Представим $\frac{1}{16}$ как степень с основанием 2: $\frac{1}{16} = \frac{1}{2^4} = 2^{-4}$.
Получаем уравнение $2^y = 2^{-4}$, откуда $y=-4$.
Следовательно, $\log_2 \frac{1}{16} = -4$.

3. Найдем $\log_2 \frac{1}{64}$.
Пусть $\log_2 \frac{1}{64} = z$. Тогда по определению $2^z = \frac{1}{64}$.
Представим $\frac{1}{64}$ как степень с основанием 2: $\frac{1}{64} = \frac{1}{2^6} = 2^{-6}$.
Получаем уравнение $2^z = 2^{-6}$, откуда $z=-6$.
Следовательно, $\log_2 \frac{1}{64} = -6$.

Ответ: $2; -4; -6$.

173.

1) 243; $ \frac{1}{81} $; 27, $ a = 3; $

2) 5; 25; $ \frac{1}{625} $, $ a = \frac{1}{5}; $

3) 4; 8; $ \frac{1}{32} $, $ a = \frac{1}{2}; $

4) 3; 9; $ \frac{1}{27} $, $ a = \frac{1}{3}. $

1)

Дано: Числа $243; \frac{1}{81}; 27$ и основание $a = 3$.

Найти: Представить данные числа в виде степени с основанием $a=3$.

Решение:

Требуется найти для каждого числа $N$ такое значение $x$, чтобы выполнялось равенство $3^x = N$.

Для числа $243$: необходимо найти степень, в которую нужно возвести 3, чтобы получить 243.$3^1 = 3$$3^2 = 9$$3^3 = 27$$3^4 = 81$$3^5 = 243$Следовательно, $243 = 3^5$.

Для числа $\frac{1}{81}$: сначала представим знаменатель $81$ как степень числа 3: $81 = 3^4$. Затем воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем $b^{-n} = \frac{1}{b^n}$: $\frac{1}{81} = \frac{1}{3^4} = 3^{-4}$.

Для числа $27$: из вычислений выше видно, что $27 = 3^3$.

Ответ: $243 = 3^5$; $\frac{1}{81} = 3^{-4}$; $27 = 3^3$.

2)

Дано: Числа $5; 25; \frac{1}{625}$ и основание $a = \frac{1}{5}$.

Найти: Представить данные числа в виде степени с основанием $a=\frac{1}{5}$.

Решение:

Требуется найти для каждого числа $N$ такое значение $x$, чтобы выполнялось равенство $(\frac{1}{5})^x = N$.

Для числа $5$: используем свойство $b = (\frac{1}{b})^{-1}$. Применив это для $b=5$, получаем $5 = (\frac{1}{5})^{-1}$.

Для числа $25$: представим $25$ как степень числа 5: $25 = 5^2$. Подставив выражение для $5$ из предыдущего пункта, получаем: $25 = 5^2 = ((\frac{1}{5})^{-1})^2 = (\frac{1}{5})^{-2}$.

Для числа $\frac{1}{625}$: представим $625$ как степень числа 5: $625 = 5^4$. Тогда $\frac{1}{625} = \frac{1}{5^4}$. Используя свойство $(\frac{1}{b})^n = \frac{1}{b^n}$, получаем $\frac{1}{5^4} = (\frac{1}{5})^4$.

Ответ: $5 = (\frac{1}{5})^{-1}$; $25 = (\frac{1}{5})^{-2}$; $\frac{1}{625} = (\frac{1}{5})^4$.

3)

Дано: Числа $4; 8; \frac{1}{32}$ и основание $a = \frac{1}{2}$.

Найти: Представить данные числа в виде степени с основанием $a=\frac{1}{2}$.

Решение:

Требуется найти для каждого числа $N$ такое значение $x$, чтобы выполнялось равенство $(\frac{1}{2})^x = N$.

Для числа $4$: представим 4 как степень числа 2: $4 = 2^2$. Используя свойство $b = (\frac{1}{b})^{-1}$, получаем $2 = (\frac{1}{2})^{-1}$. Следовательно, $4 = 2^2 = ((\frac{1}{2})^{-1})^2 = (\frac{1}{2})^{-2}$.

Для числа $8$: представим 8 как степень числа 2: $8 = 2^3$. Аналогично, $8 = 2^3 = ((\frac{1}{2})^{-1})^3 = (\frac{1}{2})^{-3}$.

Для числа $\frac{1}{32}$: представим $32$ как степень числа 2: $32 = 2^5$. Используя свойство $(\frac{1}{b})^n = \frac{1}{b^n}$, получаем $\frac{1}{32} = \frac{1}{2^5} = (\frac{1}{2})^5$.

Ответ: $4 = (\frac{1}{2})^{-2}$; $8 = (\frac{1}{2})^{-3}$; $\frac{1}{32} = (\frac{1}{2})^5$.

4)

Дано: Числа $3; 9; \frac{1}{27}$ и основание $a = \frac{1}{3}$.

Найти: Представить данные числа в виде степени с основанием $a=\frac{1}{3}$.

Решение:

Требуется найти для каждого числа $N$ такое значение $x$, чтобы выполнялось равенство $(\frac{1}{3})^x = N$.

Для числа $3$: используя свойство $b = (\frac{1}{b})^{-1}$, получаем $3 = (\frac{1}{3})^{-1}$.

Для числа $9$: представим 9 как степень числа 3: $9 = 3^2$. Подставив выражение для $3$ из предыдущего пункта, получаем: $9 = 3^2 = ((\frac{1}{3})^{-1})^2 = (\frac{1}{3})^{-2}$.

Для числа $\frac{1}{27}$: представим $27$ как степень числа 3: $27 = 3^3$. Используя свойство $(\frac{1}{b})^n = \frac{1}{b^n}$, получаем $\frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = (\frac{1}{3})^3$.

Ответ: $3 = (\frac{1}{3})^{-1}$; $9 = (\frac{1}{3})^{-2}$; $\frac{1}{27} = (\frac{1}{3})^3$.

Вычислите (174—177):

174. 1) $ \log_{12} 3 + \log_{12} 4; $

2) $ \log_7 98 - \log_7 2; $

3) $ \log_2 5 - \log_2 35 + \log_2 56; $

4) $ \log_{\frac{1}{3}} 5 - \log_{\frac{1}{3}} 405 + \log_{\frac{1}{3}} 9. $

1)

Дано:
$log_{12} 3 + log_{12} 4$

Найти:
Значение выражения.

Решение:
Для решения используем свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием: $log_a b + log_a c = log_a (b \cdot c)$.
Применим это свойство к данному выражению:
$log_{12} 3 + log_{12} 4 = log_{12} (3 \cdot 4) = log_{12} 12$.
По определению логарифма, логарифм числа по основанию, равному этому числу, равен единице: $log_a a = 1$.
Следовательно, $log_{12} 12 = 1$.
Ответ: 1

2)

Дано:
$log_7 98 - log_7 2$

Найти:
Значение выражения.

Решение:
Для решения используем свойство разности логарифмов с одинаковым основанием: $log_a b - log_a c = log_a (b / c)$.
Применим это свойство к данному выражению:
$log_7 98 - log_7 2 = log_7 (98 / 2) = log_7 49$.
Теперь вычислим значение логарифма. Нам нужно найти степень, в которую нужно возвести основание 7, чтобы получить 49. Так как $7^2 = 49$, то $log_7 49 = 2$.
Ответ: 2

3)

Дано:
$log_2 5 - log_2 35 + log_2 56$

Найти:
Значение выражения.

Решение:
Для решения используем свойства суммы и разности логарифмов с одинаковым основанием: $log_a b - log_a c + log_a d = log_a ((b \cdot d) / c)$.
Применим эти свойства к данному выражению:
$log_2 5 - log_2 35 + log_2 56 = log_2 \frac{5 \cdot 56}{35}$.
Упростим выражение под знаком логарифма:
$\frac{5 \cdot 56}{35} = \frac{5 \cdot 56}{5 \cdot 7} = \frac{56}{7} = 8$.
Получаем $log_2 8$.
Теперь вычислим значение логарифма. Нам нужно найти степень, в которую нужно возвести основание 2, чтобы получить 8. Так как $2^3 = 8$, то $log_2 8 = 3$.
Ответ: 3

4)

Дано:
$log_{1/3} 5 - log_{1/3} 405 + log_{1/3} 9$

Найти:
Значение выражения.

Решение:
Для решения используем свойства суммы и разности логарифмов с одинаковым основанием: $log_a b - log_a c + log_a d = log_a ((b \cdot d) / c)$.
Применим эти свойства к данному выражению:
$log_{1/3} 5 - log_{1/3} 405 + log_{1/3} 9 = log_{1/3} \frac{5 \cdot 9}{405}$.
Упростим выражение под знаком логарифма:
$\frac{5 \cdot 9}{405} = \frac{45}{405}$.
Разделим числитель и знаменатель на 45: $405 \div 45 = 9$. Таким образом, $\frac{45}{405} = \frac{1}{9}$.
Получаем $log_{1/3} (\frac{1}{9})$.
Теперь вычислим значение логарифма. Нам нужно найти степень $x$, в которую нужно возвести основание $\frac{1}{3}$, чтобы получить $\frac{1}{9}$.
Уравнение имеет вид: $(\frac{1}{3})^x = \frac{1}{9}$.
Так как $(\frac{1}{3})^2 = \frac{1^2}{3^2} = \frac{1}{9}$, то $x = 2$.
Следовательно, $log_{1/3} (\frac{1}{9}) = 2$.
Ответ: 2

175.

1) $3^{\log_3 5} + 5^{\log_5 6}$

2) $25^{\log_5 3} + 49^{\log_7 2}$

3) $7^{\log_7 6} - 8^{\log_8 9}$

4) $0,04^{\log_{0,2} 5} + 0,36^{\log_{0,6} 5}$

1) $3^{\log_3 5} + 5^{\log_5 6}$
Дано: Выражение $3^{\log_3 5} + 5^{\log_5 6}$.
Найти: Значение выражения.
Решение:
Для вычисления значения выражения воспользуемся основным логарифмическим тождеством: $a^{\log_a b} = b$.
Применим это тождество к каждому слагаемому по отдельности:
Первое слагаемое: $3^{\log_3 5} = 5$.
Второе слагаемое: $5^{\log_5 6} = 6$.
Теперь выполним сложение полученных результатов:
$5 + 6 = 11$.
Ответ: 11.

2) $25^{\log_5 3} + 49^{\log_7 2}$
Дано: Выражение $25^{\log_5 3} + 49^{\log_7 2}$.
Найти: Значение выражения.
Решение:
Для вычисления воспользуемся свойствами степеней и логарифмов. Основное свойство, которое мы будем использовать, это $a^{\log_a b} = b$. Также нам понадобится свойство степени $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$ и свойство логарифма $n \cdot \log_a b = \log_a(b^n)$.
Рассмотрим первое слагаемое $25^{\log_5 3}$:
Представим основание 25 как $5^2$:
$25^{\log_5 3} = (5^2)^{\log_5 3} = 5^{2 \cdot \log_5 3}$.
Используя свойство логарифма, внесем множитель 2 в показатель степени под знак логарифма:
$5^{2 \cdot \log_5 3} = 5^{\log_5 (3^2)} = 5^{\log_5 9}$.
Теперь, по основному логарифмическому тождеству:
$5^{\log_5 9} = 9$.
Рассмотрим второе слагаемое $49^{\log_7 2}$:
Представим основание 49 как $7^2$:
$49^{\log_7 2} = (7^2)^{\log_7 2} = 7^{2 \cdot \log_7 2}$.
Внесем множитель 2 под знак логарифма:
$7^{2 \cdot \log_7 2} = 7^{\log_7 (2^2)} = 7^{\log_7 4}$.
По основному логарифмическому тождеству:
$7^{\log_7 4} = 4$.
Теперь сложим полученные результаты:
$9 + 4 = 13$.
Ответ: 13.

3) $7^{\log_7 6} - 8^{\log_8 9}$
Дано: Выражение $7^{\log_7 6} - 8^{\log_8 9}$.
Найти: Значение выражения.
Решение:
Для вычисления значения выражения воспользуемся основным логарифмическим тождеством: $a^{\log_a b} = b$.
Применим это тождество к уменьшаемому и вычитаемому:
Уменьшаемое: $7^{\log_7 6} = 6$.
Вычитаемое: $8^{\log_8 9} = 9$.
Теперь выполним вычитание:
$6 - 9 = -3$.
Ответ: -3.

4) $0.04^{\log_{0.2} 5} + 0.36^{\log_{0.6} 5}$
Дано: Выражение $0.04^{\log_{0.2} 5} + 0.36^{\log_{0.6} 5}$.
Найти: Значение выражения.
Решение:
Для решения этого примера преобразуем основания степеней так, чтобы они совпадали с основаниями логарифмов.
Рассмотрим первое слагаемое $0.04^{\log_{0.2} 5}$:
Заметим, что $0.04 = (0.2)^2$. Подставим это в выражение:
$(0.2^2)^{\log_{0.2} 5}$.
Используя свойство степени $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$, получаем:
$0.2^{2 \cdot \log_{0.2} 5}$.
Далее, используя свойство логарифма $n \cdot \log_a b = \log_a(b^n)$, внесем 2 в показатель степени числа под логарифмом:
$0.2^{\log_{0.2} (5^2)} = 0.2^{\log_{0.2} 25}$.
По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$:
$0.2^{\log_{0.2} 25} = 25$.
Рассмотрим второе слагаемое $0.36^{\log_{0.6} 5}$:
Заметим, что $0.36 = (0.6)^2$. Подставим это в выражение:
$(0.6^2)^{\log_{0.6} 5}$.
Аналогично первому слагаемому, преобразуем выражение:
$0.6^{2 \cdot \log_{0.6} 5} = 0.6^{\log_{0.6} (5^2)} = 0.6^{\log_{0.6} 25}$.
По основному логарифмическому тождеству:
$0.6^{\log_{0.6} 25} = 25$.
Теперь сложим полученные результаты:
$25 + 25 = 50$.
Ответ: 50.

176.

1) $lg4 + lg250;$

2) $\log_2 6 - \log_2 \frac{6}{32};$

3) $(\log_{12} 4 + \log_{12} 36)^2;$

4) $lg 13 - lg 1300.$

1) Для вычисления выражения $lg4 + lg250$ воспользуемся свойством суммы логарифмов с одинаковым основанием: $log_a(b) + log_a(c) = log_a(b \cdot c)$. В данном случае основание $a = 10$ (десятичный логарифм, обозначаемый как $lg$).
$lg4 + lg250 = lg(4 \cdot 250) = lg(1000)$.
По определению логарифма, $log_a(b) = c$ эквивалентно $a^c = b$. Нам нужно найти такое число $c$, что $10^c = 1000$.
Так как $1000 = 10^3$, то $lg(1000) = 3$.
Ответ: 3.

2) Для вычисления выражения $log_2(6) - log_2(\frac{6}{32})$ воспользуемся свойством разности логарифмов с одинаковым основанием: $log_a(b) - log_a(c) = log_a(\frac{b}{c})$.
$log_2(6) - log_2(\frac{6}{32}) = log_2(\frac{6}{\frac{6}{32}}) = log_2(6 \cdot \frac{32}{6}) = log_2(32)$.
Нам нужно найти такое число $c$, что $2^c = 32$.
Так как $32 = 2^5$, то $log_2(32) = 5$.
Ответ: 5.

3) Для вычисления выражения $(log_{12}(4) + log_{12}(36))^2$ сначала упростим выражение в скобках, используя свойство суммы логарифмов: $log_a(b) + log_a(c) = log_a(b \cdot c)$.
$log_{12}(4) + log_{12}(36) = log_{12}(4 \cdot 36) = log_{12}(144)$.
Нам нужно найти такое число $c$, что $12^c = 144$.
Так как $144 = 12^2$, то $log_{12}(144) = 2$.
Теперь возведем полученный результат в квадрат: $(2)^2 = 4$.
Ответ: 4.

4) Для вычисления выражения $lg(13) - lg(1300)$ воспользуемся свойством разности логарифмов: $log_a(b) - log_a(c) = log_a(\frac{b}{c})$.
$lg(13) - lg(1300) = lg(\frac{13}{1300}) = lg(\frac{1}{100})$.
Нам нужно найти такое число $c$, что $10^c = \frac{1}{100}$.
Так как $\frac{1}{100} = \frac{1}{10^2} = 10^{-2}$, то $lg(\frac{1}{100}) = -2$.
Ответ: -2.

177. 1) $\left(\frac{\lg 8+\lg 18}{2 \lg 2+\lg 3}\right)^{3}$;

2) $\left(\frac{\log _{3} 16}{\log _{3} 4}\right)^{-1}$;

3) $(\log _{2} 13-\log _{2} 52)^{5}$;

4) $(\log _{0,3} 9-2 \log _{0,3} 10)^{4}$.

1)

Для решения воспользуемся свойствами логарифмов: сумма логарифмов $ \log_a b + \log_a c = \log_a(b \cdot c) $ и внесение коэффициента под знак логарифма $ k \cdot \log_a b = \log_a(b^k) $. Запись $ \lg x $ означает десятичный логарифм $ \log_{10} x $.

Сначала преобразуем числитель дроби в скобках:

$ \lg 8 + \lg 18 = \lg(8 \cdot 18) = \lg(144) $.

Так как $ 144 = 12^2 $, то $ \lg(144) = \lg(12^2) = 2 \cdot \lg 12 $.

Теперь преобразуем знаменатель:

$ 2 \cdot \lg 2 + \lg 3 = \lg(2^2) + \lg 3 = \lg 4 + \lg 3 = \lg(4 \cdot 3) = \lg 12 $.

Подставим преобразованные числитель и знаменатель обратно в исходное выражение:

$ \left(\frac{2 \cdot \lg 12}{\lg 12}\right)^3 $.

Сокращаем $ \lg 12 $ в числителе и знаменателе, получаем:

$ (2)^3 = 8 $.

Ответ: 8.

2)

Для упрощения выражения в скобках воспользуемся формулой перехода к новому основанию: $ \frac{\log_c a}{\log_c b} = \log_b a $.

Применим эту формулу к дроби в скобках:

$ \frac{\log_3 16}{\log_3 4} = \log_4 16 $.

Так как $ 4^2 = 16 $, то $ \log_4 16 = 2 $.

Теперь возведем полученное значение в степень -1:

$ (2)^{-1} = \frac{1}{2} $.

Ответ: $ \frac{1}{2} $.

3)

Для решения воспользуемся свойством разности логарифмов: $ \log_a b - \log_a c = \log_a\left(\frac{b}{c}\right) $.

Применим это свойство к выражению в скобках:

$ \log_2 13 - \log_2 52 = \log_2\left(\frac{13}{52}\right) $.

Сократим дробь: $ \frac{13}{52} = \frac{1}{4} $.

Таким образом, выражение в скобках равно $ \log_2\left(\frac{1}{4}\right) $. Так как $ 2^{-2} = \frac{1}{4} $, то $ \log_2\left(\frac{1}{4}\right) = -2 $.

Теперь возведем полученное значение в степень 5:

$ (-2)^5 = -32 $.

Ответ: -32.

4)

Для решения воспользуемся свойствами логарифмов: $ k \cdot \log_a b = \log_a(b^k) $ и $ \log_a b - \log_a c = \log_a\left(\frac{b}{c}\right) $.

Сначала преобразуем второе слагаемое в скобках:

$ 2 \cdot \log_{0,3} 10 = \log_{0,3}(10^2) = \log_{0,3} 100 $.

Теперь выражение в скобках имеет вид:

$ \log_{0,3} 9 - \log_{0,3} 100 $.

Применим свойство разности логарифмов:

$ \log_{0,3}\left(\frac{9}{100}\right) = \log_{0,3}(0,09) $.

Так как $ (0,3)^2 = 0,09 $, то $ \log_{0,3}(0,09) = 2 $.

Теперь возведем полученное значение в степень 4:

$ (2)^4 = 16 $.

Ответ: 16.

178. Решите уравнение:

1) $ \log_3 x = -1; $

2) $ \log_2 x = -5; $

3) $ \log_3 x = 2; $

4) $ \log_4 x = 3; $

5) $ \log_4 x = -3; $

6) $ \log_7 x = 0; $

7) $ \log_{\frac{1}{7}} x = 1; $

8) $ \log_{\frac{1}{2}} x = -3. $

1) В уравнении $\log_3 x = -1$ для нахождения $x$ воспользуемся основным определением логарифма: $\log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b$. В данном случае основание $a=3$, значение логарифма $c=-1$, а искомое число $b=x$. Подставив значения, получаем эквивалентное уравнение: $x = 3^{-1}$. Вычисляя степень, находим $x = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$.

2) В уравнении $\log_2 x = -5$ применяем определение логарифма $\log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b$. Здесь $a=2$, $c=-5$, $b=x$. Следовательно, $x = 2^{-5}$. Вычисляем: $x = \frac{1}{2^5} = \frac{1}{32}$.

Ответ: $\frac{1}{32}$.

3) Для уравнения $\log_3 x = 2$ используем то же определение логарифма. Здесь $a=3$, $c=2$, $b=x$. Получаем $x = 3^2$. Вычисляем: $x=9$.

Ответ: $9$.

4) В уравнении $\log_4 x = 3$ по определению логарифма ($a=4$, $c=3$, $b=x$) имеем $x = 4^3$. Вычисляем: $x = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$.

Ответ: $64$.

5) Для уравнения $\log_4 x = -3$ по определению логарифма ($a=4$, $c=-3$, $b=x$) имеем $x = 4^{-3}$. Вычисляем: $x = \frac{1}{4^3} = \frac{1}{64}$.

Ответ: $\frac{1}{64}$.

6) В уравнении $\log_7 x = 0$ по определению логарифма ($a=7$, $c=0$, $b=x$) имеем $x = 7^0$. Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице, поэтому $x=1$.

Ответ: $1$.

7) В уравнении $\log_{\frac{1}{7}} x = 1$ по определению логарифма ($a=\frac{1}{7}$, $c=1$, $b=x$) имеем $x = \left(\frac{1}{7}\right)^1$. Вычисляем: $x = \frac{1}{7}$.

Ответ: $\frac{1}{7}$.

8) Для уравнения $\log_{\frac{1}{2}} x = -3$ по определению логарифма ($a=\frac{1}{2}$, $c=-3$, $b=x$) имеем $x = \left(\frac{1}{2}\right)^{-3}$. Чтобы возвести дробь в отрицательную степень, нужно перевернуть ее и возвести в соответствующую положительную степень: $x = \left(\frac{2}{1}\right)^3 = 2^3$. Вычисляем: $x=8$.

Ответ: $8$.