Номер 175, страница 86 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

175.

1) $3^{\log_3 5} + 5^{\log_5 6}$

2) $25^{\log_5 3} + 49^{\log_7 2}$

3) $7^{\log_7 6} - 8^{\log_8 9}$

4) $0,04^{\log_{0,2} 5} + 0,36^{\log_{0,6} 5}$

1) $3^{\log_3 5} + 5^{\log_5 6}$
Дано: Выражение $3^{\log_3 5} + 5^{\log_5 6}$.
Найти: Значение выражения.
Решение:
Для вычисления значения выражения воспользуемся основным логарифмическим тождеством: $a^{\log_a b} = b$.
Применим это тождество к каждому слагаемому по отдельности:
Первое слагаемое: $3^{\log_3 5} = 5$.
Второе слагаемое: $5^{\log_5 6} = 6$.
Теперь выполним сложение полученных результатов:
$5 + 6 = 11$.
Ответ: 11.

2) $25^{\log_5 3} + 49^{\log_7 2}$
Дано: Выражение $25^{\log_5 3} + 49^{\log_7 2}$.
Найти: Значение выражения.
Решение:
Для вычисления воспользуемся свойствами степеней и логарифмов. Основное свойство, которое мы будем использовать, это $a^{\log_a b} = b$. Также нам понадобится свойство степени $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$ и свойство логарифма $n \cdot \log_a b = \log_a(b^n)$.
Рассмотрим первое слагаемое $25^{\log_5 3}$:
Представим основание 25 как $5^2$:
$25^{\log_5 3} = (5^2)^{\log_5 3} = 5^{2 \cdot \log_5 3}$.
Используя свойство логарифма, внесем множитель 2 в показатель степени под знак логарифма:
$5^{2 \cdot \log_5 3} = 5^{\log_5 (3^2)} = 5^{\log_5 9}$.
Теперь, по основному логарифмическому тождеству:
$5^{\log_5 9} = 9$.
Рассмотрим второе слагаемое $49^{\log_7 2}$:
Представим основание 49 как $7^2$:
$49^{\log_7 2} = (7^2)^{\log_7 2} = 7^{2 \cdot \log_7 2}$.
Внесем множитель 2 под знак логарифма:
$7^{2 \cdot \log_7 2} = 7^{\log_7 (2^2)} = 7^{\log_7 4}$.
По основному логарифмическому тождеству:
$7^{\log_7 4} = 4$.
Теперь сложим полученные результаты:
$9 + 4 = 13$.
Ответ: 13.

3) $7^{\log_7 6} - 8^{\log_8 9}$
Дано: Выражение $7^{\log_7 6} - 8^{\log_8 9}$.
Найти: Значение выражения.
Решение:
Для вычисления значения выражения воспользуемся основным логарифмическим тождеством: $a^{\log_a b} = b$.
Применим это тождество к уменьшаемому и вычитаемому:
Уменьшаемое: $7^{\log_7 6} = 6$.
Вычитаемое: $8^{\log_8 9} = 9$.
Теперь выполним вычитание:
$6 - 9 = -3$.
Ответ: -3.

4) $0.04^{\log_{0.2} 5} + 0.36^{\log_{0.6} 5}$
Дано: Выражение $0.04^{\log_{0.2} 5} + 0.36^{\log_{0.6} 5}$.
Найти: Значение выражения.
Решение:
Для решения этого примера преобразуем основания степеней так, чтобы они совпадали с основаниями логарифмов.
Рассмотрим первое слагаемое $0.04^{\log_{0.2} 5}$:
Заметим, что $0.04 = (0.2)^2$. Подставим это в выражение:
$(0.2^2)^{\log_{0.2} 5}$.
Используя свойство степени $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$, получаем:
$0.2^{2 \cdot \log_{0.2} 5}$.
Далее, используя свойство логарифма $n \cdot \log_a b = \log_a(b^n)$, внесем 2 в показатель степени числа под логарифмом:
$0.2^{\log_{0.2} (5^2)} = 0.2^{\log_{0.2} 25}$.
По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$:
$0.2^{\log_{0.2} 25} = 25$.
Рассмотрим второе слагаемое $0.36^{\log_{0.6} 5}$:
Заметим, что $0.36 = (0.6)^2$. Подставим это в выражение:
$(0.6^2)^{\log_{0.6} 5}$.
Аналогично первому слагаемому, преобразуем выражение:
$0.6^{2 \cdot \log_{0.6} 5} = 0.6^{\log_{0.6} (5^2)} = 0.6^{\log_{0.6} 25}$.
По основному логарифмическому тождеству:
$0.6^{\log_{0.6} 25} = 25$.
Теперь сложим полученные результаты:
$25 + 25 = 50$.
Ответ: 50.