Номер 178, страница 86 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

178. Решите уравнение:

1) $ \log_3 x = -1; $

2) $ \log_2 x = -5; $

3) $ \log_3 x = 2; $

4) $ \log_4 x = 3; $

5) $ \log_4 x = -3; $

6) $ \log_7 x = 0; $

7) $ \log_{\frac{1}{7}} x = 1; $

8) $ \log_{\frac{1}{2}} x = -3. $

1) В уравнении $\log_3 x = -1$ для нахождения $x$ воспользуемся основным определением логарифма: $\log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b$. В данном случае основание $a=3$, значение логарифма $c=-1$, а искомое число $b=x$. Подставив значения, получаем эквивалентное уравнение: $x = 3^{-1}$. Вычисляя степень, находим $x = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$.

2) В уравнении $\log_2 x = -5$ применяем определение логарифма $\log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b$. Здесь $a=2$, $c=-5$, $b=x$. Следовательно, $x = 2^{-5}$. Вычисляем: $x = \frac{1}{2^5} = \frac{1}{32}$.

Ответ: $\frac{1}{32}$.

3) Для уравнения $\log_3 x = 2$ используем то же определение логарифма. Здесь $a=3$, $c=2$, $b=x$. Получаем $x = 3^2$. Вычисляем: $x=9$.

Ответ: $9$.

4) В уравнении $\log_4 x = 3$ по определению логарифма ($a=4$, $c=3$, $b=x$) имеем $x = 4^3$. Вычисляем: $x = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$.

Ответ: $64$.

5) Для уравнения $\log_4 x = -3$ по определению логарифма ($a=4$, $c=-3$, $b=x$) имеем $x = 4^{-3}$. Вычисляем: $x = \frac{1}{4^3} = \frac{1}{64}$.

Ответ: $\frac{1}{64}$.

6) В уравнении $\log_7 x = 0$ по определению логарифма ($a=7$, $c=0$, $b=x$) имеем $x = 7^0$. Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице, поэтому $x=1$.

Ответ: $1$.

7) В уравнении $\log_{\frac{1}{7}} x = 1$ по определению логарифма ($a=\frac{1}{7}$, $c=1$, $b=x$) имеем $x = \left(\frac{1}{7}\right)^1$. Вычисляем: $x = \frac{1}{7}$.

Ответ: $\frac{1}{7}$.

8) Для уравнения $\log_{\frac{1}{2}} x = -3$ по определению логарифма ($a=\frac{1}{2}$, $c=-3$, $b=x$) имеем $x = \left(\frac{1}{2}\right)^{-3}$. Чтобы возвести дробь в отрицательную степень, нужно перевернуть ее и возвести в соответствующую положительную степень: $x = \left(\frac{2}{1}\right)^3 = 2^3$. Вычисляем: $x=8$.

Ответ: $8$.