Номер 185, страница 87 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

185. Докажите:

1) $log_5 6 + log_4 5 > -1$;

2) $log_{\frac{1}{4}} 2 + log_{\frac{2}{3}} 4 < 1$;

3) $8^{log_7 9} = 9^{log_7 8}$;

4) $\left(\frac{1}{6}\right)^{log_4 \frac{1}{7}} = \left(\frac{1}{7}\right)^{log_4 \frac{1}{6}}$.

1) Докажите: $ \log_{5}{6} + \log_{4}{5} > -1 $

Решение:
Рассмотрим каждое слагаемое в левой части неравенства.
Первое слагаемое $ \log_{5}{6} $. Так как $ 5^1 = 5 $, а $ 6 > 5 $, то $ \log_{5}{6} > \log_{5}{5} $. Следовательно, $ \log_{5}{6} > 1 $.
Второе слагаемое $ \log_{4}{5} $. Так как $ 4^1 = 4 $, а $ 5 > 4 $, то $ \log_{4}{5} > \log_{4}{4} $. Следовательно, $ \log_{4}{5} > 1 $.
Сумма двух чисел, каждое из которых больше 1, будет больше, чем $ 1 + 1 = 2 $.
$ \log_{5}{6} + \log_{4}{5} > 1 + 1 = 2 $.
Поскольку $ 2 > -1 $, то и $ \log_{5}{6} + \log_{4}{5} > -1 $, что и требовалось доказать.
Ответ: Неравенство доказано.

2) Докажите: $ \log_{\frac{1}{4}}{2} + \log_{\frac{2}{3}}{4} < 1 $

Решение:
Преобразуем каждое слагаемое.
Первое слагаемое: $ \log_{\frac{1}{4}}{2} $. Используем свойство логарифма $ \log_{a^n}{b} = \frac{1}{n}\log_{a}{b} $.
$ \log_{\frac{1}{4}}{2} = \log_{4^{-1}}{2} = -1 \cdot \log_{4}{2} $.
Так как $ 4^{\frac{1}{2}} = 2 $, то $ \log_{4}{2} = \frac{1}{2} $.
Следовательно, $ \log_{\frac{1}{4}}{2} = -1 \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} $.
Второе слагаемое: $ \log_{\frac{2}{3}}{4} $. Основание логарифма $ \frac{2}{3} $ находится в интервале $ (0; 1) $, а число под логарифмом $ 4 > 1 $. Это означает, что значение логарифма будет отрицательным.
Действительно, если $ \log_{\frac{2}{3}}{4} = x $, то $ (\frac{2}{3})^x = 4 $. Так как $ \frac{2}{3} < 1 $, для получения числа $ 4 > 1 $ показатель степени $ x $ должен быть отрицательным.
Сумма двух отрицательных чисел (или отрицательного и нуля) всегда отрицательна. $ \log_{\frac{1}{4}}{2} + \log_{\frac{2}{3}}{4} = -\frac{1}{2} + (\text{отрицательное число}) $.
Результат будет меньше, чем $ -\frac{1}{2} $.
Так как любое число, меньшее $ -\frac{1}{2} $, также меньше 1, то неравенство $ \log_{\frac{1}{4}}{2} + \log_{\frac{2}{3}}{4} < 1 $ является верным.
Ответ: Неравенство доказано.

3) Докажите: $ 8^{\log_{7}{9}} = 9^{\log_{7}{8}} $

Решение:
Для доказательства воспользуемся свойством логарифмов: $ a^{\log_{c}{b}} = b^{\log_{c}{a}} $.
Докажем это свойство. Прологарифмируем левую часть по основанию c:
$ \log_{c}{(a^{\log_{c}{b}})} = (\log_{c}{b}) \cdot (\log_{c}{a}) $.
Теперь прологарифмируем правую часть по основанию c:
$ \log_{c}{(b^{\log_{c}{a}})} = (\log_{c}{a}) \cdot (\log_{c}{b}) $.
Правые части выражений равны, следовательно, равны и левые: $ \log_{c}{(a^{\log_{c}{b}})} = \log_{c}{(b^{\log_{c}{a}})} $.
Так как логарифмическая функция монотонна, то из равенства логарифмов следует равенство выражений под ними: $ a^{\log_{c}{b}} = b^{\log_{c}{a}} $.
Применим это свойство к исходному равенству, где $ a=8, b=9, c=7 $.
$ 8^{\log_{7}{9}} = 9^{\log_{7}{8}} $ является прямым применением данного свойства.
Альтернативный способ: прологарифмировать обе части равенства по основанию 7.
$ \log_{7}{(8^{\log_{7}{9}})} = \log_{7}{(9^{\log_{7}{8}})} $
$ (\log_{7}{9}) \cdot (\log_{7}{8}) = (\log_{7}{8}) \cdot (\log_{7}{9}) $
Получено тождество, следовательно, исходное равенство верно.
Ответ: Равенство доказано.

4) Докажите: $ (\frac{1}{6})^{\log_{4}{\frac{1}{7}}} = (\frac{1}{7})^{\log_{4}{\frac{1}{6}}} $

Решение:
Данное равенство также является частным случаем свойства $ a^{\log_{c}{b}} = b^{\log_{c}{a}} $, доказанного в предыдущем пункте.
В данном случае $ a = \frac{1}{6} $, $ b = \frac{1}{7} $ и $ c = 4 $.
Подставляя эти значения в формулу свойства, получаем:
$ (\frac{1}{6})^{\log_{4}{\frac{1}{7}}} = (\frac{1}{7})^{\log_{4}{\frac{1}{6}}} $
Это в точности совпадает с выражением, которое требовалось доказать.
Также можно прологарифмировать обе части по основанию 4:
$ \log_{4}{((\frac{1}{6})^{\log_{4}{\frac{1}{7}}})} = \log_{4}{((\frac{1}{7})^{\log_{4}{\frac{1}{6}}})} $
Используя свойство логарифма степени $ \log_x(y^z) = z \cdot \log_x(y) $, получаем:
$ (\log_{4}{\frac{1}{7}}) \cdot (\log_{4}{\frac{1}{6}}) = (\log_{4}{\frac{1}{6}}) \cdot (\log_{4}{\frac{1}{7}}) $
Получено тождество, так как от перемены мест множителей произведение не изменяется. Следовательно, исходное равенство верно.
Ответ: Равенство доказано.