Номер 186, страница 92 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

Найдите области определения функции $y = g(x)$ (186–187):

186. 1) $g(x) = \log_3 (3 + 4x);$

2) $g(x) = \log_{\frac{1}{4}} (7 - 2x);$

3) $g(x) = \log_{5,2} (8 - 5x);$

4) $g(x) = \log_{0,7} (x^2 - 49).$

1) g(x) = log₃(3 + 4x)

Решение:

Область определения логарифмической функции $y = \log_a(f(x))$ находится из условия, что аргумент логарифма должен быть строго больше нуля, то есть $f(x) > 0$.

Для данной функции $g(x) = \log_3(3 + 4x)$ необходимо, чтобы выполнялось неравенство:

$3 + 4x > 0$

Решим это линейное неравенство:

$4x > -3$

$x > -\frac{3}{4}$

$x > -0,75$

Следовательно, область определения функции — это все значения $x$, которые больше $-0,75$. В виде интервала это записывается как $(-0,75; +\infty)$.

Ответ: $D(g) = (-0,75; +\infty)$.

2) g(x) = log₁/₄(7 - 2x)

Решение:

Область определения логарифмической функции определяется требованием положительности ее аргумента.

Для функции $g(x) = \log_{\frac{1}{4}}(7 - 2x)$ это условие имеет вид:

$7 - 2x > 0$

Решаем неравенство:

$7 > 2x$

$2x < 7$

$x < \frac{7}{2}$

$x < 3,5$

Таким образом, область определения функции — это интервал $(-\infty; 3,5)$.

Ответ: $D(g) = (-\infty; 3,5)$.

3) g(x) = log₅,₂(8 - 5x)

Решение:

Аргумент логарифмической функции $g(x) = \log_{5,2}(8 - 5x)$ должен быть строго положительным. Запишем и решим соответствующее неравенство:

$8 - 5x > 0$

$8 > 5x$

$5x < 8$

$x < \frac{8}{5}$

$x < 1,6$

Область определения функции — это интервал $(-\infty; 1,6)$.

Ответ: $D(g) = (-\infty; 1,6)$.

4) g(x) = log₀,₇(x² - 49)

Решение:

Для нахождения области определения функции $g(x) = \log_{0,7}(x^2 - 49)$ необходимо решить неравенство, в котором аргумент логарифма больше нуля:

$x^2 - 49 > 0$

Это квадратное неравенство. Разложим левую часть на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(x - 7)(x + 7) > 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Корнями уравнения $(x - 7)(x + 7) = 0$ являются $x_1 = 7$ и $x_2 = -7$. Эти точки делят числовую прямую на три интервала. Графиком функции $y = x^2 - 49$ является парабола с ветвями, направленными вверх, пересекающая ось абсцисс в точках $-7$ и $7$.

Неравенство $x^2 - 49 > 0$ выполняется, когда график находится выше оси $Ox$, то есть на интервалах, где стоит знак «+».

Это соответствует объединению интервалов $x < -7$ и $x > 7$.

Ответ: $D(g) = (-\infty; -7) \cup (7; +\infty)$.