Номер 191, страница 92 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

191. Найдите, сколько точек пересечения имеют графики функций

$y=f(x)$ и $y=g(x)$:

1) $f(x) = \lg x$ и $g(x) = x;$

2) $f(x) = \lg x$ и $g(x) = -x;$

3) $f(x) = \log_2 x$ и $g(x) = x^2;$

4) $f(x) = \log_{\frac{1}{3}} x$ и $g(x) = -x^2.$

$y=\log_{\frac{1}{2}}(x+2)$

$y=-\log_6(x-2)$

1

2

Рис. 35

Для нахождения количества точек пересечения графиков двух функций $y=f(x)$ и $y=g(x)$, необходимо определить количество действительных корней уравнения $f(x)=g(x)$. Мы проанализируем каждую пару функций графически и аналитически.

1) f(x) = lgx и g(x) = x

Нам нужно найти количество решений уравнения $\lg x = x$. Область определения логарифмической функции: $x > 0$. Рассмотрим поведение функций. $y=x$ – это прямая, биссектриса первого и третьего координатных углов. $y=\lg x$ – это логарифмическая функция с основанием 10, она возрастающая и выпуклая вверх (вогнутая). Прямая и выпуклая вверх функция могут пересечься не более чем в двух точках.

Для более точного анализа исследуем их производные. $(x)' = 1$. $(\lg x)' = \frac{1}{x \ln 10}$. Найдем точку, в которой касательная к графику $y=\lg x$ параллельна прямой $y=x$. Для этого приравняем их производные: $\frac{1}{x \ln 10} = 1 \implies x = \frac{1}{\ln 10}$. Так как $\ln 10 \approx 2.302$, то $x_0 = \frac{1}{\ln 10} \approx 0.434$. В этой точке значение функции $y=\lg x$ равно $y_0 = \lg(\frac{1}{\ln 10}) = -\lg(\ln 10) \approx -\lg(2.302) \approx -0.362$. Значение функции $y=x$ в этой точке равно $x_0 \approx 0.434$. Видно, что $x_0 > y_0$.

Рассмотрим разность функций $h(x) = x - \lg x$. Ее производная $h'(x) = 1 - \frac{1}{x \ln 10}$. Производная равна нулю в точке $x_0 = \frac{1}{\ln 10}$. Это точка минимума, так как $h''(x) = \frac{1}{x^2 \ln 10} > 0$ для $x>0$. Минимальное значение функции $h(x)$ равно: $h(x_0) = \frac{1}{\ln 10} - \lg(\frac{1}{\ln 10}) = \frac{1}{\ln 10} + \lg(\ln 10) \approx 0.434 + 0.362 = 0.796$. Поскольку минимальное значение функции $h(x)$ больше нуля, то $h(x) > 0$ для всех $x>0$. Это означает, что $x > \lg x$ всегда. Следовательно, графики функций не пересекаются.

Ответ: 0.

2) f(x) = lgx и g(x) = -x

Ищем количество решений уравнения $\lg x = -x$. Область определения: $x > 0$. Функция $y=\lg x$ является возрастающей на всей области определения. Функция $y=-x$ является убывающей на всей области определения. Возрастающая и убывающая функции могут пересечься не более одного раза.

Чтобы проверить, есть ли пересечение, рассмотрим функцию $h(x) = \lg x + x$. Найдем значения функции на концах некоторого интервала. При $x=0.1$: $h(0.1) = \lg(0.1) + 0.1 = -1 + 0.1 = -0.9 < 0$. При $x=1$: $h(1) = \lg(1) + 1 = 0 + 1 = 1 > 0$. Поскольку функция $h(x)$ непрерывна на отрезке $[0.1, 1]$ и принимает на его концах значения разных знаков, то по теореме о промежуточном значении существует хотя бы одна точка $c \in (0.1, 1)$, в которой $h(c)=0$. Так как мы уже установили, что пересечение может быть только одно, то уравнение имеет ровно одно решение.

Ответ: 1.

3) f(x) = log₂(x) и g(x) = x²

Ищем количество решений уравнения $\log_2 x = x^2$. Область определения: $x > 0$. Функция $y=\log_2 x$ — возрастающая и выпуклая вверх (вогнутая). Функция $y=x^2$ при $x>0$ — возрастающая и выпуклая вниз (выпуклая). Такие функции могут пересечься не более двух раз.

Рассмотрим функцию $h(x) = \log_2 x - x^2$. Ее производная $h'(x) = \frac{1}{x \ln 2} - 2x$. Приравняем производную к нулю, чтобы найти точки экстремума: $\frac{1}{x \ln 2} - 2x = 0 \implies 1 = 2x^2 \ln 2 \implies x^2 = \frac{1}{2 \ln 2} = \frac{1}{\ln 4}$. Положительный корень $x_0 = \frac{1}{\sqrt{\ln 4}} \approx 0.85$. Вторая производная $h''(x) = -\frac{1}{x^2 \ln 2} - 2$ отрицательна для всех $x>0$, следовательно, $x_0$ — точка максимума. Найдем максимальное значение функции: $h(x_0) = \log_2(x_0) - x_0^2 = \log_2\left(\frac{1}{\sqrt{\ln 4}}\right) - \frac{1}{\ln 4} = -\frac{1}{2}\log_2(\ln 4) - \frac{1}{\ln 4}$. $\log_2(\ln 4) = \frac{\ln(\ln 4)}{\ln 2}$. $h(x_0) = -\frac{\ln(\ln 4)}{2\ln 2} - \frac{1}{2\ln 2} = -\frac{\ln(\ln 4) + 1}{2\ln 2}$. Так как $\ln 4 \approx 1.386 > 1$, то $\ln(\ln 4) > \ln 1 = 0$. Значит, числитель $\ln(\ln 4) + 1 > 0$, а знаменатель $2\ln 2 > 0$. Следовательно, максимальное значение $h(x_0)$ отрицательно. Поскольку максимальное значение функции $h(x)$ отрицательно, то $h(x) < 0$ для всех $x > 0$. Это означает, что $\log_2 x < x^2$ всегда. Графики не пересекаются.

Ответ: 0.

4) f(x) = log₁/₃(x) и g(x) = -x²

Ищем количество решений уравнения $\log_{1/3} x = -x^2$. Используя свойство логарифма $\log_{1/a} b = -\log_a b$, перепишем уравнение: $-\log_3 x = -x^2$. Умножив на -1, получим: $\log_3 x = x^2$. Эта задача аналогична предыдущей, только основание логарифма равно 3 вместо 2.

Рассмотрим функцию $h(x) = \log_3 x - x^2$. Ее производная $h'(x) = \frac{1}{x \ln 3} - 2x$. Точка максимума находится из условия $h'(x)=0$, что дает $x_0 = \frac{1}{\sqrt{2 \ln 3}} = \frac{1}{\sqrt{\ln 9}}$. Максимальное значение функции: $h(x_0) = \log_3(x_0) - x_0^2$. Аналогично предыдущему пункту, можно показать, что это значение отрицательно. $h(x_0) = -\frac{\ln(\ln 9)+1}{2\ln 3}$. Так как $\ln 9 \approx 2.197 > 1$, то $\ln(\ln 9) > 0$, и всё выражение отрицательно. Поскольку максимальное значение $h(x)$ отрицательно, $h(x) < 0$ для всех $x>0$. Это означает, что $\log_3 x < x^2$ всегда. Таким образом, уравнение $\log_3 x = x^2$ не имеет решений, а значит, и исходное уравнение $\log_{1/3} x = -x^2$ не имеет решений.

Ответ: 0.