Номер 195, страница 93 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

195. Найдите число точек пересечения графиков функций $y=f(x)$ и $y=g(x):$

1) $f(x) = \log_{\frac{1}{2}} x$ и $g(x) = x - 1$;

2) $f(x) = \lg x$ и $g(x) = x + 1$;

3) $f(x) = \log_5 x$ и $g(x) = 7 + x$;

4) $f(x) = \log_{0.5} x$ и $g(x) = 2 - x$.

1) Чтобы найти число точек пересечения графиков функций $y = f(x) = \log_{\frac{1}{2}}x$ и $y = g(x) = x - 1$, нужно найти количество решений уравнения $\log_{\frac{1}{2}}x = x - 1$.
Рассмотрим свойства функций:
- Функция $f(x) = \log_{\frac{1}{2}}x$ является логарифмической с основанием $\frac{1}{2}$, которое меньше 1. Следовательно, эта функция является строго убывающей на всей своей области определения $x \in (0, +\infty)$.
- Функция $g(x) = x - 1$ является линейной с положительным угловым коэффициентом (равным 1). Следовательно, эта функция является строго возрастающей.
Строго возрастающая и строго убывающая функции могут пересечься не более одного раза.
Проверим, является ли точка $x=1$ решением уравнения.
При $x=1$:
$f(1) = \log_{\frac{1}{2}}(1) = 0$
$g(1) = 1 - 1 = 0$
Поскольку $f(1) = g(1)$, точка $(1, 0)$ является точкой пересечения. Так как других точек пересечения быть не может, то существует ровно одна точка пересечения.

Ответ: 1.

2) Рассмотрим функции $y = f(x) = \lg x$ и $y = g(x) = x + 1$. Точки пересечения являются решениями уравнения $\lg x = x + 1$.
Область определения логарифмической функции: $x > 0$.
На этой области $g(x) = x + 1 > 1$.
Следовательно, для существования решения необходимо, чтобы $f(x) = \lg x > 1$, что выполняется при $x > 10$. Таким образом, если решение существует, то оно должно быть при $x > 10$.
Сравним скорости роста функций, рассмотрев их производные:
$f'(x) = (\lg x)' = \frac{1}{x \ln 10}$
$g'(x) = (x+1)' = 1$
При $x > 10$, $\ln 10 \approx 2.3$, поэтому $x \ln 10 > 10 \times 2.3 = 23$.
Следовательно, $f'(x) = \frac{1}{x \ln 10} < \frac{1}{23} < 1 = g'(x)$.
Это означает, что при $x > 10$ функция $g(x)$ растет быстрее, чем $f(x)$.
Проверим значения функций в точке $x=10$: $f(10) = \lg 10 = 1$ и $g(10) = 10 + 1 = 11$.
Так как $g(10) > f(10)$, а на интервале $(10, +\infty)$ функция $g(x)$ растет быстрее, чем $f(x)$, то расстояние между графиками будет только увеличиваться, и они не пересекутся. На интервале $(0, 10]$ пересечений также нет.
Следовательно, графики функций не пересекаются.

Ответ: 0.

3) Рассмотрим функции $y = f(x) = \log_5 x$ и $y = g(x) = 7 + x$. Точки пересечения являются решениями уравнения $\log_5 x = 7 + x$.
Область определения $x > 0$. На этой области $g(x) = 7+x > 7$.
Для пересечения необходимо, чтобы $\log_5 x > 7$, что означает $x > 5^7$. Это очень большое число.
Сравним производные функций:
$f'(x) = (\log_5 x)' = \frac{1}{x \ln 5}$
$g'(x) = (7+x)' = 1$
Так как $\ln 5 > 1$, то для любого $x > 1$ выполняется $x \ln 5 > 1$, откуда $f'(x) < 1 = g'(x)$. Это означает, что для $x>1$ линейная функция растет быстрее логарифмической.
Проверим значения в точке $x=1$: $f(1) = \log_5 1 = 0$ и $g(1) = 7 + 1 = 8$.
В точке $x=1$ график $g(x)$ находится значительно выше графика $f(x)$. Поскольку при $x > 1$ функция $g(x)$ растет быстрее, графики никогда не пересекутся. На интервале $(0, 1]$ $f(x) \le 0$, а $g(x) > 7$, так что пересечений тоже нет.
Следовательно, графики функций не пересекаются.

Ответ: 0.

4) Рассмотрим уравнение $\log_{0.5} x = 2 - x$. Перенесем все члены в одну сторону: $h(x) = \log_{0.5} x + x - 2 = 0$.
Обе функции $f(x)=\log_{0.5} x$ и $g(x)=2-x$ являются убывающими, поэтому они могут пересекаться более одного раза.
Исследуем функцию $h(x)$ с помощью производной.
$h'(x) = (\log_{0.5} x + x - 2)' = \frac{1}{x \ln(0.5)} + 1 = 1 - \frac{1}{x \ln 2}$.
Найдем точку экстремума, приравняв производную к нулю: $1 - \frac{1}{x \ln 2} = 0 \implies x = \frac{1}{\ln 2}$.
Это точка минимума, так как при $0 < x < \frac{1}{\ln 2}$ производная $h'(x) < 0$ (функция убывает), а при $x > \frac{1}{\ln 2}$ производная $h'(x) > 0$ (функция возрастает).
Исследуем поведение функции $h(x)$:
$\lim_{x\to 0^+} h(x) = \lim_{x\to 0^+} (\log_{0.5} x + x - 2) = +\infty$.
$\lim_{x\to +\infty} h(x) = \lim_{x\to +\infty} (\log_{0.5} x + x - 2) = +\infty$ (линейная функция $x$ растет быстрее, чем логарифмическая убывает).
Значение функции в точке минимума $x_{min} = \frac{1}{\ln 2} \approx 1.44$:
$h_{min} = h(\frac{1}{\ln 2}) = \log_{0.5}(\frac{1}{\ln 2}) + \frac{1}{\ln 2} - 2 = \log_2(\ln 2) + \frac{1}{\ln 2} - 2$.
Приблизительно: $\ln 2 \approx 0.693$, $\log_2(0.693) \approx -0.528$, $\frac{1}{\ln 2} \approx 1.443$.
$h_{min} \approx -0.528 + 1.443 - 2 = -1.085$, что является отрицательным значением.
Функция $h(x)$ непрерывна, убывает от $+\infty$ до отрицательного минимума, а затем возрастает до $+\infty$. Следовательно, график $h(x)$ пересекает ось абсцисс дважды. Это означает, что исходное уравнение имеет два решения.
Можно найти одно из решений подбором: $x=4$. $\log_{0.5} 4 = -2$ и $2 - 4 = -2$.
Следовательно, графики функций пересекаются в двух точках.

Ответ: 2.