Номер 195, страница 93 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

195. Найдите число точек пересечения графиков функций $y=f(x)$ и $y=g(x):$

1) $f(x) = \log_{\frac{1}{2}} x$ и $g(x) = x - 1$;

2) $f(x) = \lg x$ и $g(x) = x + 1$;

3) $f(x) = \log_5 x$ и $g(x) = 7 + x$;

4) $f(x) = \log_{0.5} x$ и $g(x) = 2 - x$.

Количество точек пересечения определяется через анализ поведения функций (возрастание/убывание) и их значений в характерных точках.

1) $f(x) = \log_{1/2} x$ и $g(x) = x - 1$

• $f(x)$ — убывающая функция (основание $1/2 < 1$), определена при $x > 0$.
• $g(x)$ — возрастающая линейная функция.
• Если одна функция убывает, а другая возрастает, они могут пересечься не более одного раза.
• Проверим точку $x = 1$: $f(1) = \log_{1/2} 1 = 0$; $g(1) = 1 - 1 = 0$. Точка $(1; 0)$ — общая.

Ответ: 1 точка.

2) $f(x) = \lg x$ и $g(x) = x + 1$

• $f(x)$ — возрастающая функция, причем её график растет очень медленно и всегда лежит под прямой $y = x$ при $x > 1$.
• $g(x) = x + 1$ — прямая, проходящая выше прямой $y = x$.
• При $x \in (0; 1]$ значения $\lg x \le 0$, в то время как $x + 1 > 1$.
• При $x > 1$ производная $(\lg x)' = \frac{1}{x \ln 10}$ всегда меньше производной $(x + 1)' = 1$. Это значит, что логарифм никогда не «догонит» прямую.

Ответ: 0 точек.

3) $f(x) = \log_5 x$ и $g(x) = 7 + x$

• Аналогично предыдущему случаю: логарифм по основанию $5$ растет гораздо медленнее, чем линейная функция $x + 7$.
• При $x=1$: $f(1)=0, g(1)=8$.
• При $x > 0$ наклон прямой ($k=1$) значительно круче наклона логарифма. Прямая стартует с высокого значения ($y=7$ при приближении $x$ к $0$) и уходит вверх быстрее логарифма.

Ответ: 0 точек.

4) $f(x) = \log_{0,5} x$ и $g(x) = 2 - x$

• $f(x)$ — убывающая функция на всей области определения $(0; +\infty)$.
• $g(x)$ — убывающая линейная функция. Здесь анализ сложнее, так как обе функции убывают.
• Проверим точки:
  • При $x=1$: $f(1)=0, g(1)=2-1=1$ (прямая выше).
  • При $x=2$: $f(2)=-1, g(2)=2-2=0$ (прямая выше).
  • При $x=0,5$: $f(0,5)=1, g(0,5)=2-0,5=1,5$ (прямая выше).
  • При $x=0,25$: $f(0,25)=2, g(0,25)=1,75$ (логарифм стал выше!).
• Так как при малых $x$ логарифм выше, а при больших — ниже, и выпуклость графиков разная, они пересекаются.

Ответ: 1 точка.