Номер 196, страница 93 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

196. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y = f(x)$ на отрезке $[a; b]$:

1) $y = \log_3 x, [1; 9];$

2) $y = \log_{0.5} x, [0.5; 4];$

3) $y = \log_7 x, [1; 7];$

4) $y = \log_{\sqrt{5}} x, [5; 25].$

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений логарифмической функции $y = \log_a x$ на отрезке, необходимо проанализировать ее основание $a$.

• Если основание $a > 1$, функция является возрастающей. Это означает, что наименьшее значение функции достигается в левой границе отрезка (при наименьшем $x$), а наибольшее — в правой границе (при наибольшем $x$).
• Если $0 < a < 1$, функция является убывающей. В этом случае наименьшее значение функции достигается в правой границе отрезка, а наибольшее — в левой.

1) $y = \log_3 x$ на отрезке $[1; 9]$

Основание логарифма $a=3$, что больше 1, следовательно, функция $y = \log_3 x$ является возрастающей.

Наименьшее значение функции на отрезке $[1; 9]$ достигается при $x=1$:

$y_{\text{наим}} = \log_3(1) = 0$

Наибольшее значение функции на отрезке $[1; 9]$ достигается при $x=9$:

$y_{\text{наиб}} = \log_3(9) = \log_3(3^2) = 2$

Ответ: $y_{\text{наим}} = 0$, $y_{\text{наиб}} = 2$.

2) $y = \log_{0,5} x$ на отрезке $[0,5; 4]$

Основание логарифма $a=0,5$, что находится в интервале $(0; 1)$, следовательно, функция $y = \log_{0,5} x$ является убывающей.

Наибольшее значение функции на отрезке $[0,5; 4]$ достигается при $x=0,5$:

$y_{\text{наиб}} = \log_{0,5}(0,5) = 1$

Наименьшее значение функции на отрезке $[0,5; 4]$ достигается при $x=4$:

$y_{\text{наим}} = \log_{0,5}(4) = \log_{1/2}(2^2) = -\log_2(2^2) = -2$

Ответ: $y_{\text{наим}} = -2$, $y_{\text{наиб}} = 1$.

3) $y = \log_7 x$ на отрезке $[1; 7]$

Основание логарифма $a=7$, что больше 1, следовательно, функция $y = \log_7 x$ является возрастающей.

Наименьшее значение функции на отрезке $[1; 7]$ достигается при $x=1$:

$y_{\text{наим}} = \log_7(1) = 0$

Наибольшее значение функции на отрезке $[1; 7]$ достигается при $x=7$:

$y_{\text{наиб}} = \log_7(7) = 1$

Ответ: $y_{\text{наим}} = 0$, $y_{\text{наиб}} = 1$.

4) $y = \log_{\sqrt{5}} x$ на отрезке $[5; 25]$

Основание логарифма $a=\sqrt{5}$, что больше 1 (так как $\sqrt{5} \approx 2,23$), следовательно, функция $y = \log_{\sqrt{5}} x$ является возрастающей.

Наименьшее значение функции на отрезке $[5; 25]$ достигается при $x=5$:

$y_{\text{наим}} = \log_{\sqrt{5}}(5) = \log_{5^{1/2}}(5^1) = \frac{1}{1/2}\log_5(5) = 2 \cdot 1 = 2$

Наибольшее значение функции на отрезке $[5; 25]$ достигается при $x=25$:

$y_{\text{наиб}} = \log_{\sqrt{5}}(25) = \log_{5^{1/2}}(5^2) = \frac{2}{1/2}\log_5(5) = 4 \cdot 1 = 4$

Ответ: $y_{\text{наим}} = 2$, $y_{\text{наиб}} = 4$.