Номер 202, страница 97 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

202. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

1) $y = \frac{4}{x}$, $x = 1$, $x = 4$, $y = 0$;

2) $y = 5^x$, $x = 3$, $x = 0$, $y = 0$.

1) $y = \frac{4}{x}$, $x = 1$, $x = 4$, $y = 0$;

Дано:

Фигура ограничена линиями $y = \frac{4}{x}$, $x=1$, $x=4$, $y=0$.

Найти:

Площадь фигуры $S$.

Решение:

Площадь фигуры, ограниченной графиком непрерывной и неотрицательной функции $y=f(x)$, осью абсцисс $y=0$ и прямыми $x=a$ и $x=b$, вычисляется по формуле определенного интеграла:

$S = \int_a^b f(x) \,dx$

В данном случае имеем $f(x) = \frac{4}{x}$, $a=1$, $b=4$. Функция $f(x) = \frac{4}{x}$ является непрерывной и положительной на отрезке $[1, 4]$.

Вычислим интеграл:

$S = \int_1^4 \frac{4}{x} \,dx = 4 \int_1^4 \frac{1}{x} \,dx$

Первообразной для функции $\frac{1}{x}$ является $\ln|x|$. Применяя формулу Ньютона-Лейбница, получаем:

$S = 4 \cdot [\ln|x|]_1^4 = 4 (\ln|4| - \ln|1|) = 4 (\ln 4 - 0) = 4 \ln 4$.

Ответ: $S = 4 \ln 4$.

2) $y = 5^x$, $x = 3$, $x = 0$, $y = 0$.

Дано:

Фигура ограничена линиями $y = 5^x$, $x=0$, $x=3$, $y=0$.

Найти:

Площадь фигуры $S$.

Решение:

Площадь данной фигуры, как и в предыдущем случае, вычисляется с помощью определенного интеграла. Здесь $f(x) = 5^x$, пределы интегрирования от $a=0$ до $b=3$. Функция $f(x) = 5^x$ является непрерывной и положительной на отрезке $[0, 3]$.

Вычислим интеграл:

$S = \int_0^3 5^x \,dx$

Первообразной для показательной функции $a^x$ является $\frac{a^x}{\ln a}$. Таким образом, первообразная для $5^x$ равна $\frac{5^x}{\ln 5}$. Применяя формулу Ньютона-Лейбница, получаем:

$S = \left[ \frac{5^x}{\ln 5} \right]_0^3 = \frac{5^3}{\ln 5} - \frac{5^0}{\ln 5} = \frac{125}{\ln 5} - \frac{1}{\ln 5} = \frac{124}{\ln 5}$.

Ответ: $S = \frac{124}{\ln 5}$.