Номер 199, страница 97 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

199.

1) $f(x) = \ln x \cdot \sin x;$

2) $y = \ln x^3 + 4 \cdot 6^x;$

3) $f(x) = x^2 \ln(x^2 - 10);$

4) $f(x) = 5 \cdot \ln(x - x^3) \cdot \cos x.$

1) $f(x) = \ln x \cdot \sin x$

Решение:

Для нахождения производной этой функции необходимо использовать правило дифференцирования произведения двух функций: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = \ln x$ и $v(x) = \sin x$.

Найдем производные этих функций:

$u'(x) = (\ln x)' = \frac{1}{x}$

$v'(x) = (\sin x)' = \cos x$

Теперь подставим эти производные в формулу для производной произведения:

$f'(x) = u'v + uv' = (\ln x)' \cdot \sin x + \ln x \cdot (\sin x)' = \frac{1}{x} \cdot \sin x + \ln x \cdot \cos x$.

Ответ: $f'(x) = \frac{\sin x}{x} + \ln x \cos x$.

2) $y = \ln x^3 + 4 \cdot 6^x$

Решение:

Производная суммы равна сумме производных. Найдем производную каждого слагаемого по отдельности.

Для первого слагаемого $(\ln x^3)'$ воспользуемся свойством логарифма $\ln a^b = b \ln a$, что упрощает нахождение производной:

$(\ln x^3)' = (3 \ln x)' = 3 \cdot (\ln x)' = 3 \cdot \frac{1}{x} = \frac{3}{x}$.

Для второго слагаемого $(4 \cdot 6^x)'$ используем правило вынесения константы за знак производной и формулу производной показательной функции $(a^x)' = a^x \ln a$:

$(4 \cdot 6^x)' = 4 \cdot (6^x)' = 4 \cdot 6^x \ln 6$.

Складываем полученные результаты:

$y' = \frac{3}{x} + 4 \cdot 6^x \ln 6$.

Ответ: $y' = \frac{3}{x} + 4 \cdot 6^x \ln 6$.

3) $f(x) = x^2 \ln(x^2 - 10)$

Решение:

Для нахождения производной используем правило дифференцирования произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = x^2$ и $v(x) = \ln(x^2 - 10)$.

Находим производную $u(x)$:

$u'(x) = (x^2)' = 2x$.

Для нахождения производной $v(x)$ применим правило дифференцирования сложной функции (цепное правило), где внешняя функция — натуральный логарифм, а внутренняя — $x^2 - 10$. Формула производной сложной функции $(\ln(g(x)))' = \frac{g'(x)}{g(x)}$:

$v'(x) = (\ln(x^2 - 10))' = \frac{1}{x^2 - 10} \cdot (x^2 - 10)' = \frac{2x}{x^2 - 10}$.

Подставляем найденные производные в правило произведения:

$f'(x) = u'v + uv' = 2x \cdot \ln(x^2 - 10) + x^2 \cdot \frac{2x}{x^2 - 10} = 2x \ln(x^2 - 10) + \frac{2x^3}{x^2 - 10}$.

Ответ: $f'(x) = 2x \ln(x^2 - 10) + \frac{2x^3}{x^2 - 10}$.

4) $f(x) = 5 \cdot \ln(x - x^3) \cdot \cos x$

Решение:

Это производная произведения. Вынесем константу 5 за скобки и применим правило $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = \ln(x - x^3)$ и $v(x) = \cos x$.

Найдем производную $u(x)$ по цепному правилу:

$u'(x) = (\ln(x - x^3))' = \frac{1}{x - x^3} \cdot (x - x^3)' = \frac{1 - 3x^2}{x - x^3}$.

Найдем производную $v(x)$:

$v'(x) = (\cos x)' = -\sin x$.

Теперь применим формулу производной произведения, не забывая про константу 5:

$f'(x) = 5 \cdot (u'v + uv') = 5 \cdot \left(\frac{1 - 3x^2}{x - x^3} \cdot \cos x + \ln(x - x^3) \cdot (-\sin x)\right)$.

Раскроем скобки:

$f'(x) = \frac{5(1 - 3x^2)\cos x}{x - x^3} - 5 \sin x \ln(x - x^3)$.

Ответ: $f'(x) = \frac{5(1 - 3x^2)\cos x}{x - x^3} - 5 \sin x \ln(x - x^3)$.