Номер 203, страница 97 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

Найдите производные функции $y=f(x)$ (203–204):

203. 1) $f(x) = e^{x^3} \cos x;$

2) $f(x) = 5^{\frac{x}{2}} \cdot \operatorname{tg} x;$

3) $f(x) = x^2 \cdot \ln x;$

4) $f(x) = 3^{x^2} \cdot \ln x.$

1) f(x) = e^x3 cos(x)

Решение:

Для нахождения производной функции, которая является произведением двух функций $u(x) = e^{x^3}$ и $v(x) = \cos x$, воспользуемся правилом дифференцирования произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.

Сначала найдем производные для $u(x)$ и $v(x)$.

Производная от $v(x) = \cos x$ равна $v'(x) = -\sin x$.

Функция $u(x) = e^{x^3}$ является сложной функцией. Ее производная находится по правилу дифференцирования сложной функции $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

Внешняя функция $e^y$, ее производная $e^y$. Внутренняя функция $y = x^3$, ее производная $y' = 3x^2$.

Следовательно, $u'(x) = (e^{x^3})' = e^{x^3} \cdot (x^3)' = e^{x^3} \cdot 3x^2$.

Теперь подставим найденные производные в формулу производной произведения:

$f'(x) = (e^{x^3})' \cos x + e^{x^3} (\cos x)' = (3x^2 e^{x^3}) \cos x + e^{x^3} (-\sin x)$.

Вынесем общий множитель $e^{x^3}$ за скобки для упрощения выражения:

$f'(x) = e^{x^3} (3x^2 \cos x - \sin x)$.

Ответ: $f'(x) = e^{x^3} (3x^2 \cos x - \sin x)$.

2) f(x) = 5^x/2 tg(x)

Решение:

Данная функция является произведением двух функций $u(x) = 5^{\frac{x}{2}}$ и $v(x) = \tg x$. Применяем правило дифференцирования произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.

Найдем производные для $u(x)$ и $v(x)$.

Производная от $v(x) = \tg x$ равна $v'(x) = \frac{1}{\cos^2 x}$.

Для нахождения производной $u(x) = 5^{\frac{x}{2}}$ используем правило дифференцирования сложной функции. Внешняя функция $a^y$ (где $a=5$), ее производная $a^y \ln a$. Внутренняя функция $y = \frac{x}{2}$, ее производная $y' = \frac{1}{2}$.

Таким образом, $u'(x) = (5^{\frac{x}{2}})' = 5^{\frac{x}{2}} \ln 5 \cdot (\frac{x}{2})' = 5^{\frac{x}{2}} \ln 5 \cdot \frac{1}{2}$.

Подставляем полученные производные в формулу для производной произведения:

$f'(x) = (5^{\frac{x}{2}})' \tg x + 5^{\frac{x}{2}} (\tg x)' = (\frac{1}{2} \cdot 5^{\frac{x}{2}} \ln 5) \tg x + 5^{\frac{x}{2}} \cdot \frac{1}{\cos^2 x}$.

Вынесем общий множитель $5^{\frac{x}{2}}$ за скобки:

$f'(x) = 5^{\frac{x}{2}} \left( \frac{\ln 5}{2} \tg x + \frac{1}{\cos^2 x} \right)$.

Ответ: $f'(x) = 5^{\frac{x}{2}} \left( \frac{\ln 5}{2} \tg x + \frac{1}{\cos^2 x} \right)$.

3) f(x) = x² · ln(x)

Решение:

Используем правило дифференцирования произведения для функций $u(x) = x^2$ и $v(x) = \ln x$: $(uv)' = u'v + uv'$.

Найдем производные функций $u(x)$ и $v(x)$:

Производная степенной функции $u(x) = x^2$ равна $u'(x) = 2x$.

Производная натурального логарифма $v(x) = \ln x$ равна $v'(x) = \frac{1}{x}$.

Подставим найденные производные в формулу:

$f'(x) = (x^2)' \ln x + x^2 (\ln x)' = 2x \cdot \ln x + x^2 \cdot \frac{1}{x}$.

Упростим второе слагаемое: $x^2 \cdot \frac{1}{x} = x$.

$f'(x) = 2x \ln x + x$.

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$f'(x) = x(2 \ln x + 1)$.

Ответ: $f'(x) = x(2 \ln x + 1)$.

4) f(x) = 3^x2 · ln(x)

Решение:

Применим правило дифференцирования произведения для функций $u(x) = 3^{x^2}$ и $v(x) = \ln x$: $(uv)' = u'v + uv'$.

Найдем производные для $u(x)$ и $v(x)$.

Производная от $v(x) = \ln x$ равна $v'(x) = \frac{1}{x}$.

Функция $u(x) = 3^{x^2}$ является сложной. Внешняя функция $a^y$ (где $a=3$), ее производная $a^y \ln a$. Внутренняя функция $y = x^2$, ее производная $y' = 2x$.

Производная $u(x)$ равна $u'(x) = (3^{x^2})' = 3^{x^2} \ln 3 \cdot (x^2)' = 3^{x^2} \ln 3 \cdot 2x$.

Теперь подставим все в формулу производной произведения:

$f'(x) = (3^{x^2})' \ln x + 3^{x^2} (\ln x)' = (2x \cdot 3^{x^2} \ln 3) \ln x + 3^{x^2} \cdot \frac{1}{x}$.

Вынесем общий множитель $3^{x^2}$ за скобки:

$f'(x) = 3^{x^2} \left( 2x \ln 3 \ln x + \frac{1}{x} \right)$.

Ответ: $f'(x) = 3^{x^2} \left( 2x \ln 3 \ln x + \frac{1}{x} \right)$.