Номер 209, страница 98 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

209.Найдите первообразную для функции $y = g(x)$, график которой проходит через точку $B (a, b)$:

1) $g(x) = 4^x$, $B (\log_2 3; 0)$;

2) $g(x) = \frac{1}{x-3}$, $B (4; -2)$.

1) $g(x) = 4^x$, $B(\log_2 3; 0)$

Дано:

Функция $g(x) = 4^x$.

Точка $B(\log_2 3; 0)$, через которую проходит график первообразной.

Найти:

Первообразную $G(x)$ для функции $g(x)$.

Решение:

Первообразная для функции $g(x)$ есть функция $G(x)$, производная которой равна $g(x)$. Общий вид первообразной для показательной функции $g(x) = a^x$ находится по формуле $G(x) = \frac{a^x}{\ln a} + C$, где $C$ - константа интегрирования.

Для нашей функции $g(x) = 4^x$ общий вид первообразной $G(x)$ следующий:

$G(x) = \int 4^x dx = \frac{4^x}{\ln 4} + C$

По условию, график первообразной $G(x)$ проходит через точку $B(\log_2 3; 0)$. Это означает, что при $x = \log_2 3$, значение функции $G(x)$ равно $0$. Подставим эти значения в формулу для $G(x)$, чтобы найти константу $C$:

$G(\log_2 3) = \frac{4^{\log_2 3}}{\ln 4} + C = 0$

Для нахождения $C$ необходимо вычислить значение $4^{\log_2 3}$. Используем свойства степеней и логарифмов:

$4^{\log_2 3} = (2^2)^{\log_2 3} = 2^{2 \cdot \log_2 3} = 2^{\log_2 (3^2)} = 2^{\log_2 9}$

Используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$, получаем:

$2^{\log_2 9} = 9$

Теперь подставим это значение в уравнение для $C$:

$\frac{9}{\ln 4} + C = 0$

Отсюда находим $C$:

$C = -\frac{9}{\ln 4}$

Теперь, зная $C$, мы можем записать искомую первообразную:

$G(x) = \frac{4^x}{\ln 4} - \frac{9}{\ln 4}$

Это можно записать в виде единой дроби:

$G(x) = \frac{4^x - 9}{\ln 4}$

Ответ: $G(x) = \frac{4^x - 9}{\ln 4}$

2) $g(x) = \frac{1}{x-3}$, $B(4; -2)$

Дано:

Функция $g(x) = \frac{1}{x-3}$.

Точка $B(4; -2)$, через которую проходит график первообразной.

Найти:

Первообразную $G(x)$ для функции $g(x)$.

Решение:

Общий вид первообразной для функции вида $g(x) = \frac{1}{kx+b}$ находится по формуле $G(x) = \frac{1}{k}\ln|kx+b| + C$.

В нашем случае $k=1$ и $b=-3$, поэтому общий вид первообразной для $g(x) = \frac{1}{x-3}$ будет:

$G(x) = \int \frac{1}{x-3} dx = \ln|x-3| + C$

По условию, график первообразной $G(x)$ проходит через точку $B(4; -2)$. Это означает, что при $x = 4$, значение функции $G(x)$ равно $-2$. Подставим эти значения в формулу для $G(x)$, чтобы найти константу $C$:

$G(4) = \ln|4-3| + C = -2$

Вычислим значение логарифма:

$\ln|1| + C = -2$

$\ln(1) + C = -2$

Поскольку $\ln(1) = 0$, получаем:

$0 + C = -2$

$C = -2$

Теперь, зная $C$, мы можем записать искомую первообразную:

$G(x) = \ln|x-3| - 2$

Ответ: $G(x) = \ln|x-3| - 2$