Страница 98 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

205. Найдите промежутки возрастания и убывания функции $y=f(x)$:

1) $f(x) = e^x - ex,$ 2) $f(x) = 2xe^x.$

1) $f(x) = e^x - ex$
Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции, необходимо исследовать знак её производной.

Решение:
1. Находим область определения функции. Функция $f(x) = e^x - ex$ определена для всех действительных чисел $x$, то есть $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (e^x - ex)' = (e^x)' - (ex)' = e^x - e$.

3. Находим критические точки функции, то есть точки, в которых производная равна нулю или не существует. Производная $f'(x) = e^x - e$ существует для всех $x$.
Приравняем производную к нулю:
$f'(x) = 0$
$e^x - e = 0$
$e^x = e$
$x = 1$
Таким образом, у нас есть одна критическая точка $x=1$.

4. Исследуем знак производной на интервалах, на которые критическая точка $x=1$ разбивает область определения $(-\infty; +\infty)$.
- Для интервала $(-\infty; 1)$, возьмем пробную точку, например, $x=0$.
$f'(0) = e^0 - e = 1 - e$. Поскольку $e \approx 2.718$, то $1 - e < 0$. Значит, на этом интервале производная отрицательна, и функция $f(x)$ убывает.
- Для интервала $(1; +\infty)$, возьмем пробную точку, например, $x=2$.
$f'(2) = e^2 - e = e(e-1)$. Поскольку $e > 1$, то $e-1 > 0$, и, следовательно, $e(e-1) > 0$. Значит, на этом интервале производная положительна, и функция $f(x)$ возрастает.

Так как функция непрерывна в точке $x=1$, эту точку можно включать в промежутки.
Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; 1]$ и возрастает на промежутке $[1; +\infty)$.

2) $f(x) = 2xe^x$
Для нахождения промежутков возрастания и убывания этой функции также воспользуемся анализом знака её производной.

Решение:
1. Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим производную функции $f(x)$, используя правило производной произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$:
$f'(x) = (2xe^x)' = (2x)'e^x + 2x(e^x)' = 2e^x + 2xe^x = 2e^x(1+x)$.

3. Находим критические точки. Производная $f'(x) = 2e^x(1+x)$ существует для всех $x$.
Приравняем производную к нулю:
$f'(x) = 0$
$2e^x(1+x) = 0$
Поскольку $e^x > 0$ для любого действительного $x$, то уравнение равносильно следующему:
$1+x = 0$
$x = -1$
Критическая точка — $x=-1$.

4. Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty; -1)$ и $(-1; +\infty)$. Знак $f'(x) = 2e^x(1+x)$ совпадает со знаком выражения $(1+x)$, так как $2e^x$ всегда положительно.
- Для интервала $(-\infty; -1)$, возьмем пробную точку, например, $x=-2$.
$1+x = 1 + (-2) = -1 < 0$. Следовательно, $f'(x) < 0$, и функция $f(x)$ убывает на этом интервале.
- Для интервала $(-1; +\infty)$, возьмем пробную точку, например, $x=0$.
$1+x = 1 + 0 = 1 > 0$. Следовательно, $f'(x) > 0$, и функция $f(x)$ возрастает на этом интервале.

Включая точку $x=-1$ в промежутки (так как функция в ней непрерывна), получаем результат.
Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; -1]$ и возрастает на промежутке $[-1; +\infty)$.

206. Найдите точки экстремума функции $y = f(x)$:

1) $f(x) = e^x - x;$ 2) $f(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^{2x} - \left(\frac{1}{2}\right)^x.$

1) $f(x) = e^x - x$

Решение

Для нахождения точек экстремума функции необходимо найти ее производную, приравнять ее к нулю, чтобы найти критические точки, а затем исследовать знак производной в окрестности этих точек.

1. Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$, так как и показательная функция $e^x$, и линейная функция $x$ определены для всех действительных чисел.

2. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (e^x - x)' = (e^x)' - (x)' = e^x - 1$

3. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$f'(x) = 0$

$e^x - 1 = 0$

$e^x = 1$

Так как $1 = e^0$, получаем:

$x = 0$

Мы получили одну критическую точку $x=0$.

4. Исследуем знак производной $f'(x) = e^x - 1$ на интервалах, на которые критическая точка разбивает область определения, то есть на $(-\infty, 0)$ и $(0, +\infty)$.

- При $x \in (-\infty, 0)$, например при $x = -1$, значение производной $f'(-1) = e^{-1} - 1 = \frac{1}{e} - 1 < 0$. Следовательно, на этом интервале функция $f(x)$ убывает.

- При $x \in (0, +\infty)$, например при $x = 1$, значение производной $f'(1) = e^1 - 1 = e - 1 > 0$. Следовательно, на этом интервале функция $f(x)$ возрастает.

5. В точке $x=0$ производная меняет знак с «-» на «+». Согласно достаточному условию экстремума, точка $x=0$ является точкой минимума.

Ответ: $x_{min} = 0$.

2) $f(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^{2x} - \left(\frac{1}{2}\right)^x$

Решение

Алгоритм решения аналогичен предыдущему пункту.

1. Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$, так как показательная функция определена для всех действительных чисел.

2. Найдем производную функции $f(x)$. Используем правило дифференцирования сложной функции $(a^u)' = a^u \ln a \cdot u'$.

$f'(x) = \left(\left(\frac{1}{2}\right)^{2x} - \left(\frac{1}{2}\right)^x\right)' = \left(\frac{1}{2}\right)^{2x} \ln\left(\frac{1}{2}\right) \cdot (2x)' - \left(\frac{1}{2}\right)^x \ln\left(\frac{1}{2}\right) \cdot (x)'$

$f'(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^{2x} \ln\left(\frac{1}{2}\right) \cdot 2 - \left(\frac{1}{2}\right)^x \ln\left(\frac{1}{2}\right)$

Вынесем общий множитель $\ln\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right)^x$ за скобки:

$f'(x) = \ln\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right)^x \left(2\left(\frac{1}{2}\right)^x - 1\right)$

3. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$f'(x) = 0$

$\ln\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right)^x \left(2\left(\frac{1}{2}\right)^x - 1\right) = 0$

Поскольку $\ln\left(\frac{1}{2}\right) = -\ln 2 \neq 0$ и $\left(\frac{1}{2}\right)^x > 0$ для любого $x$, то равенство возможно только если выражение в скобках равно нулю:

$2\left(\frac{1}{2}\right)^x - 1 = 0$

$2\left(\frac{1}{2}\right)^x = 1$

$\left(\frac{1}{2}\right)^x = \frac{1}{2}$

$x = 1$

Мы получили одну критическую точку $x=1$.

4. Исследуем знак производной $f'(x)$ на интервалах $(-\infty, 1)$ и $(1, +\infty)$. Знак производной определяется знаком произведения $\ln\left(\frac{1}{2}\right) \cdot \left(2\left(\frac{1}{2}\right)^x - 1\right)$. Так как $\ln\left(\frac{1}{2}\right) < 0$, знак производной противоположен знаку выражения $2\left(\frac{1}{2}\right)^x - 1$.

- При $x \in (-\infty, 1)$, например при $x = 0$, выражение $2\left(\frac{1}{2}\right)^0 - 1 = 2 \cdot 1 - 1 = 1 > 0$. Значит, $f'(x) < 0$, и функция $f(x)$ убывает на этом интервале.

- При $x \in (1, +\infty)$, например при $x = 2$, выражение $2\left(\frac{1}{2}\right)^2 - 1 = 2 \cdot \frac{1}{4} - 1 = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2} < 0$. Значит, $f'(x) > 0$, и функция $f(x)$ возрастает на этом интервале.

5. В точке $x=1$ производная меняет знак с «-» на «+». Следовательно, точка $x=1$ является точкой минимума.

Ответ: $x_{min} = 1$.

207. Напишите уравнение касательной к графику функции $f(x) = e^x$ в точке с абсциссой $x_0 = -1$.

Дано:

Функция $f(x) = e^x$.

Абсцисса точки касания $x_0 = -1$.

Найти:

Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке $x_0$.

Решение:

Общий вид уравнения касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ задается формулой:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

Для решения задачи необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти значение функции в точке $x_0 = -1$.

$f(x_0) = f(-1) = e^{-1} = \frac{1}{e}$

2. Найти производную функции $f(x)$.

$f'(x) = (e^x)' = e^x$

3. Найти значение производной в точке $x_0 = -1$. Это значение равно угловому коэффициенту касательной.

$f'(x_0) = f'(-1) = e^{-1} = \frac{1}{e}$

4. Подставить найденные значения $f(x_0)$, $f'(x_0)$ и $x_0$ в общую формулу уравнения касательной.

$y = \frac{1}{e} + \frac{1}{e}(x - (-1))$

5. Упростить полученное выражение.

$y = \frac{1}{e} + \frac{1}{e}(x + 1)$

$y = \frac{1}{e} + \frac{1}{e}x + \frac{1}{e}$

$y = \frac{1}{e}x + \frac{2}{e}$

Таким образом, уравнение касательной к графику функции $f(x) = e^x$ в точке $x_0 = -1$ найдено.

Ответ: $y = \frac{1}{e}x + \frac{2}{e}$.

208. Исследуйте функцию $y = x + \ln x$ и постройте ее график.

1. Область определения функции

Функция $y = x + \ln x$ состоит из двух слагаемых: $x$ и $\ln x$. Функция $x$ определена для всех действительных чисел. Натуральный логарифм $\ln x$ определен только для положительных значений аргумента, то есть при $x > 0$. Следовательно, область определения всей функции есть пересечение областей определения ее слагаемых, то есть $x > 0$.

Ответ: Область определения функции: $D(y) = (0, +\infty)$.

2. Четность и нечетность

Область определения функции $D(y) = (0, +\infty)$ не является симметричной относительно начала координат, так как не включает отрицательные значения $x$. Поэтому функция не может быть ни четной, ни нечетной.

Ответ: Функция является функцией общего вида (ни четной, ни нечетной).

3. Периодичность

Функция не является периодической, так как содержит непериодические слагаемые $x$ (линейная функция) и $\ln x$ (логарифмическая функция).

Ответ: Функция непериодическая.

4. Точки пересечения с осями координат

Пересечение с осью OY: для нахождения точки пересечения с осью ординат (OY) нужно подставить $x=0$ в уравнение функции. Однако $x=0$ не входит в область определения функции. Следовательно, график функции не пересекает ось OY.
Пересечение с осью OX: для нахождения точек пересечения с осью абсцисс (OX) нужно решить уравнение $y=0$, то есть $x + \ln x = 0$. Это трансцендентное уравнение. Решим его приближенно. Рассмотрим функцию $f(x) = x + \ln x$. Ее производная $f'(x) = 1 + \frac{1}{x}$ положительна на всей области определения $(0, +\infty)$. Это значит, что функция строго возрастает. Поскольку $\lim_{x \to 0^+} f(x) = -\infty$ и, например, $f(1) = 1 > 0$, существует единственный корень уравнения. Подбором находим, что корень $x_0$ лежит в интервале $(0.5, 0.6)$, так как $f(0.5) \approx 0.5 - 0.69 = -0.19 < 0$ и $f(0.6) \approx 0.6 - 0.51 = 0.09 > 0$. Приближенно $x_0 \approx 0.57$.

Ответ: График не пересекает ось OY. График пересекает ось OX в одной точке $(x_0, 0)$, где $x_0 \approx 0.57$.

5. Асимптоты

Вертикальные асимптоты: вертикальные асимптоты могут существовать на границах области определения. Проверим поведение функции при $x \to 0^+$: $\lim_{x \to 0^+} (x + \ln x) = 0 + (-\infty) = -\infty$. Поскольку предел равен бесконечности, прямая $x=0$ (ось OY) является вертикальной асимптотой.
Наклонные асимптоты: наклонные асимптоты ищутся в виде $y = kx + b$ при $x \to +\infty$. Коэффициент $k$ находится как $k = \lim_{x \to +\infty} \frac{y}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x + \ln x}{x} = \lim_{x \to +\infty} (1 + \frac{\ln x}{x})$. Используя правило Лопиталя для предела $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x}$, получаем $\lim_{x \to +\infty} \frac{(\ln x)'}{(x)'} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1/x}{1} = 0$. Таким образом, $k = 1 + 0 = 1$. Теперь найдем $b$: $b = \lim_{x \to +\infty} (y - kx) = \lim_{x \to +\infty} (x + \ln x - 1 \cdot x) = \lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty$. Так как предел для $b$ бесконечен, наклонных (и горизонтальных) асимптот у графика функции нет.

Ответ: Прямая $x=0$ является вертикальной асимптотой. Наклонных и горизонтальных асимптот нет.

6. Промежутки монотонности и точки экстремума

Найдем первую производную функции: $y' = (x + \ln x)' = 1 + \frac{1}{x}$. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $1 + \frac{1}{x} = 0 \implies x = -1$. Эта точка не входит в область определения $D(y) = (0, +\infty)$. Производная существует на всей области определения. Определим знак производной на $D(y)$: для любого $x > 0$, слагаемое $\frac{1}{x} > 0$, поэтому $y' = 1 + \frac{1}{x} > 1 > 0$. Поскольку производная всегда положительна, функция является строго возрастающей на всей своей области определения.

Ответ: Функция возрастает на интервале $(0, +\infty)$. Точек экстремума нет.

7. Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба

Найдем вторую производную функции: $y'' = (1 + \frac{1}{x})' = -\frac{1}{x^2}$. Вторая производная нигде не обращается в ноль на области определения. Определим ее знак на $D(y) = (0, +\infty)$. Для любого $x > 0$, $x^2 > 0$, следовательно $y'' = -\frac{1}{x^2} < 0$. Поскольку вторая производная всегда отрицательна, график функции является выпуклым вверх (вогнутым) на всей области определения.

Ответ: Функция выпукла вверх (вогнута) на интервале $(0, +\infty)$. Точек перегиба нет.

8. Построение графика

На основе проведенного исследования, соберем данные для построения графика:
- Область определения: $(0, +\infty)$.
- Вертикальная асимптота $x=0$.
- Пересечение с осью OX в точке $(\approx 0.57, 0)$.
- Функция всегда возрастает и всегда выпукла вверх.
- Контрольные точки: $(1/e, 1/e-1) \approx (0.37, -0.63)$; $(1, 1)$; $(e, e+1) \approx (2.72, 3.72)$.

График функции представлен ниже.

Ответ: График функции $y=x+\ln x$ построен на основе анализа и представлен на рисунке.

209.Найдите первообразную для функции $y = g(x)$, график которой проходит через точку $B (a, b)$:

1) $g(x) = 4^x$, $B (\log_2 3; 0)$;

2) $g(x) = \frac{1}{x-3}$, $B (4; -2)$.

1) $g(x) = 4^x$, $B(\log_2 3; 0)$

Дано:

Функция $g(x) = 4^x$.

Точка $B(\log_2 3; 0)$, через которую проходит график первообразной.

Найти:

Первообразную $G(x)$ для функции $g(x)$.

Решение:

Первообразная для функции $g(x)$ есть функция $G(x)$, производная которой равна $g(x)$. Общий вид первообразной для показательной функции $g(x) = a^x$ находится по формуле $G(x) = \frac{a^x}{\ln a} + C$, где $C$ - константа интегрирования.

Для нашей функции $g(x) = 4^x$ общий вид первообразной $G(x)$ следующий:

$G(x) = \int 4^x dx = \frac{4^x}{\ln 4} + C$

По условию, график первообразной $G(x)$ проходит через точку $B(\log_2 3; 0)$. Это означает, что при $x = \log_2 3$, значение функции $G(x)$ равно $0$. Подставим эти значения в формулу для $G(x)$, чтобы найти константу $C$:

$G(\log_2 3) = \frac{4^{\log_2 3}}{\ln 4} + C = 0$

Для нахождения $C$ необходимо вычислить значение $4^{\log_2 3}$. Используем свойства степеней и логарифмов:

$4^{\log_2 3} = (2^2)^{\log_2 3} = 2^{2 \cdot \log_2 3} = 2^{\log_2 (3^2)} = 2^{\log_2 9}$

Используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$, получаем:

$2^{\log_2 9} = 9$

Теперь подставим это значение в уравнение для $C$:

$\frac{9}{\ln 4} + C = 0$

Отсюда находим $C$:

$C = -\frac{9}{\ln 4}$

Теперь, зная $C$, мы можем записать искомую первообразную:

$G(x) = \frac{4^x}{\ln 4} - \frac{9}{\ln 4}$

Это можно записать в виде единой дроби:

$G(x) = \frac{4^x - 9}{\ln 4}$

Ответ: $G(x) = \frac{4^x - 9}{\ln 4}$

2) $g(x) = \frac{1}{x-3}$, $B(4; -2)$

Дано:

Функция $g(x) = \frac{1}{x-3}$.

Точка $B(4; -2)$, через которую проходит график первообразной.

Найти:

Первообразную $G(x)$ для функции $g(x)$.

Решение:

Общий вид первообразной для функции вида $g(x) = \frac{1}{kx+b}$ находится по формуле $G(x) = \frac{1}{k}\ln|kx+b| + C$.

В нашем случае $k=1$ и $b=-3$, поэтому общий вид первообразной для $g(x) = \frac{1}{x-3}$ будет:

$G(x) = \int \frac{1}{x-3} dx = \ln|x-3| + C$

По условию, график первообразной $G(x)$ проходит через точку $B(4; -2)$. Это означает, что при $x = 4$, значение функции $G(x)$ равно $-2$. Подставим эти значения в формулу для $G(x)$, чтобы найти константу $C$:

$G(4) = \ln|4-3| + C = -2$

Вычислим значение логарифма:

$\ln|1| + C = -2$

$\ln(1) + C = -2$

Поскольку $\ln(1) = 0$, получаем:

$0 + C = -2$

$C = -2$

Теперь, зная $C$, мы можем записать искомую первообразную:

$G(x) = \ln|x-3| - 2$

Ответ: $G(x) = \ln|x-3| - 2$

210. Вычислите интеграл:

1) $\int_0^{\ln2} e^{2x} dx$;

2) $\int_0^{\log_3 2} 3^{0,5x} dx$.

1)Для вычисления определенного интеграла $ \int_{0}^{\ln 2} e^{2x} dx $ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $ \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) $, где $ F(x) $ - первообразная для $ f(x) $.
Найдем первообразную для функции $ f(x) = e^{2x} $.
$ F(x) = \int e^{2x} dx = \frac{1}{2}e^{2x} $.
Теперь вычислим значение интеграла, подставив пределы интегрирования:
$ \int_{0}^{\ln 2} e^{2x} dx = \left. \frac{1}{2}e^{2x} \right|_{0}^{\ln 2} = \frac{1}{2}e^{2 \cdot \ln 2} - \frac{1}{2}e^{2 \cdot 0} $.
Используем свойства логарифма $ n \ln a = \ln a^n $ и экспоненты $ e^{\ln a} = a $:
$ e^{2\ln 2} = e^{\ln 2^2} = e^{\ln 4} = 4 $.
Также, любое число в степени 0 равно 1:
$ e^{2 \cdot 0} = e^0 = 1 $.
Подставим полученные значения в выражение:
$ \frac{1}{2} \cdot 4 - \frac{1}{2} \cdot 1 = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} = 1.5 $.
Ответ: $1.5$.

2)Вычислим определенный интеграл $ \int_{0}^{\log_3 2} 3^{0.5x} dx $.
Сначала найдем первообразную для функции $ f(x) = 3^{0.5x} $. Используем формулу интегрирования показательной функции $ \int a^{kx} dx = \frac{a^{kx}}{k \ln a} $.
$ F(x) = \int 3^{0.5x} dx = \frac{3^{0.5x}}{0.5 \ln 3} = \frac{2 \cdot 3^{0.5x}}{\ln 3} $.
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$ \int_{0}^{\log_3 2} 3^{0.5x} dx = \left. \frac{2 \cdot 3^{0.5x}}{\ln 3} \right|_{0}^{\log_3 2} = \frac{2 \cdot 3^{0.5 \cdot \log_3 2}}{\ln 3} - \frac{2 \cdot 3^{0.5 \cdot 0}}{\ln 3} $.
Упростим выражение в показателе степени, используя свойство логарифма $ k \log_a b = \log_a b^k $:
$ 0.5 \log_3 2 = \log_3 2^{0.5} = \log_3 \sqrt{2} $.
Теперь используем основное логарифмическое тождество $ a^{\log_a b} = b $:
$ 3^{0.5 \log_3 2} = 3^{\log_3 \sqrt{2}} = \sqrt{2} $.
Для второго слагаемого:
$ 3^{0.5 \cdot 0} = 3^0 = 1 $.
Подставим значения в выражение и упростим:
$ \frac{2 \cdot \sqrt{2}}{\ln 3} - \frac{2 \cdot 1}{\ln 3} = \frac{2\sqrt{2} - 2}{\ln 3} = \frac{2(\sqrt{2}-1)}{\ln 3} $.
Ответ: $ \frac{2(\sqrt{2}-1)}{\ln 3} $.

211. Вычислите площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:

1) $y = -\frac{5}{x}$, $x = -1$, $x = -2$, $y = 2$;

2) $y = 4^x$, $y = 4$, $x = 4$.

1) $y=-\frac{5}{x}, x=-1, x=-2, y=2$

Дано:

Фигура ограничена линиями: $y = -5/x$, $x = -1$, $x = -2$, $y = 2$.

Найти:

Площадь фигуры $S$.

Решение:

Построим график фигуры, ограниченной заданными линиями.Линии $x=-2$ и $x=-1$ — вертикальные прямые.Линия $y=2$ — горизонтальная прямая.Линия $y = -5/x$ — гипербола, ветви которой расположены во II и IV координатных четвертях.

Найдем точки пересечения гиперболы с вертикальными прямыми в рассматриваемом интервале $x \in [-2, -1]$:При $x=-2$, $y = -5/(-2) = 2.5$.При $x=-1$, $y = -5/(-1) = 5$.

В интервале $x \in [-2, -1]$ значения функции $y = -5/x$ (от 2.5 до 5) больше, чем значение функции $y=2$.Следовательно, искомая фигура сверху ограничена кривой $y = -5/x$, снизу — прямой $y=2$, слева — прямой $x=-2$, и справа — прямой $x=-1$.

Площадь криволинейной трапеции вычисляется с помощью определенного интеграла. Формула для вычисления площади фигуры, ограниченной сверху функцией $f_1(x)$ и снизу функцией $f_2(x)$ на отрезке $[a, b]$:$S = \int_a^b (f_1(x) - f_2(x)) dx$В нашем случае $a=-2$, $b=-1$, $f_1(x) = -5/x$ и $f_2(x) = 2$.$S = \int_{-2}^{-1} \left(-\frac{5}{x} - 2\right) dx$

Вычислим интеграл:$S = \int_{-2}^{-1} \left(-\frac{5}{x} - 2\right) dx = \left[ -5\ln|x| - 2x \right]_{-2}^{-1}$

Подставим пределы интегрирования:$S = (-5\ln|-1| - 2(-1)) - (-5\ln|-2| - 2(-2))$$S = (-5\ln(1) + 2) - (-5\ln(2) + 4)$

Так как $\ln(1) = 0$, получаем:$S = (0 + 2) - (-5\ln(2) + 4) = 2 + 5\ln(2) - 4 = 5\ln(2) - 2$

Ответ: $S = 5\ln(2) - 2$

2) $y=4^x, y=4, x=4$

Дано:

Фигура ограничена линиями: $y = 4^x$, $y = 4$, $x = 4$.

Найти:

Площадь фигуры $S$.

Решение:

Построим график фигуры, ограниченной заданными линиями.Линия $y=4^x$ — показательная функция, возрастающая на всей числовой оси.Линия $y=4$ — горизонтальная прямая.Линия $x=4$ — вертикальная прямая.

Найдем точки пересечения данных линий.Пересечение $y=4^x$ и $y=4$: $4^x=4 \implies x=1$. Точка пересечения: $(1, 4)$.Пересечение $y=4^x$ и $x=4$: $y=4^4=256$. Точка пересечения: $(4, 256)$.Пересечение $y=4$ и $x=4$: Точка пересечения: $(4, 4)$.

Фигура ограничена сверху кривой $y=4^x$, снизу — прямой $y=4$. Левая граница определяется точкой пересечения $y=4^x$ и $y=4$, то есть $x=1$. Правая граница задана прямой $x=4$. Таким образом, интегрирование будет производиться по $x$ в пределах от 1 до 4.

Используем формулу для площади:$S = \int_a^b (f_1(x) - f_2(x)) dx$Здесь $a=1$, $b=4$, $f_1(x) = 4^x$ и $f_2(x) = 4$.$S = \int_{1}^{4} (4^x - 4) dx$

Вычислим интеграл. Первообразная для $4^x$ равна $4^x / \ln(4)$, а для $4$ равна $4x$.$S = \left[ \frac{4^x}{\ln(4)} - 4x \right]_{1}^{4}$

Подставляем пределы интегрирования:$S = \left( \frac{4^4}{\ln(4)} - 4 \cdot 4 \right) - \left( \frac{4^1}{\ln(4)} - 4 \cdot 1 \right)$$S = \left( \frac{256}{\ln(4)} - 16 \right) - \left( \frac{4}{\ln(4)} - 4 \right)$

Упрощаем выражение:$S = \frac{256}{\ln(4)} - 16 - \frac{4}{\ln(4)} + 4 = \frac{256 - 4}{\ln(4)} - 16 + 4 = \frac{252}{\ln(4)} - 12$

Можно также выразить $\ln(4)$ через $\ln(2)$: $\ln(4) = \ln(2^2) = 2\ln(2)$.$S = \frac{252}{2\ln(2)} - 12 = \frac{126}{\ln(2)} - 12$Оба варианта ответа эквивалентны.

Ответ: $S = \frac{252}{\ln(4)} - 12$

ПРОВЕРЬ СЕБЯ !

1. Найдите область определения функции $y = \frac{x-3}{125 - 5^x}$:

A. R; B. Z; C. $(-\infty; 1) \cup (1; +\infty);$ D. $(-\infty; 3) \cup (3; +\infty).$

2. Вычислите $\log_{12} \left( \frac{49}{9} \cdot \left(\frac{3}{7}\right)^2 \right)$:

A. 12; B. 0; C. 1; D. 144.

3. Найдите область определения функции $y = \log_{5,3} (6 - 5x) + 10$:

A. $(-\infty; 1,2];$ B. $(-\infty; -1,2);$ C. $(1,2; +\infty);$ D. $(-\infty; 1,2).$

4. Расположите числа $\frac{1}{3}$; 27; $3^{-3}$; 1; $\left(\frac{1}{3}\right)^2$ в порядке убывания:

A. $\frac{1}{3}$; 27; $3^{-3}$; 1; $\left(\frac{1}{3}\right)^2;$ B. $\frac{1}{3}$; $\left(\frac{1}{3}\right)^2$; $3^{-3}$; 1; 27;

C. $3^{-3}$; $\left(\frac{1}{3}\right)^2$; $\frac{1}{3}$; 1; 27; D. 1; $3^{-3}$; $\left(\frac{1}{3}\right)^2$; $\frac{1}{3}$; 27.

5. Если $\log_7 5 = a$ и $\log_7 13 = b$, то найдите значения выражения $\log_{65} 25$:

A. $\frac{2b}{a+b}$; B. $\frac{a+b}{2b}$; C. $\frac{2a}{a+b}$; D. $\frac{a+b}{b}$.

6. На каком из рисунков изображен график функции $y = -2^x + 1$?

A.

B.

C.

D.

7. Вычислите значение выражения $27^{\log_3 2} + 28$:

A. 12; B. 18; C. 36; D. 3.

8. Найдите область определения функции $y = \lg \frac{x+4}{2x-1}$:

A. $(-\infty; -4] \cup (0,5; +\infty);$ B. $(-4; 0,5);$ C. $(-\infty; -4) \cup (0,5; +\infty);$ D. $[-4; 0,5].$

9. Вычислите значение производной функции $y = \log_3 (\sin 3x)$ в точке $x = \frac{\pi}{18}$:

A. $\frac{3}{\ln 3}$; B. $\frac{\sqrt{3}}{\ln 3}$; C. $\frac{1}{\sqrt{3} \ln 3}$; D. $\frac{3\sqrt{3}}{\ln 3}$.

10. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y = 6x e^x$ на отрезке $[1; 2]$:

A. 6; 12; B. $6e^2$; $12e$; C. $6e$; $12e$; D. $12e^2$; $6e$.

11. Составьте уравнение касательной к графику функции $y = xe^{4x}$ в точке с абсциссой $x = 1$:

A. $5e^4x - 5e^4$; B. $5e^4x$; C. $5e^4x - 4e^4$; D. $4e^4x - 5e^4$.

12. Вычислите интеграл $\int_1^3 \left( \frac{2}{x^2} - 4x \right) dx$:

A. $2 \ln 3 - \frac{68}{\ln 4}$; B. $2 \ln 3 + \frac{64}{\ln 4}$; C. $2 \ln 3 - \frac{60}{\ln 4}$; D. $2 \ln 3 - \frac{64}{\ln 3}$.

13. Найдите площадь плоской фигуры, ограниченной линиями $y = 2^x$, $y = 1$, $x = 2$:

A. $2 \ln 2 - 2$; B. $\frac{3}{\ln 2} - 2$; C. $4 \ln 2 - 2$; D. $\ln 2 - 2$.

1. Решение:

Область определения функции $y = \frac{x-3}{125-5^{3x}}$ находится из условия, что знаменатель дроби не должен быть равен нулю.

Приравняем знаменатель к нулю:

$125 - 5^{3x} = 0$

$5^{3x} = 125$

Поскольку $125 = 5^3$, получаем:

$5^{3x} = 5^3$

Приравнивая показатели степени, имеем:

$3x = 3$

$x = 1$

Таким образом, функция не определена в точке $x = 1$. Область определения функции - это все действительные числа, кроме $x=1$. В виде интервала это записывается как $(-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

Ответ: C. $(-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

2. Дано:

Выражение $\log_{12} \left( \frac{49}{9} \cdot \left(\frac{3}{7}\right)^2 \right)$.

Найти:

Значение выражения.

Решение:

Сначала упростим выражение в скобках (аргумент логарифма):

$\left(\frac{3}{7}\right)^2 = \frac{3^2}{7^2} = \frac{9}{49}$

Теперь подставим это в исходное выражение:

$\frac{49}{9} \cdot \frac{9}{49} = 1$

Таким образом, нам нужно вычислить $\log_{12}(1)$.

Логарифм единицы по любому основанию (кроме 1) равен нулю, так как $a^0 = 1$.

$\log_{12}(1) = 0$

Ответ: B. 0.

3. Решение:

Область определения логарифмической функции $\log_a(b)$ определяется условием $b > 0$.

В данном случае функция $y = \log_{5.3}(6-5x) + 10$, поэтому аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:

$6 - 5x > 0$

Решим это неравенство относительно $x$:

$6 > 5x$

$x < \frac{6}{5}$

$x < 1.2$

Область определения функции - это интервал $(-\infty; 1.2)$.

Ответ: D. $(-\infty; 1.2)$.

4. Решение:

Чтобы расположить числа в порядке убывания, приведем их к одному виду, например, к степеням числа 3 или к десятичным дробям.

$\frac{1}{3} = 3^{-1}$
$27 = 3^3$
$3^{-3} = \frac{1}{27}$
$1 = 3^0$
$\left(\frac{1}{3}\right)^2 = 3^{-2} = \frac{1}{9}$

Функция $y=3^x$ является возрастающей, так как основание $3 > 1$. Это означает, что большему значению показателя степени соответствует большее значение самой степени. Расположим показатели в порядке убывания:

$3; 0; -1; -2; -3$

Соответствующий порядок чисел будет:

$3^3; 3^0; 3^{-1}; 3^{-2}; 3^{-3}$

В исходном виде это:

$27; 1; \frac{1}{3}; \left(\frac{1}{3}\right)^2; 3^{-3}$

Этот порядок не совпадает ни с одним из предложенных вариантов. Однако, вариант C представляет собой числа, расположенные в порядке возрастания: $3^{-3}; \left(\frac{1}{3}\right)^2; \frac{1}{3}; 1; 27$. Вероятно, в условии задачи допущена опечатка, и требовалось расположить числа в порядке возрастания.

Ответ: C. $3^{-3}; \left(\frac{1}{3}\right)^2; \frac{1}{3}; 1; 27$.

5. Дано:

$\log_7 5 = a$

$\log_7 13 = b$

Найти:

Значение выражения $\log_{65} 25$ через $a$ и $b$.

Решение:

Используем формулу перехода к новому основанию для логарифма: $\log_c d = \frac{\log_k d}{\log_k c}$. Перейдем к основанию 7:

$\log_{65} 25 = \frac{\log_7 25}{\log_7 65}$

Преобразуем числитель, используя свойство логарифма степени $\log_k(d^p) = p \log_k d$:

$\log_7 25 = \log_7 (5^2) = 2 \log_7 5 = 2a$

Преобразуем знаменатель, используя свойство логарифма произведения $\log_k(cd) = \log_k c + \log_k d$:

$\log_7 65 = \log_7 (5 \cdot 13) = \log_7 5 + \log_7 13 = a + b$

Подставим полученные выражения в формулу:

$\log_{65} 25 = \frac{2a}{a+b}$

Ответ: C. $\frac{2a}{a+b}$.

6. Решение:

Проанализируем функцию $y = -2^x + 1$. Ее график можно получить из графика базовой показательной функции $y = 2^x$ с помощью преобразований.

1. График $y = 2^x$ — возрастающая кривая, проходящая через точку $(0, 1)$ и имеющая горизонтальную асимптоту $y=0$.

2. График $y = -2^x$ — результат симметричного отражения графика $y = 2^x$ относительно оси Ox. Это убывающая кривая, проходящая через точку $(0, -1)$, асимптота $y=0$ сохраняется.

3. График $y = -2^x + 1$ — результат сдвига графика $y = -2^x$ на 1 единицу вверх.

• Точка $(0, -1)$ смещается в $(0, 0)$.
• Горизонтальная асимптота $y=0$ смещается в $y=1$.
• Функция остается убывающей.

Таким образом, искомый график — это убывающая кривая, проходящая через начало координат и приближающаяся к прямой $y=1$ при $x \to -\infty$. Этим условиям соответствует график на рисунке C.

Ответ: C.

7. Дано:

Выражение $27^{\log_3 2} + 28$.

Найти:

Значение выражения.

Решение:

Преобразуем первое слагаемое $27^{\log_3 2}$.

Представим основание 27 как степень числа 3: $27 = 3^3$.

$27^{\log_3 2} = (3^3)^{\log_3 2}$

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:

$(3^3)^{\log_3 2} = 3^{3\log_3 2}$

Используя свойство логарифма $p \log_k d = \log_k (d^p)$:

$3^{3\log_3 2} = 3^{\log_3 (2^3)} = 3^{\log_3 8}$

По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, имеем:

$3^{\log_3 8} = 8$

Теперь подставим найденное значение в исходное выражение:

$8 + 28 = 36$

Ответ: C. 36.

8. Решение:

Область определения логарифмической функции $y = \lg \frac{x+4}{2x-1}$ (где $\lg$ - это логарифм по основанию 10) находится из условия, что аргумент логарифма должен быть строго положительным.

$\frac{x+4}{2x-1} > 0$

Решим это рациональное неравенство методом интервалов.

1. Найдем нули числителя: $x+4=0 \Rightarrow x=-4$.

2. Найдем нули знаменателя (точки, где выражение не определено): $2x-1=0 \Rightarrow x=0.5$.

3. Нанесем эти точки на числовую ось, они разделят ее на три интервала: $(-\infty, -4)$, $(-4, 0.5)$, $(0.5, +\infty)$.

4. Определим знак выражения в каждом интервале:

• При $x < -4$ (например, $x=-5$): $\frac{-5+4}{2(-5)-1} = \frac{-1}{-11} > 0$. Интервал подходит.
• При $-4 < x < 0.5$ (например, $x=0$): $\frac{0+4}{2(0)-1} = \frac{4}{-1} < 0$. Интервал не подходит.
• При $x > 0.5$ (например, $x=1$): $\frac{1+4}{2(1)-1} = \frac{5}{1} > 0$. Интервал подходит.

Объединяя подходящие интервалы, получаем область определения: $(-\infty; -4) \cup (0.5; +\infty)$.

Ответ: C. $(-\infty; -4) \cup (0.5; +\infty)$.

9. Дано:

Функция $y = \log_3(\sin 3x)$, точка $x = \frac{\pi}{18}$.

Найти:

Значение производной функции в данной точке.

Решение:

Найдем производную функции $y(x)$ используя правило дифференцирования сложной функции (цепное правило). Производная логарифма $(\log_a u)' = \frac{u'}{u \ln a}$.

$y' = \left(\log_3(\sin 3x)\right)' = \frac{(\sin 3x)'}{(\sin 3x) \cdot \ln 3}$

Теперь найдем производную от $\sin 3x$:

$(\sin 3x)' = \cos(3x) \cdot (3x)' = 3\cos(3x)$

Подставим это в выражение для $y'$:

$y' = \frac{3\cos(3x)}{(\sin 3x) \cdot \ln 3} = \frac{3}{\ln 3} \cot(3x)$

Теперь вычислим значение производной в точке $x = \frac{\pi}{18}$:

$y'\left(\frac{\pi}{18}\right) = \frac{3}{\ln 3} \cot\left(3 \cdot \frac{\pi}{18}\right) = \frac{3}{\ln 3} \cot\left(\frac{\pi}{6}\right)$

Значение котангенса: $\cot\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3}$.

Окончательно получаем:

$y'\left(\frac{\pi}{18}\right) = \frac{3}{\ln 3} \cdot \sqrt{3} = \frac{3\sqrt{3}}{\ln 3}$

Ответ: D. $\frac{3\sqrt{3}}{\ln 3}$.

10. Дано:

Функция $y = 6x e^x$, отрезок $[1; 2]$.

Найти:

Наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке.

Решение:

1. Найдем производную функции, чтобы найти критические точки. Используем правило произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

$y' = (6x)' e^x + 6x (e^x)' = 6e^x + 6xe^x = 6e^x(1+x)$

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $y' = 0$.

$6e^x(1+x) = 0$

Так как $6e^x > 0$ для любого $x$, то $1+x=0$, откуда $x=-1$.

3. Проверим, принадлежит ли критическая точка отрезку $[1; 2]$. Точка $x=-1$ не принадлежит этому отрезку.

4. Поскольку на отрезке нет критических точек, наибольшее и наименьшее значения достигаются на его концах.

5. Вычислим значения функции на концах отрезка:

При $x=1$: $y(1) = 6 \cdot 1 \cdot e^1 = 6e$.

При $x=2$: $y(2) = 6 \cdot 2 \cdot e^2 = 12e^2$.

6. Поскольку производная $y' = 6e^x(1+x)$ положительна на отрезке $[1; 2]$, функция на нем возрастает. Следовательно, наименьшее значение достигается в точке $x=1$, а наибольшее - в точке $x=2$.

Наименьшее значение: $6e$.

Наибольшее значение: $12e^2$.

Ответ: D. $12e^2; 6e$.

11. Дано:

Функция $y=xe^{4x}$, точка с абсциссой $x_0 = 1$.

Найти:

Уравнение касательной к графику функции в данной точке.

Решение:

Уравнение касательной в точке $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0=1$:

$f(1) = 1 \cdot e^{4 \cdot 1} = e^4$.

2. Найдем производную функции $f(x)=xe^{4x}$ по правилу произведения:

$f'(x) = (x)'e^{4x} + x(e^{4x})' = 1 \cdot e^{4x} + x \cdot (e^{4x} \cdot 4) = e^{4x}(1+4x)$.

3. Найдем значение производной (угловой коэффициент касательной) в точке $x_0=1$:

$f'(1) = e^{4 \cdot 1}(1+4 \cdot 1) = e^4(5) = 5e^4$.

4. Подставим найденные значения в уравнение касательной:

$y = e^4 + 5e^4(x-1)$

$y = e^4 + 5e^4x - 5e^4$

$y = 5e^4x - 4e^4$

Ответ: C. $y = 5e^4x - 4e^4$.

12. Дано:

Интеграл $\int_1^3 \left(\frac{2}{x} - 4^x\right) dx$.

Найти:

Значение интеграла.

Решение:

Найдем неопределенный интеграл (первообразную) от подынтегральной функции:

$\int \left(\frac{2}{x} - 4^x\right) dx = \int \frac{2}{x} dx - \int 4^x dx = 2\ln|x| - \frac{4^x}{\ln 4}$

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница $\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$:

$\int_1^3 \left(\frac{2}{x} - 4^x\right) dx = \left[ 2\ln|x| - \frac{4^x}{\ln 4} \right]_1^3$

$= \left( 2\ln|3| - \frac{4^3}{\ln 4} \right) - \left( 2\ln|1| - \frac{4^1}{\ln 4} \right)$

$= \left( 2\ln 3 - \frac{64}{\ln 4} \right) - \left( 2 \cdot 0 - \frac{4}{\ln 4} \right)$

$= 2\ln 3 - \frac{64}{\ln 4} - \left( - \frac{4}{\ln 4} \right)$

$= 2\ln 3 - \frac{64}{\ln 4} + \frac{4}{\ln 4} = 2\ln 3 - \frac{60}{\ln 4}$

Ответ: C. $2 \ln 3 - \frac{60}{\ln 4}$.

13. Дано:

Фигура, ограниченная линиями $y=2^x$, $y=1$, $x=2$.

Найти:

Площадь этой фигуры.

Решение:

1. Определим границы интегрирования. Линия $y=1$ пересекает кривую $y=2^x$ в точке, где $2^x=1$, то есть при $x=0$. Правая граница задана линией $x=2$. Таким образом, интегрирование будет проводиться по $x$ от 0 до 2.

2. В указанном интервале $[0, 2]$ график $y=2^x$ находится выше графика $y=1$. Поэтому площадь фигуры $S$ можно вычислить как интеграл от разности верхней и нижней функций:

$S = \int_0^2 (2^x - 1) dx$

3. Найдем первообразную для подынтегральной функции:

$\int (2^x - 1) dx = \frac{2^x}{\ln 2} - x$

4. Вычислим определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

$S = \left[ \frac{2^x}{\ln 2} - x \right]_0^2 = \left( \frac{2^2}{\ln 2} - 2 \right) - \left( \frac{2^0}{\ln 2} - 0 \right)$

$= \left( \frac{4}{\ln 2} - 2 \right) - \left( \frac{1}{\ln 2} \right)$

$= \frac{4}{\ln 2} - \frac{1}{\ln 2} - 2 = \frac{3}{\ln 2} - 2$

Ответ: B. $\frac{3}{\ln 2} - 2$.