Страница 93 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

192. Найдите область определения функции $y = f(x)$:

1) $f(x) = \log_{1,5} (x^2 - 4) + \log_3 (9 - x^2)$;

2) $f(x) = \log_4 x^3 - \log_{1,8} (x^2 - x)$;

3) $f(x) = \log_{1,5} \frac{x^2 - 1}{x + 5} - \sqrt{x}$;

4) $f(x) = \log_{0,7} \frac{4 - x^2}{6 - x} + \log_6 x$.

1) f(x) = log₁﹐₅(x² - 4) + log₃(9 - x²)

Решение

Область определения функции (ОДЗ) является пересечением областей определения каждого слагаемого. Для логарифмической функции $log_a(b)$ должно выполняться условие $b > 0$.

1. Для первого слагаемого $log_{1.5}(x^2 - 4)$ должно выполняться неравенство:

$x^2 - 4 > 0$

Разложим на множители: $(x - 2)(x + 2) > 0$.

Решением этого неравенства является объединение интервалов $x \in (-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$.

2. Для второго слагаемого $log_3(9 - x^2)$ должно выполняться неравенство:

$9 - x^2 > 0$

$x^2 < 9$

Решением этого неравенства является интервал $x \in (-3, 3)$.

3. Найдем пересечение полученных множеств, чтобы определить область определения всей функции:

$D(f) = ((-\infty, -2) \cup (2, +\infty)) \cap (-3, 3)$

Пересечение дает нам два интервала: $(-3, -2)$ и $(2, 3)$.

Ответ: $D(f) = (-3, -2) \cup (2, 3)$.

2) f(x) = log₄x³ - log₁﹐₈(x² - x)

Решение

Область определения функции находится как пересечение областей определения уменьшаемого и вычитаемого.

1. Для $log_4(x^3)$ аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$x^3 > 0$

Это неравенство справедливо при $x > 0$. Таким образом, $x \in (0, +\infty)$.

2. Для $log_{1.8}(x^2 - x)$ аргумент логарифма также должен быть строго положительным:

$x^2 - x > 0$

$x(x - 1) > 0$

Решением этого неравенства является объединение интервалов $x \in (-\infty, 0) \cup (1, +\infty)$.

3. Найдем пересечение этих двух условий:

$D(f) = (0, +\infty) \cap ((-\infty, 0) \cup (1, +\infty))$

Пересечение множества $(0, +\infty)$ с $(-\infty, 0)$ пусто. Пересечение $(0, +\infty)$ с $(1, +\infty)$ дает $(1, +\infty)$.

Ответ: $D(f) = (1, +\infty)$.

3) f(x) = log₁﹐₅( (x² - 1)/(x + 5) ) - √x

Решение

Область определения функции является пересечением областей определения логарифмического и иррационального выражений.

1. Для $log_{1.5}(\frac{x^2 - 1}{x + 5})$ аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:

$\frac{x^2 - 1}{x + 5} > 0$

$\frac{(x - 1)(x + 1)}{x + 5} > 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Критические точки (нули числителя и знаменателя): $x = -5, x = -1, x = 1$.

Определив знаки на интервалах $(-\infty, -5)$, $(-5, -1)$, $(-1, 1)$, $(1, +\infty)$, получаем, что неравенство выполняется при $x \in (-5, -1) \cup (1, +\infty)$.

2. Для $-\sqrt{x}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$x \ge 0$

То есть, $x \in [0, +\infty)$.

3. Найдем пересечение полученных множеств:

$D(f) = ((-5, -1) \cup (1, +\infty)) \cap [0, +\infty)$

Пересечение интервала $(-5, -1)$ с $[0, +\infty)$ пусто. Пересечение $(1, +\infty)$ с $[0, +\infty)$ дает $(1, +\infty)$.

Ответ: $D(f) = (1, +\infty)$.

4) f(x) = log₀﹐₇( (4 - x²)/(6 - x) ) + log₆x

Решение

Область определения функции является пересечением областей определения двух логарифмических слагаемых.

1. Для $log_{0.7}(\frac{4 - x^2}{6 - x})$ аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:

$\frac{4 - x^2}{6 - x} > 0$

$\frac{(2 - x)(2 + x)}{6 - x} > 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Критические точки: $x = -2, x = 2, x = 6$.

Определив знаки на интервалах $(-\infty, -2)$, $(-2, 2)$, $(2, 6)$, $(6, +\infty)$, находим, что неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -2) \cup (2, 6)$.

2. Для $log_6(x)$ аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$x > 0$

То есть, $x \in (0, +\infty)$.

3. Найдем пересечение этих двух условий:

$D(f) = ((-\infty, -2) \cup (2, 6)) \cap (0, +\infty)$

Пересечение интервала $(-\infty, -2)$ с $(0, +\infty)$ пусто. Пересечение $(2, 6)$ с $(0, +\infty)$ дает $(2, 6)$.

Ответ: $D(f) = (2, 6)$.

193. Найдите множество значений функции $y = f(x)$:

1) $f(x) = -\log_5(x + 1)$;

2) $f(x) = \log_{\frac{1}{3}}(1 + x) + 5$;

3) $f(x) = |\log_7(x + 1)|$;

4) $f(x) = |\lg x| + 6$.

1) $f(x) = -\log_{5}(x + 1)$

Множеством значений для любой логарифмической функции вида $y = \log_{a}(x)$, где $a > 0$ и $a \neq 1$, является множество всех действительных чисел, то есть $(-\infty; +\infty)$. Функция $y = \log_{5}(x + 1)$ является результатом сдвига графика функции $y = \log_{5}(x)$ на 1 единицу влево вдоль оси абсцисс. Такой сдвиг не влияет на множество значений, поэтому оно остается $(-\infty; +\infty)$. Функция $f(x) = -\log_{5}(x + 1)$ является результатом симметричного отражения графика функции $y = \log_{5}(x + 1)$ относительно оси абсцисс. Отражение множества $(-\infty; +\infty)$ относительно нуля оставляет его без изменений. Таким образом, множество значений данной функции — это все действительные числа.

Ответ: $(-\infty; +\infty)$

2) $f(x) = \log_{\frac{1}{3}}(1 + x) + 5$

Рассмотрим функцию $y = \log_{\frac{1}{3}}(t)$. Множество значений логарифмической функции — это множество всех действительных чисел, то есть $(-\infty; +\infty)$. Замена аргумента $t$ на $1+x$ соответствует сдвигу графика вдоль оси $Ox$, что не меняет множество значений функции. Таким образом, множество значений функции $y = \log_{\frac{1}{3}}(1 + x)$ также является $(-\infty; +\infty)$. Прибавление константы 5 ко всей функции, то есть $f(x) = \log_{\frac{1}{3}}(1 + x) + 5$, соответствует сдвигу графика на 5 единиц вверх вдоль оси ординат. Если к каждому числу из множества $(-\infty; +\infty)$ прибавить 5, множество останется прежним. Следовательно, множество значений функции $f(x)$ — все действительные числа.

Ответ: $(-\infty; +\infty)$

3) $f(x) = |\log_{7}(x + 1)|$

Сначала определим множество значений функции $g(x) = \log_{7}(x + 1)$. Как и в предыдущих случаях, множество значений этой логарифмической функции — это все действительные числа, то есть $E(g) = (-\infty; +\infty)$. Функция $f(x)$ является абсолютным значением (модулем) функции $g(x)$. Модуль любого действительного числа является неотрицательным числом. Поскольку $g(x)$ может принимать любое значение из интервала $(-\infty; +\infty)$, то её модуль $f(x) = |g(x)|$ будет принимать все неотрицательные значения. Наименьшее значение равно 0 (когда $\log_{7}(x + 1) = 0$, то есть при $x=0$), а верхнего предела нет. Таким образом, множество значений функции $f(x)$ — это луч $[0; +\infty)$.

Ответ: $[0; +\infty)$

4) $f(x) = |\lg x| + 6$

Рассмотрим функцию $g(x) = |\lg x|$. Множество значений функции $y = \lg x$ (десятичный логарифм) — это $(-\infty; +\infty)$. При взятии модуля, все значения становятся неотрицательными. Таким образом, множество значений функции $g(x) = |\lg x|$ — это $[0; +\infty)$. Наименьшее значение $g(x)$ равно 0. Функция $f(x) = g(x) + 6 = |\lg x| + 6$ получается из $g(x)$ сдвигом на 6 единиц вверх по оси ординат. Следовательно, множество значений функции $f(x)$ получается сдвигом множества $[0; +\infty)$ на 6 вверх. Нижняя граница множества станет $0 + 6 = 6$. Верхняя граница останется $+\infty$. Таким образом, множество значений функции $f(x)$ — это луч $[6; +\infty)$.

Ответ: $[6; +\infty)$

194. Постройте график функции $y = f(x)$ и перечислите ее свойства:

1) $f(x) = \log_4 (x+3);$

2) $f(x) = -\log_2 x + 2;$

3) $f(x) = \log_{\frac{1}{3}} (x - 1);$

4) $y = \log_{0.5} x - 3.$

1) $f(x) = \log_{4}(x+3)$

Решение:
График функции $f(x) = \log_{4}(x+3)$ получается из графика базовой логарифмической функции $y = \log_{4}x$ путем сдвига влево вдоль оси Ox на 3 единицы.
Найдем несколько контрольных точек для построения графика:
При $x = -2$, $y = \log_{4}(-2+3) = \log_{4}1 = 0$.
При $x = 1$, $y = \log_{4}(1+3) = \log_{4}4 = 1$.
При $x = -2.75$, $y = \log_{4}(-2.75+3) = \log_{4}(0.25) = \log_{4}(\frac{1}{4}) = -1$.
Вертикальная асимптота графика определяется условием $x+3=0$, то есть $x=-3$.

Свойства функции:
1. Область определения: $x+3 > 0 \Rightarrow x > -3$. $D(f) = (-3; +\infty)$.
2. Область значений: $E(f) = (-\infty; +\infty)$.
3. Нули функции: $f(x)=0$ при $\log_{4}(x+3)=0$, что дает $x+3=1$, откуда $x=-2$.
4. Промежутки знакопостоянства: $f(x)>0$ при $x > -2$; $f(x)<0$ при $-3 < x < -2$.
5. Монотонность: функция является возрастающей на всей области определения, так как основание логарифма $4>1$.
6. Четность, нечетность: функция общего вида, так как ее область определения несимметрична относительно нуля.
7. Асимптоты: вертикальная асимптота $x=-3$.

Ответ: График функции $f(x) = \log_{4}(x+3)$ — это логарифмическая кривая, полученная сдвигом графика $y=\log_4 x$ на 3 единицы влево. Она проходит через точки $(-2, 0)$ и $(1, 1)$, имеет вертикальную асимптоту $x=-3$. Функция возрастает на всей области определения $(-3; +\infty)$, область значений $(-\infty; +\infty)$.

2) $f(x) = -\log_{2}x + 2$

Решение:
График функции $f(x) = -\log_{2}x + 2$ получается из графика $y = \log_{2}x$ следующими преобразованиями:1. Отражение относительно оси Ox (получаем $y = -\log_{2}x$).2. Сдвиг вверх вдоль оси Oy на 2 единицы.
Найдем несколько контрольных точек:
При $x = 1$, $y = -\log_{2}1 + 2 = 0 + 2 = 2$.
При $x = 2$, $y = -\log_{2}2 + 2 = -1 + 2 = 1$.
При $x = 4$, $y = -\log_{2}4 + 2 = -2 + 2 = 0$.
Вертикальная асимптота: $x=0$.

Свойства функции:
1. Область определения: $x > 0$. $D(f) = (0; +\infty)$.
2. Область значений: $E(f) = (-\infty; +\infty)$.
3. Нули функции: $f(x)=0$ при $-\log_{2}x + 2 = 0$, $\log_{2}x = 2$, откуда $x=4$.
4. Промежутки знакопостоянства: $f(x)>0$ при $0 < x < 4$; $f(x)<0$ при $x > 4$.
5. Монотонность: функция является убывающей на всей области определения, так как является суммой убывающей функции $y=-\log_2 x$ и константы.
6. Четность, нечетность: функция общего вида.
7. Асимптоты: вертикальная асимптота $x=0$.

Ответ: График функции $f(x) = -\log_{2}x + 2$ — это убывающая логарифмическая кривая, проходящая через точки $(1, 2)$, $(2, 1)$ и $(4, 0)$. Вертикальная асимптота $x=0$. Область определения $(0; +\infty)$, область значений $(-\infty; +\infty)$.

3) $f(x) = \log_{\frac{1}{3}}(x-1)$

Решение:
График функции $f(x) = \log_{\frac{1}{3}}(x-1)$ получается из графика $y = \log_{\frac{1}{3}}x$ сдвигом вправо вдоль оси Ox на 1 единицу. Так как основание логарифма $\frac{1}{3} < 1$, базовая функция является убывающей.
Контрольные точки:
При $x = 2$, $y = \log_{\frac{1}{3}}(2-1) = \log_{\frac{1}{3}}1 = 0$.
При $x = 4$, $y = \log_{\frac{1}{3}}(4-1) = \log_{\frac{1}{3}}3 = -1$.
При $x = \frac{4}{3}$, $y = \log_{\frac{1}{3}}(\frac{4}{3}-1) = \log_{\frac{1}{3}}(\frac{1}{3}) = 1$.
Вертикальная асимптота: $x-1=0 \Rightarrow x=1$.

Свойства функции:
1. Область определения: $x-1 > 0 \Rightarrow x > 1$. $D(f) = (1; +\infty)$.
2. Область значений: $E(f) = (-\infty; +\infty)$.
3. Нули функции: $f(x)=0$ при $\log_{\frac{1}{3}}(x-1)=0$, $x-1=1$, откуда $x=2$.
4. Промежутки знакопостоянства: $f(x)>0$ при $1 < x < 2$; $f(x)<0$ при $x > 2$.
5. Монотонность: функция является убывающей на всей области определения, так как основание логарифма $0 < \frac{1}{3} < 1$.
6. Четность, нечетность: функция общего вида.
7. Асимптоты: вертикальная асимптота $x=1$.

Ответ: График функции $f(x) = \log_{\frac{1}{3}}(x-1)$ — это убывающая логарифмическая кривая со сдвигом на 1 вправо. Она проходит через точки $(2, 0)$ и $(4, -1)$, имеет вертикальную асимптоту $x=1$. Область определения $(1; +\infty)$, область значений $(-\infty; +\infty)$.

4) $y = \log_{0.5}x - 3$

Решение:
График функции $y = \log_{0.5}x - 3$ получается из графика $y = \log_{0.5}x$ сдвигом вниз вдоль оси Oy на 3 единицы. Так как основание $0.5 < 1$, базовая функция убывающая.
Контрольные точки:
При $x = 1$, $y = \log_{0.5}1 - 3 = 0 - 3 = -3$.
При $x = 2$, $y = \log_{0.5}2 - 3 = -1 - 3 = -4$.
При $x = 0.5$, $y = \log_{0.5}0.5 - 3 = 1 - 3 = -2$.
При $x = 0.125$, $y = \log_{0.5}0.125 - 3 = \log_{0.5}(0.5^3) - 3 = 3-3=0$.
Вертикальная асимптота: $x=0$.

Свойства функции:
1. Область определения: $x > 0$. $D(f) = (0; +\infty)$.
2. Область значений: $E(f) = (-\infty; +\infty)$.
3. Нули функции: $y=0$ при $\log_{0.5}x - 3 = 0$, $\log_{0.5}x = 3$, откуда $x=0.5^3=0.125$.
4. Промежутки знакопостоянства: $y>0$ при $0 < x < 0.125$; $y<0$ при $x > 0.125$.
5. Монотонность: функция является убывающей на всей области определения, так как основание $0.5 < 1$.
6. Четность, нечетность: функция общего вида.
7. Асимптоты: вертикальная асимптота $x=0$.

Ответ: График функции $y = \log_{0.5}x - 3$ — это убывающая логарифмическая кривая, сдвинутая на 3 единицы вниз. Она проходит через точки $(1, -3)$, $(2, -4)$ и $(0.125, 0)$, имеет вертикальную асимптоту $x=0$. Область определения $(0; +\infty)$, область значений $(-\infty; +\infty)$.

195. Найдите число точек пересечения графиков функций $y=f(x)$ и $y=g(x):$

1) $f(x) = \log_{\frac{1}{2}} x$ и $g(x) = x - 1$;

2) $f(x) = \lg x$ и $g(x) = x + 1$;

3) $f(x) = \log_5 x$ и $g(x) = 7 + x$;

4) $f(x) = \log_{0.5} x$ и $g(x) = 2 - x$.

1) Чтобы найти число точек пересечения графиков функций $y = f(x) = \log_{\frac{1}{2}}x$ и $y = g(x) = x - 1$, нужно найти количество решений уравнения $\log_{\frac{1}{2}}x = x - 1$.
Рассмотрим свойства функций:
- Функция $f(x) = \log_{\frac{1}{2}}x$ является логарифмической с основанием $\frac{1}{2}$, которое меньше 1. Следовательно, эта функция является строго убывающей на всей своей области определения $x \in (0, +\infty)$.
- Функция $g(x) = x - 1$ является линейной с положительным угловым коэффициентом (равным 1). Следовательно, эта функция является строго возрастающей.
Строго возрастающая и строго убывающая функции могут пересечься не более одного раза.
Проверим, является ли точка $x=1$ решением уравнения.
При $x=1$:
$f(1) = \log_{\frac{1}{2}}(1) = 0$
$g(1) = 1 - 1 = 0$
Поскольку $f(1) = g(1)$, точка $(1, 0)$ является точкой пересечения. Так как других точек пересечения быть не может, то существует ровно одна точка пересечения.

Ответ: 1.

2) Рассмотрим функции $y = f(x) = \lg x$ и $y = g(x) = x + 1$. Точки пересечения являются решениями уравнения $\lg x = x + 1$.
Область определения логарифмической функции: $x > 0$.
На этой области $g(x) = x + 1 > 1$.
Следовательно, для существования решения необходимо, чтобы $f(x) = \lg x > 1$, что выполняется при $x > 10$. Таким образом, если решение существует, то оно должно быть при $x > 10$.
Сравним скорости роста функций, рассмотрев их производные:
$f'(x) = (\lg x)' = \frac{1}{x \ln 10}$
$g'(x) = (x+1)' = 1$
При $x > 10$, $\ln 10 \approx 2.3$, поэтому $x \ln 10 > 10 \times 2.3 = 23$.
Следовательно, $f'(x) = \frac{1}{x \ln 10} < \frac{1}{23} < 1 = g'(x)$.
Это означает, что при $x > 10$ функция $g(x)$ растет быстрее, чем $f(x)$.
Проверим значения функций в точке $x=10$: $f(10) = \lg 10 = 1$ и $g(10) = 10 + 1 = 11$.
Так как $g(10) > f(10)$, а на интервале $(10, +\infty)$ функция $g(x)$ растет быстрее, чем $f(x)$, то расстояние между графиками будет только увеличиваться, и они не пересекутся. На интервале $(0, 10]$ пересечений также нет.
Следовательно, графики функций не пересекаются.

Ответ: 0.

3) Рассмотрим функции $y = f(x) = \log_5 x$ и $y = g(x) = 7 + x$. Точки пересечения являются решениями уравнения $\log_5 x = 7 + x$.
Область определения $x > 0$. На этой области $g(x) = 7+x > 7$.
Для пересечения необходимо, чтобы $\log_5 x > 7$, что означает $x > 5^7$. Это очень большое число.
Сравним производные функций:
$f'(x) = (\log_5 x)' = \frac{1}{x \ln 5}$
$g'(x) = (7+x)' = 1$
Так как $\ln 5 > 1$, то для любого $x > 1$ выполняется $x \ln 5 > 1$, откуда $f'(x) < 1 = g'(x)$. Это означает, что для $x>1$ линейная функция растет быстрее логарифмической.
Проверим значения в точке $x=1$: $f(1) = \log_5 1 = 0$ и $g(1) = 7 + 1 = 8$.
В точке $x=1$ график $g(x)$ находится значительно выше графика $f(x)$. Поскольку при $x > 1$ функция $g(x)$ растет быстрее, графики никогда не пересекутся. На интервале $(0, 1]$ $f(x) \le 0$, а $g(x) > 7$, так что пересечений тоже нет.
Следовательно, графики функций не пересекаются.

Ответ: 0.

4) Рассмотрим уравнение $\log_{0.5} x = 2 - x$. Перенесем все члены в одну сторону: $h(x) = \log_{0.5} x + x - 2 = 0$.
Обе функции $f(x)=\log_{0.5} x$ и $g(x)=2-x$ являются убывающими, поэтому они могут пересекаться более одного раза.
Исследуем функцию $h(x)$ с помощью производной.
$h'(x) = (\log_{0.5} x + x - 2)' = \frac{1}{x \ln(0.5)} + 1 = 1 - \frac{1}{x \ln 2}$.
Найдем точку экстремума, приравняв производную к нулю: $1 - \frac{1}{x \ln 2} = 0 \implies x = \frac{1}{\ln 2}$.
Это точка минимума, так как при $0 < x < \frac{1}{\ln 2}$ производная $h'(x) < 0$ (функция убывает), а при $x > \frac{1}{\ln 2}$ производная $h'(x) > 0$ (функция возрастает).
Исследуем поведение функции $h(x)$:
$\lim_{x\to 0^+} h(x) = \lim_{x\to 0^+} (\log_{0.5} x + x - 2) = +\infty$.
$\lim_{x\to +\infty} h(x) = \lim_{x\to +\infty} (\log_{0.5} x + x - 2) = +\infty$ (линейная функция $x$ растет быстрее, чем логарифмическая убывает).
Значение функции в точке минимума $x_{min} = \frac{1}{\ln 2} \approx 1.44$:
$h_{min} = h(\frac{1}{\ln 2}) = \log_{0.5}(\frac{1}{\ln 2}) + \frac{1}{\ln 2} - 2 = \log_2(\ln 2) + \frac{1}{\ln 2} - 2$.
Приблизительно: $\ln 2 \approx 0.693$, $\log_2(0.693) \approx -0.528$, $\frac{1}{\ln 2} \approx 1.443$.
$h_{min} \approx -0.528 + 1.443 - 2 = -1.085$, что является отрицательным значением.
Функция $h(x)$ непрерывна, убывает от $+\infty$ до отрицательного минимума, а затем возрастает до $+\infty$. Следовательно, график $h(x)$ пересекает ось абсцисс дважды. Это означает, что исходное уравнение имеет два решения.
Можно найти одно из решений подбором: $x=4$. $\log_{0.5} 4 = -2$ и $2 - 4 = -2$.
Следовательно, графики функций пересекаются в двух точках.

Ответ: 2.

196. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y = f(x)$ на отрезке $[a; b]$:

1) $y = \log_3 x, [1; 9];$

2) $y = \log_{0.5} x, [0.5; 4];$

3) $y = \log_7 x, [1; 7];$

4) $y = \log_{\sqrt{5}} x, [5; 25].$

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений логарифмической функции $y = \log_a x$ на отрезке, необходимо проанализировать ее основание $a$.

• Если основание $a > 1$, функция является возрастающей. Это означает, что наименьшее значение функции достигается в левой границе отрезка (при наименьшем $x$), а наибольшее — в правой границе (при наибольшем $x$).
• Если $0 < a < 1$, функция является убывающей. В этом случае наименьшее значение функции достигается в правой границе отрезка, а наибольшее — в левой.

1) $y = \log_3 x$ на отрезке $[1; 9]$

Основание логарифма $a=3$, что больше 1, следовательно, функция $y = \log_3 x$ является возрастающей.

Наименьшее значение функции на отрезке $[1; 9]$ достигается при $x=1$:

$y_{\text{наим}} = \log_3(1) = 0$

Наибольшее значение функции на отрезке $[1; 9]$ достигается при $x=9$:

$y_{\text{наиб}} = \log_3(9) = \log_3(3^2) = 2$

Ответ: $y_{\text{наим}} = 0$, $y_{\text{наиб}} = 2$.

2) $y = \log_{0,5} x$ на отрезке $[0,5; 4]$

Основание логарифма $a=0,5$, что находится в интервале $(0; 1)$, следовательно, функция $y = \log_{0,5} x$ является убывающей.

Наибольшее значение функции на отрезке $[0,5; 4]$ достигается при $x=0,5$:

$y_{\text{наиб}} = \log_{0,5}(0,5) = 1$

Наименьшее значение функции на отрезке $[0,5; 4]$ достигается при $x=4$:

$y_{\text{наим}} = \log_{0,5}(4) = \log_{1/2}(2^2) = -\log_2(2^2) = -2$

Ответ: $y_{\text{наим}} = -2$, $y_{\text{наиб}} = 1$.

3) $y = \log_7 x$ на отрезке $[1; 7]$

Основание логарифма $a=7$, что больше 1, следовательно, функция $y = \log_7 x$ является возрастающей.

Наименьшее значение функции на отрезке $[1; 7]$ достигается при $x=1$:

$y_{\text{наим}} = \log_7(1) = 0$

Наибольшее значение функции на отрезке $[1; 7]$ достигается при $x=7$:

$y_{\text{наиб}} = \log_7(7) = 1$

Ответ: $y_{\text{наим}} = 0$, $y_{\text{наиб}} = 1$.

4) $y = \log_{\sqrt{5}} x$ на отрезке $[5; 25]$

Основание логарифма $a=\sqrt{5}$, что больше 1 (так как $\sqrt{5} \approx 2,23$), следовательно, функция $y = \log_{\sqrt{5}} x$ является возрастающей.

Наименьшее значение функции на отрезке $[5; 25]$ достигается при $x=5$:

$y_{\text{наим}} = \log_{\sqrt{5}}(5) = \log_{5^{1/2}}(5^1) = \frac{1}{1/2}\log_5(5) = 2 \cdot 1 = 2$

Наибольшее значение функции на отрезке $[5; 25]$ достигается при $x=25$:

$y_{\text{наиб}} = \log_{\sqrt{5}}(25) = \log_{5^{1/2}}(5^2) = \frac{2}{1/2}\log_5(5) = 4 \cdot 1 = 4$

Ответ: $y_{\text{наим}} = 2$, $y_{\text{наиб}} = 4$.