Номер 192, страница 93 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

192. Найдите область определения функции $y = f(x)$:

1) $f(x) = \log_{1,5} (x^2 - 4) + \log_3 (9 - x^2)$;

2) $f(x) = \log_4 x^3 - \log_{1,8} (x^2 - x)$;

3) $f(x) = \log_{1,5} \frac{x^2 - 1}{x + 5} - \sqrt{x}$;

4) $f(x) = \log_{0,7} \frac{4 - x^2}{6 - x} + \log_6 x$.

1) f(x) = log₁﹐₅(x² - 4) + log₃(9 - x²)

Решение

Область определения функции (ОДЗ) является пересечением областей определения каждого слагаемого. Для логарифмической функции $log_a(b)$ должно выполняться условие $b > 0$.

1. Для первого слагаемого $log_{1.5}(x^2 - 4)$ должно выполняться неравенство:

$x^2 - 4 > 0$

Разложим на множители: $(x - 2)(x + 2) > 0$.

Решением этого неравенства является объединение интервалов $x \in (-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$.

2. Для второго слагаемого $log_3(9 - x^2)$ должно выполняться неравенство:

$9 - x^2 > 0$

$x^2 < 9$

Решением этого неравенства является интервал $x \in (-3, 3)$.

3. Найдем пересечение полученных множеств, чтобы определить область определения всей функции:

$D(f) = ((-\infty, -2) \cup (2, +\infty)) \cap (-3, 3)$

Пересечение дает нам два интервала: $(-3, -2)$ и $(2, 3)$.

Ответ: $D(f) = (-3, -2) \cup (2, 3)$.

2) f(x) = log₄x³ - log₁﹐₈(x² - x)

Решение

Область определения функции находится как пересечение областей определения уменьшаемого и вычитаемого.

1. Для $log_4(x^3)$ аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$x^3 > 0$

Это неравенство справедливо при $x > 0$. Таким образом, $x \in (0, +\infty)$.

2. Для $log_{1.8}(x^2 - x)$ аргумент логарифма также должен быть строго положительным:

$x^2 - x > 0$

$x(x - 1) > 0$

Решением этого неравенства является объединение интервалов $x \in (-\infty, 0) \cup (1, +\infty)$.

3. Найдем пересечение этих двух условий:

$D(f) = (0, +\infty) \cap ((-\infty, 0) \cup (1, +\infty))$

Пересечение множества $(0, +\infty)$ с $(-\infty, 0)$ пусто. Пересечение $(0, +\infty)$ с $(1, +\infty)$ дает $(1, +\infty)$.

Ответ: $D(f) = (1, +\infty)$.

3) f(x) = log₁﹐₅( (x² - 1)/(x + 5) ) - √x

Решение

Область определения функции является пересечением областей определения логарифмического и иррационального выражений.

1. Для $log_{1.5}(\frac{x^2 - 1}{x + 5})$ аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:

$\frac{x^2 - 1}{x + 5} > 0$

$\frac{(x - 1)(x + 1)}{x + 5} > 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Критические точки (нули числителя и знаменателя): $x = -5, x = -1, x = 1$.

Определив знаки на интервалах $(-\infty, -5)$, $(-5, -1)$, $(-1, 1)$, $(1, +\infty)$, получаем, что неравенство выполняется при $x \in (-5, -1) \cup (1, +\infty)$.

2. Для $-\sqrt{x}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$x \ge 0$

То есть, $x \in [0, +\infty)$.

3. Найдем пересечение полученных множеств:

$D(f) = ((-5, -1) \cup (1, +\infty)) \cap [0, +\infty)$

Пересечение интервала $(-5, -1)$ с $[0, +\infty)$ пусто. Пересечение $(1, +\infty)$ с $[0, +\infty)$ дает $(1, +\infty)$.

Ответ: $D(f) = (1, +\infty)$.

4) f(x) = log₀﹐₇( (4 - x²)/(6 - x) ) + log₆x

Решение

Область определения функции является пересечением областей определения двух логарифмических слагаемых.

1. Для $log_{0.7}(\frac{4 - x^2}{6 - x})$ аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:

$\frac{4 - x^2}{6 - x} > 0$

$\frac{(2 - x)(2 + x)}{6 - x} > 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Критические точки: $x = -2, x = 2, x = 6$.

Определив знаки на интервалах $(-\infty, -2)$, $(-2, 2)$, $(2, 6)$, $(6, +\infty)$, находим, что неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -2) \cup (2, 6)$.

2. Для $log_6(x)$ аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$x > 0$

То есть, $x \in (0, +\infty)$.

3. Найдем пересечение этих двух условий:

$D(f) = ((-\infty, -2) \cup (2, 6)) \cap (0, +\infty)$

Пересечение интервала $(-\infty, -2)$ с $(0, +\infty)$ пусто. Пересечение $(2, 6)$ с $(0, +\infty)$ дает $(2, 6)$.

Ответ: $D(f) = (2, 6)$.